SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT
**************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Trần Thị Hương
Chức vụ : Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC
Nội dung
Trang
Phần 1: Mở đầu ……………………….………………………..………
1
I. Lý do chọn đề tài…………………………………………………
1
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài ………………………..………….....
1
III. Đối tượng nghiên cứu của đề tài …………………….………………
1
IV. Phương pháp nghiên cứu…………………………………….
1

Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng
dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài
"Khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị của hàm số "
II. Mục đích nghiên cứu
- Phân tích cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh
hiểu đúng bản chất của vấn đề, vận dụng giải đúng bài toán.
- Bồi dưỡng cho học sinh thêm về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12. Từ đó phân tích những sai lầm học
sinh thường mắc phải và biện pháp khắc phục.
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin .
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Phương pháp thông kê, xử lí số liệu.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
1


PHẦN 2: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
1.1.

Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:


1.4. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
+ Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 − h; x0 + h) và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x0} , với h > 0 .
a. Nếu f′(x) > 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f′(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì
x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

b. Nếu f′(x) < 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f′(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì
x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng
(x0 − h;x0 + h) , với h > 0 . Khi đó:
a. Nếu f′(x0 ) = 0; f′′(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
b. Nếu f′(x0 ) = 0; f′′(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều
kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
1.5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D :
f(x) ≥ m , ∀x∈ D
 f(x) ≤ M , ∀x∈ D
M = max f(x) ⇔ 
,
D
∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m
∃x0 ∈ D : f(x0 ) = M

m= min
f(x) ⇔ 
D

Nếu f(x) ≥ m , ∀x∈ D (hay f(x) ≤ M , ∀x∈ D ) nhưng không ∃x0 ∈ D : f(x0) = m
(hay không ∃x0 ∈ D : f(x0) = M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại

1.5. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 .
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trên một miền D
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ
thị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
Qua số liệu thống kê kết quả giải bài tập chương 1- giải tích 12 (trước khi chưa
áp dụng sáng kiến kinh nghiệm như sau)
4


Lớp 12 A2 (sĩ số 40)
Số lượng
10

Phần trăm
25 %

Giải sai phương pháp

24

60 %

chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phân tích các ví dụ cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải và hướng khắc phục các sai
lầm đó .
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, tính toán .
- Phương pháp: phương pháp gợi mở , vấn đáp.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp học nhóm
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
5


- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học Chẳng hạn sử dụng bảng
phụ, phiếu học tập, kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình
động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 4 mức độ nhận thức:
nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp – vận dụng cao.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học
Giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với từng loại đối tượng
học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài
toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan .
Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.


6


x
y'

+

+
+¥

y

1
- ¥

1

Vậy: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ )
Phân tích sai lầm:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài
toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1; x2
thuộc D , x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2 ) .
Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 4 Î D và x2 = 0 Î D thì x1 < x 2
nhưng f(x1) = 2 > −2 = f(x2 )
Vậy sai lầm ở đâu ?
Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
3

2- x

c. y = cosx – sinx

x 2 - 5x + 3
b. y =
x- 2

d. y =

[2]

2x
x - 9
2

7


4
3

3
2
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = − x + mx − x + 1 nghịch biến trên trên ¡ . [5]

Một số học sinh giải như sau:
Tập xác định: D = ¡
y′ = −4 x 2 + 2mx − 1



3
2
Bài 1. Tìm m để hàm số y = − x + 2x + (2m + 1) x − 3m + 2 nghịch biến trên

trên ¡ .
[3]
Bài 2. Tìm m để hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến trên trên ¡ .[4]
m −1 3
x + mx 2 + (3m − 2)x đồng biến trên trên ¡ .
3
1 3
2
Bài 4. Tìm m để hàm số y = − x + (m − 1)x + (m + 3)x-4 đồng biến trên trên
3

Bài 3. Tìm m để hàm số y =

khoảng ( 0;3) .
- Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, học sinh thường quên
đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần.
Quy tắc:
 f ′( x0 ) = 0
⇒ x = x0 là điểm cực tiểu.

′′
f
(
x
)


Bảng biến thiên
x -∞
y’
y

0

+

-∞

0
0

+∞

-∞

Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
 f ′( x0 ) = 0

⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số.
Ta có 
′′
f
(
x
)

9


Tập xác định: D = [- 2; 2 ]
x = − 2
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 4− x2 = x2 ⇔ 
4 − x2
 x = 2
x

Ta có: f′(x) = 1−

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
y'

-2

-

2

-

0

+

0

y

x ≥ 0
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 
⇔ x= 2
2
2
4− x
4 − x = x
x

2

-2

2

2

+

0

-

2 2- 1
-3

1



x−1
 m≠ 3

⇔ 

'
2
 ∆ = m + 2m− 14 < 0

⇔ − 1− 15 < m < − 1+ 15
y

Phân tích sai lầm:
(∆): y = 2x

Từ trực quan của hình vẽ học sinh nghĩ rằng
cực đại , cực tiểu nằm về hai phía của một

A

đường thẳng nghĩa là, đồ thị hàm số không cắt
đường thẳng y=2x.Nhưng thực ra đường
thẳng y=2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân

B
0

biệt mà điểm cực đại, cực tiểu vẫn nằm khắc


Bài 1. Tìm m để hàm số y = x3 −

x2 + (m+ 1)x − m+ 1
Bài 2. Tìm m để hàm số f(x) =
có cực đại và cực tiểu nằm
x− m
về cùng phía của trục Ox
Bài 3. Tìm m để hàm số f(x) = 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6m(1− 2m)x có cực đại và
cực tiểu nằm trên đường thẳng ∆ :y = −4x
1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm
để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
2 x3
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) =
trên đoạn
x+4

[ −3;0]

Một số học sinh giải như sau:

[5]

x = 0
4 x 2 ( x + 6)
= 0 ⇔ x 2 ( x + 6) = 0 ⇔ 
2
( x + 4)
 x = −6
f (−6) = 216 ;
f (0) = 0 ; f ( −3) = −54

min f ( x) = f ( −3) = −54
[ −3;0]

[2]

12


Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 trên
đoạn [ −2;3]
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

[ 1; 4]

f ( x ) = 25 − x 2 trên đoạn

2
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x − 3x + 2 trên đoạn

[ −10;10]
- Nhiều học sinh không hiểu đúng định nghĩa nên dẫn đến kết luận sai chẳng hạn
như:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x − 1 − x − 3
Một số học sinh giải như sau:
[6]

x ≥ 1
⇔ x≥3
Điều kiện xác định của hàm số: 
x ≥ 3

f ( x ) , thì phải ∃x0 ∈ K sao
Phân tích sai lầm: Học sinh quên khái niệm min
K
cho f ( x0 ) = m dẫn đến kết luận sai.
Lời giải đúng:
Giải như trên nhưng kết luận max f ( x) = f (3) = 2; không tồn tại min f ( x )
[ 3;+∞ )

[3; +∞ )

Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) =
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
khoảng ( 1; +∞ )

1
1 + x4

[2]

f ( x) = x + 2 +

1
trên
x −1

[3]
13




-2

0

-

0

1

+

0

-

2

+∞

1
−
3

f ( x)

-1
1
max f ( x) = − ;

tìm miền giá trị của biến mới.

14


cos x − 1
2 cos x + 3
[5]
5
3
g '(t ) =
>
0
∀
t
≠
−
(2t + 3) 2
2

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =
Một số học sinh giải như sau:
Đặt t = cos x ; hàm số viết lại g (t ) =

t −1
,
2t + 3

Bảng biến thiên:
t

g(t).
Lời giải đúng:
Đặt t = cos x ; t ∈ [ −1;1]
t −1
; ∀t ∈ [ − 1;1]
2t + 3
5
g '(t ) =
> 0 ∀t ∈ [ − 1;1]; g (1) = 0 ; g ( −1) = −2
(2t + 3)2
⇒ max f ( x) = 0; min f ( x) = −2
g (t ) =

¡

¡

Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) = cos 3 x - 6 cos 2 x + 9 cos x + 5 .

[3]

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x) = 2sin 2 x + 2sin x -1 .
2
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = cos x +

æ
ö




f(x) = tanx x vi x 0; ữ
2

1

1 = tan 2 x > 0; x 0; ữ => hm s ng bin trờn
2
cos x
2


0; ữ
2


T x > 0 f ( x ) > f (0) tan x x > tan 0 0 tan x > x; x 0; ữ


2

Phõn tớch sai lm: Li gii trờn cú v ỳng, nhng sai lm õy rt khú phỏt


hin. Sau khi kt lun f(x) ng bin trờn khong 0; ữ thỡ vỡ sao t x > 0 ị
2

f ( x) > f (0) Sai lm õy l 0 0; ữ
x

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố 2ữ
ứ


x 0; ữ
2

Bi tp vn dng
Bi 1: Chng minh bt ng thc tan x > x +

x3
3


x 0; ữ
2
- 1 thì x.ex > -

1
.
e

[2]

x

Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - 5 là
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)

O

3

q(x) = -9⋅x-5

tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng ngoài ra vẫn có

f(x) = -x3 +3⋅x2

-5

tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(−1; 4)
và có hệ số góc k là: y = k (x +1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
ìï - x3 + 3x2 = k ( x +1) + 4
ï
í
(I).
ïï
k
=- 3x 2 + 6x


Bài tập 1. Cho hàm số y = f (x) = x 4 - 3x 2 + , có đồ thị (C) . Viết phương trình
æ 3ö

0; ÷
tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M ç
ç
÷
ç
è 2÷
ø
x +2
, có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của
x- 2
(C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm N ( 3;5)

Bài tâp 2. Cho hàm số y =

Bài tập 3. Cho hàm số y = (x + 1) 2 (2 - x) , có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
III. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy chất
lượng học tập của học sinh khi học chương 1 giải tích 12, tốt hơn nhiều, các em
đã nắm được bản chất của các định nghĩa, định lí và vận dụng đúng, làm bài
toán nhanh hơn và đạt kết quả cao hơn. Cụ thể qua kết quả thu hoạch được khi
khảo sát tình hình giải bài tập toán chuong 1, giải tích12 ở 2 lớp 12A2 và 12A3
như sau:
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12 A2 (sĩ số 40)
Không giải được


18


trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt như đã từng đạt được
trong quá trình thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I – Kết luận
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh
như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các
bài toán ứng dụng liên quan đến đạo hàm, giúp các em học sinh sẽ có cái nhìn
sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua
những sai lầm ấy mà các em có thể rút ra cho mình những kinh nghiệm và
phương pháp giải toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của
chương 1 ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ
rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán như giải phương trình, bất phương
trình, tìm điều kiện của tham số để bất phương trình, hệ bất phương trình có
nghiệm, nghiệm đúng... hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo
hàm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn, đơn giản hơn.
Đối với học sinh THPT thì những kiến thức về đạo hàm là tương đối khó,
nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường quen
với việc vận dụng công thức một cách máy móc hơn là hiểu rõ bản chất của các
khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học.
Trong khuôn khổ sáng kiến này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được
hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì
vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường
Trung học phổ thông Lưu Đình Chất, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và
Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô.
II. Kiến nghị
Những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực là tài liệu tham

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Hương
Chức vụ : Giáo viên
21


Đơn vị công tác: Trường THPT Lưu Đình Chất

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Khắc phục một số sai lầm khi

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)