Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

I. MỞ ĐẦU
Trang
1. Lí do chọn đề tài

1

2. Giả thuyết khoa học
3. Mục đích của đề tài
4. Phạm vi nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng các tổ hợp
n
k
11.. Hiểu rõ ý nghĩa của kí hiệu Cn ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn ( a + b ) ,

đặc điểm của các số hạng trong khai triển đó.
1.2. Hiểu và vận dụng linh hoạt một số tính chất thường gặp của tổ hợp:
1. 3. Xác định được số hạng tổng quát của tổng
1.4. Giải bài toán theo nhiều cách để so sánh thấy được ưu, nhược điểm của từng
cách
2. Giải pháp tiến hành thực hiện
4
III. BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CÁC TỔ HỢP
1. Tính tổng các tổ hợp dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp.

5-

1.1 Kiến thức chuẩn bị

2. Giả thuyết khoa học
Xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu
hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành
các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán với sự trợ giúp
thích hợp sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần
bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
3. Mục đích của đề tài
- Hướng dẫn và phân loại hệ thống các bài tập và xây dựng các phương pháp giải bài
toán tính tổng các tổ hợp.
- Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung dạy học Đại số và Giải tích lớp 11.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài.
Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến của học sinh, giáo
viên về thực trạng dạy học chủ đề này tại trường THPT Mai Anh Tuấn.
Thực nghiệm sư phạm:
- Dạy thử nghiệm ở các lớp khối 11 tại trường THPT Mai Anh Tuấn.

Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

2


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

- Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các hệ thống bài tập minh họa cho các
phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra và bài thu hoạch của học sinh lớp 11.
II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng các tổ hợp


Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

n

3


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

+ Nếu chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 2 đơn vị và các số hạng đổi dấu ta
phải sử dụng số phức trong khai triển liên quan đến i 2 = −1 .
+ Nếu các chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị, 4 đơn vị, 5 đơn vị,...
ta sử dụng số phức trong khai triển. Khi đó cần nắm được tính chất sau về số phức
Nếu z = cos

2π
2π
+ i sin
, với n ∈ ¥ * . Khi đó,
n
n

k
Với k = n.m , m ∈ ¥ * thì z = cos ( m2π ) + i sin ( m2π ) = 1
n −1 k
Với k ≠ n.m , m ∈ ¥ * thì 0 = 1 − ( z n ) = 1 − ( z k ) = ( 1 − z k ) ( 1 + z k + z 2 k + ... + z ( ) )
k

n

k +1 k + 2 k +1

chất

Cnk
C k +1
n
= n +1 với 0 ≤ k ≤ n để biến đổi đưa về dạng khai triển ( a + b ) hoặc sử dụng
k +1 n +1

tích phân
- Quan sát chỉ số dưới của các tổ hợp
+ Nếu chỉ số dưới của tổ hợp không thay đổi thì đó là số mũ trong khai triển nhị thức.

Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

4


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

+ Nếu trong số hạng có tổ hợp mà chỉ số dưới thay đổi, ta cần khai triển tường minh
n!

k
công thức số hạng tổng quát đó Cn = ( n − k ) !k ! để qui về các tổ hợp có chỉ số dưới

không thay đổi.
1.4. Giải bài toán theo nhiều cách để so sánh thấy được ưu, nhược điểm của từng
cách giải (Ví dụ như ở đây trong các bài toán sử dụng phương pháp đạo hàm, tích

1.2. Các ví dụ minh họa
Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

5


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức S = Cnk + 2Cnk −1 + Cnk −2 , với 2 ≤ k ≤ n; k , n ∈ ¥ .
Hướng dẫn
Cách 1. (Sử công thức khai triển tường minh đối với tổ hợp)
Cách 2. Sử dụng tính chất tổ hợp (hằng đẳng thức Paxcal)
S = Cnk + 2Cnk −1 + Cnk − 2 = ( Cnk + Cnk −1 ) + ( Cnk −1 + Cnk −2 ) = Cnk+1 + Cnk+−11 = Cnk+ 2

Cách 3.
- Trước hết ta để ý hệ số đứng trước trước các tổ hợp lần lượt là 1, 2, 1 có thể
viết lại dưới dạng C20 , C21 , C22 .
- Vậy S = C20Cnk + C21Cnk −1 + C22Cnk − 2
-

Xét hai tập B và C không giao nhau, tập B có n phần tử, tập C có 2 phần tử.
Đặt A = B ∪ C . Khi đó S chính là số cách chọn k của tập A , nên S = Cnk+ 2 .

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức S = Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 , với n là số nguyên dương và n ≥ 3 .
Hướng dẫn
Cách 1. (Sử công thức khai triển tường minh đối với tổ hợp)
M = Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 =

n ( n − 1)
n ( n − 1) ( n − 2 )

= Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b 2 + ... + Cnn b n sẽ cho ta các đẳng thức tổ hợp.

1.1.2. Phân tích biến đổi phần tử đại diện (số hạng tổng quát trong tổng) để đưa
tổng cần tính về dạng cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn.

Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

6


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

3. Ứng dụng đạo hàm trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số
hạng không có dạng Cnk a n−k b k mà có xuất hiện thêm hệ số tự nhiên (không phải lũy
thừa) thì ta phải sử dụng đạo hàm kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn. Việc sử
dụng đạo hàm (cấp 1 hoặc cấp 2) của khai triển nhị thức Niutơn nào hoàn toàn phụ
thuộc vào tính chất số hạng trong tổng cần tính. Trong đó đặc biệt chú ý đến hệ số tự
nhiên (không phải lũy thừa) và hệ số tổ hợp Cnk tương ứng.
Thông thường ta áp dụng khai triển
(a + x) n = Cn0 a n + Cn1a n −1.x + Cn2 a n − 2 .x 2 + ... + Cnk a n −k .x k + ... + Cnn .x n .
k
k −1
Với số hạng có lũy thừa x k thì ( x ) ' = k .x , tức là sau khi đạo hàm cấp 1 ta

được hệ số tự nhiên là k tương ứng với hệ số tổ hợp Cnk . Nếu hệ số tự nhiên tương
ứng với Cnk là k + l > k thì ta phải tạo ra lũy thừa x k +l bằng cách nhân hai vế với xl
trước khi đạo hàm. Ngoài ra, nếu hệ số tự nhiên là tích của hai số thì ta áp dụng đạo
hàm cấp hai.
4 – Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính S = Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n Cnn .


7


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

Ví dụ 4: Tính S = 3n Cn0 − 3n −12Cn1 + 3n−2 22 Cn1 − ... + ( −2 ) Cnn
n

Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng Cnk 3n − k ( −2 ) với 0 ≤ k ≤ n . Vì vậy, ta
k

n
xét khai triển ( a + b ) với a = 3, b = −2 .

Đáp số: S = 3 + ( −2 )  = 1
n

Ví dụ 5: Tính S = 42 n C20n − 42n −1 C21n + 42 n− 2 C22n − ... + C22nn
Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng C2kn 42 n −k ( −1) với 0 ≤ k ≤ 2n . Vì vậy,
k

ta xét khai triển ( a + b )

2n

với a = 4, b = −1 .

Đáp số: S =  4 + ( −1)  = 32 n = 9n
2n

2

2

2

HD: Sử dụng đồng thời đạo hàm và phương pháp đồng nhất hệ số.
Bài tập 3. Tính tổng
1
1
1
2
k
2012
S = C2012
C2010
+ (12 C2012
22011 − 22 C2012
22010 + ... + ( −1) k −1 k 2C2012
22012 − k + ... − 20122 C2012
).

Bài tập 4. Tính tổng S = 22 Cn2 − 32 Cn3 + ... + (−1) n n 2Cnn .
Bài tập 5. (ĐHKA.2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

8



Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được
A = a0 + a2 + a4 + ... + a4042110 =

20112011 + 1
.
2

2
2013
Bài tập 7. Xét khai triển: ( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ... ( 1 + 2013 x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + a2013 x .

Tính a2 +

1 2
1 + 22 + ... + 20132 ) .
(
2

Hướng dẫn
 2013 




i. j ÷x 2 + A.x 3
 1≤i < j ≤ 2013 

Ta có ( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ... ( 1 + 2013 x ) = 1 +  ∑ k ÷x +  ∑
 k =1 


Tính tổng S = C2013

22 − 1 1
23 − 1 2 2
22014 − 1 2013 2013
.C2013 +
.2 C2013 + ... +
.2 .C2013 .
2
3
2014

Bài tập 9. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C41n + C43n + C45n + ... + C42nn −1 = 1024 .
Bài tập 10. Tính tổng S = ( a − 1) Cn0 +

a 2 − 1 1 a3 − 1 2
a n +1 − 1 n
Cn +
Cn + ... +
Cn với a ∈ ¡ .
2
3
n +1

Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

9


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

Thiết kế phiếu học tập cho một tiết dạy minh họa:
Phiếu học tập số 1
1) Viết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ( a + b ) ?
n

………………………………………………………………………………………
2) Em hãy chọn a, b, n hợp lí trong công thức khai triển trên để tính các tổng
sau:
a) S1.1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn
b) S2.1 = Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n Cnn
c) S3.1 = 3n Cn0 + 3n −1 Cn1 + ... + Cnn
d) S4.1 = 3n Cn0 − 3n −12Cn1 + 3n −2 22 Cn1 − ... + ( −2 ) Cnn
n

Tìm tòi, mở rộng (Phiếu học tập số 1)
GV: Yêu cầu học sinh nhận xét về hệ số đứng trước các tổ hợp của các số hạng trong
tổng cần tính?
HS: Hệ số là các lũy thừa với số mũ tự nhiên tăng dần hoặc giảm dần.
GV: Bằng cách chọn a, b, n trong khai triển

( a + b)

n

= Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n −2b 2 + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n

Em hãy đưa ra các bài toán ở dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp.
Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

11

2
3
100
101
C101
+ 2.31.C101
+ 3.32.C 101
+... +100.399.C101
+101.3100.C101
= 101.4100

GV: Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hệ số và chỉ số trên của các tổ hợp trong
tổng S1.2 ?
HS: Hệ số bằng chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng S1.2 ?
GV: Qua cách tính tổng nhờ sử dụng đạo hàm, em có thể đưa ra một ví dụ về tổng
tương tự như S1.2 mà có hệ số hơn chỉ số trên của các tổ hợp k đơn vị?
0
1
n
HS: Tính S6 = kCn + ( k + 1) Cn + ... + ( k + n ) Cn , ở đây ta có thể chọn k ∈ ¥ * cụ thể.

Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

12


Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

GV: Sử dụng đạo hàm cấp hai đối với khai triển nhị thức ( 1 + x ) hãy tính tổng
n

n
n −1

1
C

1
2015

+

1
C

2
2015

+ ... +

1
C

2015
2015

=

1008  1
1
1 


a 2 − 1 1 a3 − 1 2
a n +1 − 1 n
Cn +
Cn + ... +
Cn với a € R.
2
3
n +1

b) Đánh giá kết quả thực nghiệm
Về thái độ học tập của học sinh
Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng
năng lực tự học, học sinh là người chủ động lĩnh hội kiến thức. Học sinh đã cuốn hút
vào các hoạt động một cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức. Đa số
các em nắm vững kiến thức cơ bản và có ý thức hoàn thành hoạt động và công việc
mà giáo viên giao cho.
Về kết quả bài kiểm tra
Điểm/Lớp
Đối chứng
11C
Thực nghiệm

Yếu

TB

Khá

Giỏi



Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

Bên cạnh đó, ở cả hai lớp đều có những học sinh chỉ dừng lại ở việc bắt chước một số
bài tập mẫu, chưa hiểu rõ bản chất vấn đề và chỉ làm được ý a) trong mỗi bài tập.
VI. KẾT LUẬN
Sáng kiến đã có các kết quả chính sau đây:
1. Sáng kiến đã trình bày việc hưỡng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các tổ
hợp.
2. Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc
tự giải quyết hệ thống bài tập giúp học sinh hiểu rõ bản chất, phương pháp giải bài
toán tính tổng các tổ hợp. Từ đó, học sinh có thể tự xây dựng các bài toán tương tự,
hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng
cao năng lực tự học ở mỗi học sinh. Sáng kiến được kết tinh những kinh nghiệm đã
được kiểm chứng qua các hoạt động giảng dạy các lớp ôn bồi dưỡng HSG trong
nhiều năm và đã đạt được những kết quả đáng khích lệ.
3. Xây dựng bộ tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh ôn thi ôn thi học
sinh giỏi THPT, cũng như các bạn đồng nghiệp.
Trên đây là báo cáo sáng kiến của tôi được đúc rút trong quá trình học tập và
công tác của mình tại trường thpt Mai Anh Tuấn, chắc chắn sẽ có nhiều thiếu sót. Rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thanh hóa, ngày 22 tháng 05 năm 2018
Xác nhận của hiệu trưởng
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
trường THPT Mai Anh Tuấn
không sao chéo nội dung của người khác.
Người viết SKKN


http://mathworld.wolfram.com/
http://violet.vn/

Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018

16