SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP
12 ÔN TẬP PHẦN SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TRẮC
NGHIỆM TOÁN THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Trịnh Cao Cường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Trang
I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………….1
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………..…………………………1
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………….…………………………2
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………2
II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………..…………………….........2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….….4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………………. .……4
2.3.1. Cung cấp cho học sinh khung cấu trúc chương trình số phức và đề thi minh
họa, các đề thi THPT quốc gia các năm 2017, 2018…………………………….4
a) Xây dựng các chủ đề dạy học số phức……………………..........5

đó, những thông tin mới nhất về kỳ thi THPT Quốc gia 2017 và xét tuyển Đại học,
CĐ sắp tới được quy định cụ thể như sau: Hình thức thi “ Các bài Toán thi theo
hình thức trắc nghiệm khách quan”. Môn Toán: Trắc nghiệm 50 câu trong thời
gian 90 phút.
Có nghĩa là, từ cách thi bằng hình thức Tự luận thì đến năm học 2016- 2017,
học sinh học môn Toán cấp Trung học phổ thông sẽ thi theo hình thức thi Trắc
Nghiệm khách quan để xét tốt nghiệp và xét tuyển Đại học, Cao đẳng. Điều này đặt
ra một nhu cầu bức thiết đối với giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn Toán cuối
cấp đó là phải thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá giúp học sinh thích
ứng với cách làm bài thi mới.
Về phía học sinh khối 12 trường THPT Thạch Thành 3 gồm 8 lớp với hơn 300
học sinh, đa phần học Toán ở mức trung bình và yếu. Kết quả thi học kỳ I rất thấp
tỉ lệ trên trung bình chỉ chiếm 23,89%. Bên cạnh đó, kỹ năng sử dụng máy tính cầm
tay chưa cao, tốc độ làm Toán trắc nghiệm còn chậm, nếu không có tiến bộ trong
học kì II thì sẽ ảnh hưởng rất lớn đến kết quả xét tốt nghiệp.
Như vậy, để hướng tới kì thi TN THPT Quốc gia đạt kết quả cao, giáo viên môn
Toán phải thay đổi phương pháp giảng dạy, nên chọn phần kiến thức phù hợp và
giảng dạy thật kĩ để các em hiểu sâu, làm bài tốt tránh điểm liệt và mục tiêu cao
hơn là đạt từ 5 điểm môn Toán trong kì thi TN THPT Quốc gia. Vì vậy, giáo viên
chọn đề tài : “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán
phần số phức theo hình thức trắc nghiệm trong đề thi THPT quốc gia”.
1.2. Mục đích nghiên cứu

1


Giúp cho học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản về chương số phức, thành thạo
khi làm toán trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay, giúp giáo viên xây dựng chủ
đề dạy học một cách có hệ thống. Đây là phần có nội dung nhẹ nhàng nhất trong
Đại số và Giải tích 12 vì vậy mục tiêu đặt ra là toàn bộ 100% học sinh làm được

năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.
Đánh giá kết quả học tập theo năng lực cần chú trọng khả năng vận dụng
sáng tạo tri thức trong những tình huống khác nhau , (theo Leen pil, 2011) “ là
đánh giá kiến thức, kỹ năng và thái độ trong bối cảnh có ý nghĩa”. [1] Đánh giá
thành tích học tập theo quan điểm phát triển năng lực không giới hạn vào khả năng
tái hiện tri thức mà chú trọng khả năng vận dụng tri thức trong việc giải quyết các
nhiệm vụ phức hợp.
2


2.1.2. Kĩ thuật kiểm tra đánh giá trong dạy học
Đánh giá kết quả học tập là quá trình thu thập và xử lí thông tin về trình độ,
khả năng thực hiện mục tiêu học tập của học sinh nhằm tạo cơ sở cho những điều
chỉnh sư phạm của giáo viên, các giải pháp của các cấp quản lí giáo dục và cho bản
thân học sinh để đạt kết quả học tập tốt hơn. Đề kiểm tra là một trong những công
cụ được dùng khá phổ biến để đánh giá kết quả học tập của học sinh.
Cần sử dụng phối hợp các hình thức, phương pháp kiểm tra, đánh giá khác nhau.
Kết hợp giữa kiểm tra miệng, kiểm tra viết và bài tập thực hành. Kết hợp giữa kiểm
tra tự luận và trắc nghiệm khách quan.
“Trắc nghiệm khách quan (tiếng Anh: Objective test) là một phương tiện
kiểm tra, đánh giá về kiến thức hoặc để thu thập thông tin.
Lợi ích của trắc nghiệm:
• Khảo sát được số lượng lớn thí sinh.
• Người chấm công bằng, chính xác, vô tư và có kết quả nhanh.
• Bao quát được kiến thức của chương trình, ngăn ngừa “học tủ”.
• Người soạn có điều kiện tự do bộc lộ kiến thức và giá trị của mình
thông qua việc đặt câu hỏi.
Hạn chế của trắc nghiệm
• Cho phép và đôi khi khuyến khích sự phỏng đoán của thí sinh.
• Không thấy rõ diễn biến tư duy của thí sinh.

kịp thời điều chỉnh việc dạy học sau mỗi bài học.
Với kiểm tra thường xuyên, hoạt động kiểm tra miệng, kiểm tra 15 phút được
thực hiện bằng hình thức tự luận hoặc trắc nghiệm. Riêng kiểm tra định kỳ (1 tiết
và học kỳ) được thực hiện dưới hình thức trắc nghiệm khách quan 80% và tự luận
20%. Đề kiểm tra 1 tiết gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm và 1 câu hỏi tự luận (45 phút
bao gồm cả phát đề và nghiên cứu đề); bài kiểm tra học kỳ II gồm 50 câu hỏi trắc
nghiệm với 90 phút làm bài.
Đối với học sinh:
Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, khối lượng kiến thức đưa vào đề
thi khá lớn, có thể đủ để dàn trải hầu hết các nội dung của chương trình học; vì vậy
khi làm bài dưới hình thức trắc nghiệm khách quan, học sinh phải học đầy đủ, toàn
diện và không được bỏ qua bất cứ kiến thức cơ bản nào có trong chương trình, kỹ
năng giải toán tự luận phải được nhuần nhuyễn, kết hợp sử dụng máy tính Casio
phải thành thạo.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phần
số phức thì mức độ nhận thức, cũng như khả năng nắm bài học của học sinh còn
hạn chế nhiều. Minh chứng điều đó là kết quả khảo sát chất lượng nội dung học của
2 lớp khi tôi dạy bài theo phương pháp cũ.
Số lượng
học sinh
nắm
bài
Lớp
Sĩ số
Lớp 12 A2
Sĩ số: 41
Lớp 12 A6
Sĩ số: 33
Tổng số HS


Tỉ lệ
(%)

Số
lượng
HS
nắm
bài ở
mức
khá

5

12,2

19

46,34

14

34,1

3

7,31

0


Tỉ lệ
(%)

4


2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Cung cấp cho học sinh khung cấu trúc chương trình số phức và đề
thi minh họa, các đề thi THPT quốc gia các năm 2017, 2018
a) Xây dựng các chủ đề dạy học số phức
Các chủ đề dạy học được thể hiện qua bảng mô tả và câu hỏi [1]
Chủ đề 1: SỐ PHỨC.
NỘI
DUNG

NHẬN BIẾT (1)

- Biết được i là một số
mà i 2 = - 1.
VD 1.1: Kết quả của
Câu hỏi phép tính nào dưới đây
minh họa đúng .
A. 2i 2 = 2 . B. i 2 = - 1.
(1)
C. i 3 = i .
D. i 2 - 1 = 0 .
- Nhớ định nghĩa số
2. Định
phức. Biết được phần
nghĩa số

- Nhận ra số phức liên
phức liên hợp của một số phức.
hợp
Câu hỏi VD 1.1: Số phức liên
minh họa hợp của số phức z = -5i
(4)
là:

THÔNG HIỂU (2)
- Hiểu được lũy thừa của
số i.
VD 2.1: Tính i 7 được
A. 1.
B. i.
C. - i .
D. - 1 .

VẬN DỤNG THẤP (3)

VẬN DỤNG
CAO (4)

- Sử dụng i2 = -1 để giải
tính i n .
VD 3.1: Tính
(i 2 + i 3 + i 4)2017.
A. 1.
B. i.
C. - i .
D. - 1 .

điều kiện để hai số phức
bằng nhau .
VD 3.1: Tìm a và b để
25( a − bi)
a − bi + 2
= 8 − 6i
a + b2
A. a = 4 và b = 3 .
B. a = 0 và b = 0.
C. a = 3 và b = 4 ..
D. không tồn tại a và b.

- Mối quan hệ giữa số
phức với số phức liên
hợp.
VD 2.1: Số phức liên hợp VD 3.1: Cho số phức thỏa
của số phức
z = a − bi mãn z = z khi
z = 3 – 4i có điểm biểu
đó: A. a = 0 ; b ≠ 0.

5


A. z = 5i.
C. z = 5.

B. z = -5.
D. z = -5i.


minh
phức z = 1 − i ?
họa
(5)

6. Biểu
- Biết cách biểu diễn tọa
diễn
độ của số phức.
hình học
của số
phức
VD 1.1: Số phức
z = 2 - 3i có điểm biểu
diễn là:
A. (2; 3).
B. ( − 2; − 3).
−
C. (2; 3). D. ( − 2; 3).

VẬN DỤNG THẤP
(3)
- Hiểu cách tính mô
Vận dụng cách tính
đun của một số phức cụ mô đun của số phức
thể.
vào các bài toán tìm
số phức thỏa mãn
điều kiện cho trước.
VD 2.1: Khẳng định

lượt là các điểm biểu
diễn của 2 − 5 và
2 + 5 . Khi đó độ dài
của MN là:
A. 4.
B. 5.
VD 1.2: Biểu diễn trên
C. 5
D. 2 5 .
Câu hỏi cùng một mặt phẳng tọa độ
các điểm biểu diễn các số
minh
phức:
họa
z1 = 2 - i , z2 = 2
(6)
z3 = 2 + i , z4 = 2i

VẬN DỤNG
CAO (4)
- Vận dụng mô
đung để giải
quyết bài toán
tập hợp điểm.

VD 4.1: Trên
mặt phẳng tọa
độ, tập hợp điểm
biểu diễn của số
phức z thõa mãn

nằm trên đường
mãn điều kiện: |
thẳng có phương
z – 3| + |z + 3| =
trình là:
10. Phương trình
A. y = x.
của e líp là
B. y = 2x.
x2 y2
C. y = 3x.
A.
+ = 1.
D. y = 4x.
25 16
x2 y2
B. + = 1
5 4
x2 y 2
C.
+ = 1.
16 25
x2 y2
D.
+ =1
10 30

7




3. Phép
chia hai
số phức:
Câu hỏi
minh
họa (3)

VẬN DỤNG THẤP
(3)

Hiểu cách thực hiện
các phép toán cộng, trừ
với hai số phức
VD 2.1: Số phức
( 1 + 2i ) − ( − 3 + 2i ) + 2i − 8 có
môđun là
A. 2 5 .
B. 5 .
C. 3 5 .
D. 4 5 .

Vận dụng phép toán
nhân số phức giải bài
tập liên quan. Tính
lũy thừa
VD 1.1: Cho số phức
VD 2.1: Thu gọn
VD 3.1: Cho số
2

- Biết tổng và tích của hai số - Hiểu cách thực hiện
Vận dụng phép chia
phức liên hợp.
phép chia hai số phức.
số phức để thực hiện
- Giải phương trình tìm các biểu thức chia
z, tìm nghịch đảo số
phức tạp. Các bài
phức.
toán chứa điều kiện.
VD 1.1: Cho số phức
VD 2.1: Cho số phức z VD 3.1: Cho số
phức
z = a + bi, ( a, b ∈ R ) . Khi thỏa mãn:
2
z = x + yi (x, y ∈ R,
( 3+ 2i )z + ( 2 − i )
đó số phức z + z là:
z ≠ 1). Phần ảo của
A. Một số thực.
= 4+ i .
B. 0.
Hiệu phần thực và phần số z + 1 là:
z−1
C. Một số thuần ảo.
ảo của số phức z là:
−2x
D. i.
A. 1.
B. 0.

( x − 1) + y2
A. − +
B.
i.
C. Một số thuần ảo.
2 2
−2y
D. i.
D.
.
2
5 2.
x − 1) + y2
(
C. 1.
\
D. 0.

(

)

(

)

VẬN DỤNG
CAO (4)

Hiểu nhân hai số phức

2
|
B. z |> 2 .
1
C. | z |< .
D.
2
1
3

(3)

VẬN DỤNG
CAO (4)

- Cách lấy căn bậc hai
của một số thực tùy ý

VD 1.1:
Căn bậc hai của −4 là:
B. 2i .
Câu hỏi A. ±2 .
D. ±2i .
minh họa C. ±4i .
(1)

VD 2.1: Số thực 1 − m 2
có hai giá trị căn bậc
hai khi:
A. −1 < m < 1 .
B. m ≥ 1 .
C. m ≠ ±1 .
D. m < −1 .
- Biết giải phương trình bậc - Hiểu được phương
2.
hai, pt trùng phương bậc 4 trình bậc hai, phương
Phương
với hệ số thực và có nghiệm trình trùng phương bậc
trình bậc
phức.

VD2.1: Gọi z1 và z2 là VD 3.1: Kí hiệu
các nghiệm của phương z1 , z2 , z3 và z4 là
bốn nghiệm phức
trình z2 − 4z + 9 = 0 .
của phương trình
Gọi M, N là các điểm
z 4 − z 2 − 12 = 0 .
biểu diễn của z1 và z2
Tính tổng
trên mặt phẳng phức.
T = z1 + z2 + z3 + z4
Khi đó độ dài của MN
A. T = 4.
là:
A. 4 .
B. 5.
B. T = 2 3
C. −2 5
D. 2 5 . C. T = 4+ 2 3
D. T = 2 + 2 3

- Vận dụng giải
phương trình đa
thức chứa hệ số
thực có nghiệm
phức vào giải
toán.
VD 4.1: Cho
phương trình z3 +
az2 + bz + c = 0.

sát và vẽ đồ thị hàm số và
3
4
2
2
11
22%
các bài toán liên quan
2
Lũy thừa-Mũ- Lôgarit
4
4
1
1
10
20%
3 Nguyên hàm- Tích phân và
2
4
1
0
7
14%
ứng dụng
4
Số phức
3
2
1
0

8
5
50
100%
[3] (Chủ đề Số phức chiếm 12 % ứng với 1,2 điểm. Trong đó đối tượng học sinh
trung bình và trung bình yếu sẽ tập trung lấy từ 1 điểm trở lên ở phần này.)
Ma trận tổng quát đề thi minh họa THPTQG năm 2018 (Lần 1)
Mức độ kiến thức đánh giá
Tổng
Vận
STT
Các chủ đề
số câu
Nhận Thông
Vận
dụng
hỏi
biết
hiểu
dụng
cao
1
Hàm số và các bài toán
3
3
5
11
liên quan
2
Mũ và Lôgarit

Phương pháp tọa độ trong
2
2
3
1
8
không gian
8
Phương trình lượng giác
1
1
9
Đại số tổ hợp – Xác suất
1
2
1
4
10
Dãy số - Cấp số cộng –
1
1
Cấp số nhân
11
Giới hạn – Hàm số liên
1
1
tục – Đạo hàm
12
Quan hệ vuông góc, xác
3

B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2.
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i.
D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2.
Câu 30. Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 − 3i . Tính môđun của số phức
z1 + z2 . A. z1 + z2 = 13 .
B. z1 + z2 = 5 . C. z1 + z2 = 1 .D. z1 + z2 = 5 .
Câu 31. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 3 − i. Hỏi điểm biểu diễn của z là
điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?

A. Điểm P.
B. Điểm Q.
C. Điểm M.
D. Điểm N.
Câu 32. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z
A. w = 7 − 3i.
B. w = −3 − 3i.
C. w = 3 + 7i.
D. w = −7 − 7i .
Câu 33. Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình
z 4 − z 2 − 12 = 0 . Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4
A. T = 4.
B. T = 2 3 .
C. T = 4+ 2 3 . D.
T=2+ 2 3.
Câu 34. Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn các số phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường
tròn đó. A. r = 4.
B. r = 5.
C. r = 20.
D. r =

 1 
1 
A. M 1  ;2 ÷.
B. M 2  − ;2 ÷.
C. M 3  − ;1÷.
D. M 4  ;1÷.
2 
 2 
 4 
4 
Câu 33. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R ) thoả mãn (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i. Tính
1
1
P = a + b. A. P = .
B. P = 1 .
C. P = −1 .
D. P = − .
2
2
TRÍCH TỪ ĐỀ THI MINH HỌA MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2017 (LẦN 3) [5]
Câu 4: Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 − 2 2i. Tìm a,
b.
A. a = 3, b = 2.
B. a = 3, b = 2 2. C. a = 3, b = 2.
D. a = 3, b = −2 2.
Câu 5: Tính mô đun của số phức z biết z = ( 4 − 3i ) ( 1 + i ) .
A. z = 25 2.
B. z = 7 2.
C. z = 5 2.

D. P =

5 2 + 73
.
2

TRÍCH TỪ ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC
GIA NĂM 2017 (Mã đề 103) [5]
Câu 7: Cho hai số phức z1 = 1 − 3i và z2 = −2 − 5i . Tìm phần ảo b của số phức
z = z1 − z2 . A. b = −2 .
B. b = 2 .
C. b = 3 .
D. b = −3 .
a
Câu 9: Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm phần thực của z .
A. a = 2 .
B. a = 3 .
C. a = −3 .
D. a = −2 .
2
y
Câu 14: Tìm tất cả các số thực x , sao cho x − 1 + yi = −1 + 2i.
A. x = − 2, y = 2. B. x = 2, y = 2. C. x = 0, y = 2. D. x = 2, y = −2.
Câu 17: Ký hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − z + 6 = 0 Tính
P=

1 1
+ .
z1 z2


z
là số thuần ảo?
z+2

D. 1.

TRÍCH TỪ ĐỀ THI MINH HỌA MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2018 [5]
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
y
A. z = −2 + i .
B. z = 1 − 2i .
C. z = 2 + i .
D. z = 1 + 2i .
M

1

Câu 20: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình
O
−2
4 z 2 − 4 z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng
A. 3 2 .
B. 2 3 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 38: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + 2 + i − z ( 1 + i ) = 0 và z > 1 .
Tính P = a + b .
A. P = −1 .
B. P = −5 .

* Giải phương trình với hệ số thực
Bấm: mode → 5 → chọn đúng dạng → Nhập hệ số → = → =
* Tìm mô đun
Bấm: mode → 2 → shift → Abs → |Nhập biểu thức tìm mô đun| → =
* Đối với các phép toán cộng trừ nhân chia số phức a thực hiện như
phép toán thông thường.
Ví dụ 1: (Đề minh họa lần 1- năm 2016-2017)
Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z
A. w = 7 − 3i.
B. w = −3 − 3i.
C. w = 3 + 7i.
D. w = −7 − 7i
→
i
(2
+
5
i
)
+
(2
−
5
i
)
→
Giải : Bấm: mode Nhập
=
được kết quả: B. w = −3 − 3i.
Ví dụ 2: ( Đề minh họa lần 1- năm 2016-2017). Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là bốn

2
2
Giải: Đặt z = a +bi (a,b ∈ R)

14


10
−2 + i
10
+
− 2 + i ⇔| z |=
z (1 + 2i ) 1 + 2i
z
1  10 2 10 
−2 + i
10
⇔| z |= 
−
i ÷+ i (Thực hiện bấm máy
và
)
z 5
5 
1 + 2i
1 + 2i
 10 2 10 
⇔ a 2 + b 2 = ( a − bi ) 
−
i ÷+ i

5
5

(1)
(2)

5

−
2
a
+
=b

10

⇔
2
 a 2 +  −2a + 5  = a 10 − 2 10  −2a + 5  (*)

÷
÷

5
5 
10 
10 


(Phương trình (*) có 2 nghiệm nhưng ta chỉ cần tìm 1 nghiệm là được)

Hai số phức bằng nhau: a1 + b1i = a 2 + b 2i ⇔ 

Các trường hợp đặc biệt của số phức:
+Số thực cũng là số phức"có phần ảo bằng ..............................
+Sồ phức ................. được gọi là số thuần ảo.
Biểu diển hình học của số phức:Trên mặt phẳng tọa độ điểm ................... là
điểm biểu diễn của số phức z = a + bi
Mô đun của số phức :Với M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức
uuuu
r
z = a + bi thì r = OM = z = ......
Số phức liên hợp: Cho z = a+bi. Số phức liên hợp của z là: z = .....
Câu 2. ( Dạng câu hỏi ghép đôi dạy tiết lý thuyết) Hãy nối mệnh đề ở cột trái
và phải sao cho hợp lý . Cho z1= a+bi ; z2 = c+di
z1 + z2
z
z1 - z2
=(ac-bd) − (ad+bc)i
z+z
= (a − c) + ( b − d)i
z. z
ac + bd ad − bc
= 2
+
i
a + b2 a 2 + b2
= 2a
z2
z1
ad − bc ac + bd

y
z
=
−
2
+
i
z
=
1
−
2
i
A.
.
B.
.
z
=
2
+
i
z
=
1
+
2
i
C.
.

D. z =

i
.
2 + 3i

Câu 3: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức z . Tìm số phức z .
A. z = −1 − 3i .
B. z = 3 − i .
C. z = −1 + 3i .
D. z = 1 + 3i .
Câu 4: Các điểm M , N , P , Q trong hình vẽ bên là
điểm biểu diễn lần lượt của các số phức các số phức z1 ,
z2 , z3 , z4 . Khi đó số phức w = 3z1 + z2 + z3 + z 4 bằng
A. w = −6 + 4i .
B. w = 3 − 4i .
C. w = 6 + 4i .
D. w = 4 − 3i .
Dạng 2: Phương trình số phức (Thông hiểu)
Câu 20: (Trích đề thi minh họa 2018) [5] Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức
của phương trình 4 z 2 − 4 z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng
A. 3 2 .
B. 2 3 .
C. 3 .
D. 3 .

1
2
i

2  2 
Bài tập tương tự
Câu 1: Trong £ , biết z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2 − 6 z + 34 = 0 . Khi đó,
tích của hai nghiệm có giá trị bằng
A. −16 .
B. 6 .
C. 9 .
D. 34 .
2
Câu 2: Trong £ , biết z1 , z2 là nghiệm của phương trình z − 2 z + 5 = 0 . Giá trị của
2
biểu thức ( z1 + z2 ) bằng:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2.
D. 4.
2
Câu 3: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z − 2 z + 5 = 0 . \
Tính P = z14 + z24
A. −14 .
B.14 .
C. −14i .
D. 14i .
2
Câu 4: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z − 3z + 5 = 0 . Tìm mô đun của
số phức w = 2 z − 3 + 14 .
A. 4 .
B. 17 .
C. 24 .
D. 5 .

. Suy ra b = 4 .
2
a − 2a − 3 = 0
Do đó z = 3 + 4i có z = 5 > 1 (thỏa điều kiện z > 1 ). Vậy P = a + b = 3 + 4 = 7 .
Bài tập tương tự:
Câu 1: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + 1 + 2i − ( 1 + i ) z = 0 và z > 1 .
Tính giá trị của biểu thức P = a + b.
A. P = 3 .
B. P = 7 .
C. P = −1 .
D. P = −5 .

18


2
Câu 2: Cho phương trình 8 z − 4 ( a + 1) z + 4a + 1 = 0 với a là tham số. Tìm a ∈ ¡ để

z

1
phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z là số ảo, trong đó z2 là số phức
2
có phần ảo dương.
A. a = 0.
B. a = 2.
C. a ∈ { 0; 2} .
D. a ∈ { 0;1; 2} .
Câu 3: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1; z1 + z2 = 3 . Tính z1 − z2 .
A. 4.


z

3
B. .
5

A. – 5

3
C. − .
5

1− i

D. 5.

Dạng 4: Tìm tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (Vận dụng)
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn: z − i = ( 1+ i ) z .
Giải: Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ). Ta có:
z − i = ( 1+ i ) z ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y ) + ( x + y ) i
⇔ x 2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y )
2

2

2

⇔ x2 + y2 + 2xy − 1= 0 ⇔ x2 + ( y + 1) = 2

B. I(2;-1), R = 4. C. I(-1;2), R = 2. D. I(2 ;-1), R = 2.
Câu 5: Cho số phức z = a + a2i với a ∈ R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức
liên hợp của z nằm trên:
A. Đường thẳng y = 2x
B. Đường thẳng y = -x + 1
2
C. Parabol y = x
D. Parabol y = -x2
Dạng 5: Cực trị của số phức (Vận dụng cao)
Câu 46: (Trích đề thi minh họa 2018) [5] Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ )
thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn
nhất.
A. P = 10 .
B. P = 4 .
C. P = 6 .
D. P = 8 .
2
2
Giải: Ta có: z − 4 − 3i = 5 ⇔ ( a − 4 ) + ( b − 3) = 5 ⇔ a 2 + b 2 = 8a + 6b − 20

( a + 1)

Đặt A = z + 1 − 3i + z − 1 + i ta có: A =

(

2

+ ( b − 3) +



+ ( b + 1)

+ b 2 ) − 4b + 12

= 2 ( 16a + 8b − 28 ) = 8 ( 4a + 2b − 7 ) ( 1) Mặt khác ta có:
4a + 2b − 7 = 4 ( a − 4 ) + 2 ( b − 3) + 15 ≤

2

2

2

)

) + 15 = 25

4a + 2b − 7 = 25
a = 6

⇔
= 10 2 ⇔  a − 4 b − 3
b = 4
 4 = 2

Câu 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z + 1− 5i = z + 3 − i , tìm số
phức có môđun nhỏ nhất.
Câu 2: Trong các số phức z có phần thực, phần ảo không âm và thoả mãn:
z− 3

thức về giải phương trình, hệ phương trình và các kiến thức liên quan.
Sau khi thực hiện sáng kiến, học sinh hiểu bài nhiều, tự tin hơn trong kỹ năng
làm trắc nghiệm phần số phức. Không những thế học sinh còn tăng năng lực tính
toán, năng lực sử dụng công cụ toán học, sử dụng máy tính cầm tay. Qua việc
thảo luận nhóm học sinh học được năng lực hợp tác giúp đỡ nhau cùng tiến bộ.
Kết quả thống kê của bài kiểm tra thường xuyên chương Số phức.
Lớp Sĩ
Tỉ lệ HS
HS đạt
HS đạt
HS đạt
HS đạt
dạy
số
đạt điểm
điểm khá
điểm TB
điểm yếu
điểm kém
giỏi
( 6,5 →
(5 → dưới (3,5 →
(dưới 3,5)
(8 → 10)
dưới 8)
6,5)
dưới 5)
12
5
19

số

41
33

Sau khi áp dụng phần kiến thức trong SKKN:
Tỉ lệ HS
HS đạt
HS đạt
HS đạt
đạt điểm
điểm khá
điểm TB
điểm yếu
→
→
giỏi
( 6,5
(5 dưới (3,5 →
(8 → 10)
dưới 8)
6,5)
dưới 5)
7
21
11
2
(17,07%) (51,22%)
(26,83%)
(4,88%)

của mình để các em có sự trang bị tốt nhất về kiến thức cũng như kĩ năng ôn thi.
Qua quá trình nghiên cứu, tôi rút ra một số kinh nghiệm sau đây:
- Phải cập nhật liên tục những cải cách, đổi mới về nội dung, phương pháp và
yêu cầu đối với môn học.
- Phải tích lũy kinh nghiệm ôn thi trong từng năm để xây dựng phương pháp dạy
học phù hợp.
- Xác định được điểm học sinh còn yếu, thiếu hay e ngại về kiến thức hay kĩ
năng để kịp thời trang bị.
Bể học thì dài rộng, kinh nghiệm cần được tích lũy thường xuyên, đều
đặn, kĩ năng cần rèn luyện liên tục đổi mới để phù hợp với yêu cầu của xã hội.
Trên đây mới chỉ là những đóng góp nhỏ của tôi về vấn đề dạy học số phức, rất
mong nhận được sự góp ý của bạn bè, đồng nghiệp.
3.2. Kiến nghị
- Nhà trường nên đầu tư mua hoặc khuyến khích giáo viên xây dựng bộ tài
liều ôn thi THPT QG theo từng chuyên đề của môn toán ở thư viện để học sinh
và giáo viên tiếp cận.
- Nhà trường cũng nên trang bị máy phô tô, máy chấm trắc nghiệm để hỗ trợ
giáo viên trong quá trình dạy học.
- Giáo viên cần xây dựng những trang cá nhân để tiện cung cấp những tư liệu
học tập cần thiết, có chọn lọc cho học sinh.
- Giáo viên nên đa dạng hóa các hình thức học tập để tránh sự nhàm chán cho
học sinh trong quá trình học.
- Học sinh cần xây dựng kế hoạch học tập khoa học, liên tục. Đặc biệt nên có
sổ tích lũy để lưu trữ những kiến thức, kĩ năng hay trong quá trình học

22


XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Phó Hiệu Trưởng