Chuyên đề
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
( HỒ DŨNG – THCS NHƠN THÀNH )
Trong chương trình toán THCS ta gặp toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đồ thò y = f(x) và
y = g(x) là nghiệm của hệ phương trình :
f(x)
y = g (x)
y =



. Phương trình hoành độ giao điểm :
f(x) = g(x) (*) . Biện luận số giao điểm của hai đồ thò trên là là biện luận số nghiệm của phương
trình (*) .
I) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx + n và (D’) y = m’x + n’
Toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đường thẳng (D) và (D’) là nghiệm cũa hệ phương trình
= mx+n
y = m'x+ n'
y



. Phương trình hoành độ giao điểm ( m – m’) x + n – n’ = 0 (*)
+ Phương trình (*) vô nghiệm
⇔
(D) // (D’)
⇔
m = m’ và n
≠
n’

khi đó (d) tạo với tia
Ox một góc
α
= 60
0
vì tg
α
= 3
2)+ Với k = 1 thì khoảng cách từ 0 đến (d) là 2 .
+Với k
≠
0 và k
≠
1 , gọi giao điểm của (d) với Ox , Oy là A,B . Thay y = 0 vào (**) ta có : x
A
=
1/k
⇒
OA = / 1/k / . Thay x = 0 vào (**) có
H
y = x
d
y
x1
3
0
y
B
= 2/ k – 1 hay OB = / 2/ k – 1 / . Rõ ràng (d) không đi qua gốc toạ độ O với k
≠

4 2 1
2 1) 1 4 2 x < .
6 2 1
x
−
+ > − ⇔
+
2) BPT đã cho viết dưới dạng ( 3m-4)x +(1-2m) > 0 (1)
Xét hàm số f(x) = (3m – 4)x + ( 1 – 2m) . Đồ thò hàm số này là một đường thẳng nên để BPT (1)
đúng với mọi x > 1 thì
3 4 0
3.
(1) 3 0
m
m
f m
− >

⇔ ≥

= − ≥

II) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax
2
(a
≠
0)
Toạ độ giao điểm ( nếu có) của đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax
2
là nghiệm của

(1 )
x
y
y m x

= −



= −

PT hoành độ giao điểm : ½ x
2
+m(1-x) = 0 hay x
2
-2mx +2m = 0 (*)
∆
’ = m
2
– 2m
+ (D) tiếp xúc với (P)
⇔
PT(*) có nghiệm kép
⇔
m
2
-2m = 0
⇔
m = 0 hay m = 2
+ PT các đường thẳng tiếp xúc với (P) : (D

= 0 hay x
2
- 4mx +4m
2
= 0
có nghiệm kép .
Bài 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x – y – a
2
= 0 và parabol (p)
y = ax
2
( a là tham số dương ) .
1) Tìm a để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A , B . Chứng ming rằng khi đó A,B nằm bên phải
trục tung .
2) Gọi u , v theo thứ tự là hoành độ của A,B . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
4 1
T
u v uv
= +
+
Giải : 1) PT hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) có dạng
ax
2
– 2x +a
2
= 0 (1)
Đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi
3
> 0
0 a < 1 .

và x
2
, chứng minh
1 2
2 x x− ≥
.
Giải : 1) (d) : y = kx +1 . PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x
2
+ kx -1 = 0 . PT này có

∆
> 0
⇒
đpcm . 2) x
1
.x
2
= -1 , từ đó
1 2 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
; x & cung dau nen x 2x x x x
x x x x
− = + + = + ≥
;
Bài 5. Cho hàm số y = -¼ x
2
.
1) Vẽ đồ thò (P) củahàm số trên .
2) Gọi I là điểm thuộc đường thẳng y = 1 và có hoành độ m ( m là tham số ) . Chứng minh rằng

1
x + (1 – a
1
m )
(D
2
) y = a
2
x + ( 1 – a
2
m ) , ( Trong đó a
1
, a
2
là nghiệm phương trình (1) ) Bài 6. Cho hàm số y = x
2

a) Vẽ đồ thò (P)
b) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ là – 1 và 2 . Viết PT đường thẳng AB .
c) Trên cung AB của (P) tìm điểm C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất .
Hướng dẫn :
a) HS thực hiện ( Hình vẽ bên dưới )
b) Tìm toạ độ các điểm A,B
A(-1 ; 1) B(2;4)
Phương trình đường thẳng AB là (D) y = x +2 .
c) Tìm điểm C( x
0

-4
y
x
I
0
B
A
f x
( )
=
-x
2
4
M đến đường thẳng (D) nhỏ hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này .
Dấu “ = “ xảy ra
⇔
M trùng C
Vậy C ( ½ ; ¼ ) là điểm thuộc cung AB sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất . M
y
x
(D')
(D)
(p)
H'
H
O
C