Chuyên đề:
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Môn: ĐẠI 7
Lớp: 7
Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh
Thực hiện ngày 11 tháng 3 năm 2008
I. Mục tiêu
Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng định nghĩa , tính chất của số chính phương dể chứng minh
một số có thể hay không thể là một số chính phương hay không?
2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh
3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.
II. Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7
- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7
- Bồi dưỡng toán 7
- Nâng cao và phát triển toán 7
- …
III. Nội dung
1. Kiến thức cần nhớ
A, định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự
nhiên.
VD: 9 và 25 là các số chính phương vì 9 = 3
2
; 25 = 5
2
B, Một số tính chất:
* Số chính phương chỉ có thể có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể có tận
cùng là 2; 3; 7 ; 9
* Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì có chữ số hàng chục là 2
* Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì có chữ số hàng chục

2
= 4k
2
+4k+1 chia cho 4 dư 1
Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1. Do đó
không không thể viết dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3
b. Một số tự nhiên chỉ có thể viêt dưới dạng 3k hoặc 3k+1 hoặc 3k-1.
Khi đó: (3k)
2
= 9k
2

M
3
(3k+1)
2
= 9k
2
+6k+1 chia cho 3 dư 1
(3k+1)
2
= 9k
2
- 6k+1 chia cho 3 dư 1
Vậy một số chính phương chỉ có thể viết dưới dạng 3n hoặc 3n + 1. Do đó
không thể viết dưới dạng 3n+2
2.2. VD2
Chứng minh rằng: A = 224 99...9 100..09 là số chính phương
n–2 số 9 n số 0
Giải:

n
– 3)
2
Ta thấy ( 15.10
n
– 3)
2
là bình phương của số tự nhiên. Vậy A là số chính
phương.
2.3. VD3:
Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số
hàng đơn vị dều là 6.
CMR: Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính
phương
Giải:
Cách 1:
Vì một số chính phương có chữ số hàng chục là 6 thì chữ số hàng chục của
nó là số lẻ.
Khi đó, chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, 9
Vậy tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là:
1+3+5+7+9 = 25 = 5
2
là số chính phương.
Cách 2:
Nếu một số chính phương M = a
2
có chữ số hàng đơn vị là 6
⇒
chữ số tận
cùng của a là số chẵn

= (n
2
+3n)(n
2
+3n) +2(n
2
+3n) +1
= (n
2
+3n)
2
+ 2(n
2
+3n) +1
= [(n
2
+3n) +1]
2
Với n
∈
N, A là bình phương của một số tự nhiên
⇒
A là chính phương
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không phải là một số chính phương.
3.2. BT2: CMR:
Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính
phương
Giải : Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n – 2, n – 1, n, n +1, n +2
Ta có: A = (n – 2)
2

không

thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8
⇒
n
2
+ 2
/
N
5
Do đó A = 5(n
2
+ 2)
M
5 nhưng
/
N
25.
Vậy A không là số chính phương.
3.3. BT3 CMR: Nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1
không thể là các số chính phương
Giải:
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên
⇒
p
M
2 và p
/
N
4 (1)

+ 4k = 4k.(k +1)
M
4 mâu thuẫn với (1)
Vậy p +1 không là số chính phương
* Ta có p = 2.3.5... là số chia hết cho 3
⇒
p -1 = 3k +3 -1 = 3k +2 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1 không thể là các
số chính phương
3.4. BT4 CMR số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n > 1 không phải
là số chính phương
Giải :
Ta có n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2

2
.[(n-1)
2
(n+1)
2
+ (n
2
+1)
2
] = n
2
(n+1)
2
[(n-1)
2
+1]
Với n > 1 thì (n-1)
2
+1 = n
2
-2n + 2 = n
2
-2(n-1) < n
2
(1)
Mà (n-1)
2
+1> (n-1)
2
(2)

2

(k
∈
N
*
)
⇒
A chỉ có thể có tận cùng là
0; 1; 4; 5; 6; 9
Xét các trường hợp
* Nếu A tận cùng bởi 0
⇒
A= 55...50
M
10 nhưng
/
N
100
999cs5
⇒
A không là số chính phương. Do đó A không thể có tận cùng bằng 0
* Nếu A tận cùng bởi 1
⇒
A= 55...51 = k
2

⇒
k là số lẻ
999cs5

= 4m
2
( 2)
Ta thấy vế phải của (2) là số chia hết cho 4 còn vế trái của (2) không chia hết
cho 4, vô lý. Do đó A không thể có tận cùng bằng 4
* Nếu A có tận cùng bởi 5 thì A chia hết cho 5
⇒
k
2

M
25 . Đặt k = 5q (q
∈
N
*
)
Vì A
M
5
⇒
A lẻ
⇒
qk lẻ
⇒
q lẻ. Đặt q = 2p +1 (p
∈
N
*
)
⇒

2
+ p = p( p+1)
⇒
55...5 là số chẵn, vô lí
Vậy A không thể có tận cùng bằng 5
* Nếu A có tận cùng bởi 6 thì A= 55..56 = k
2

Tổng các chữ số của A là 5+5+...+ 5 + 6 = 5.999 +6
M
3 nhưng
/
N
9
999 số 5
⇒
A không là số chính phương .Vậy A không thể có tận cùng bằng 6
* Nếu A có tận cùng bằng 9 thì A = 55...59 = k
2

⇒
k là số lẻ
Đặt k = 2l +1 (l
∈
N
*
)
Khi đó A = 55...59 = (2l +1)
2
= 4l


⇒
n
∈
{12; 24 ; 40 ; 60 ; 84}
Do đó 3n +1
∈
{37; 73; 121; 181; 253}
Trong các số trên chỉ có 121 = 11
2

là số chính phương .
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 40
3.7.BT7 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số
đó và số viết bởi 2 chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là số chính phương
Giải:
Gọi số tự nhiên có 2 chữ số cần phải tìm là
ab
( a, b # 0) a, b
∈
N
Số viết bởi hai chữ số của số
ab
nhưng theo thứ tự ngược lại là
ba
Ta có :
2 2
ab ba
−
= (10a +b)

≤
8 ; 2
≤
a+b
≤
18
⇒
a+b = 11
Khi đó
2 2
ab ba−
= 99( a
2
- b
2
) = 3
2
. 11(a+b)(a-b) = 3
2
.11
2
.(a-b)
Do đó, để
2 2
ab ba
−
là số chính phương thì a- b là số chính phương
Mà 0< a-b
≤
8 nên có 2 trường hợp a-b =1 hoặc a-b = 4