PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 ­ 2016

THANH HÓA

MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm) 
Cho P = 

x x
x x

2x
3 x

x

2
2

 + 

x x

2x

x x


1
y

b = y +     
c = xy + 

1
xy

Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc
2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 ­ 

1
1
3
2 ) 
( x

Điểm
0,5
0,5

2)( x 1) 2

 + 
 

= 

 
P > 1  > 1  ­ 1 > 0   > 0
 
 
 
   > 0 Theo đ/k x > 0  x + 3 > 0
 
  x – 1 > 0   x > 1   

0,5

0,5

Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4
Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
0,5
2


Xét ­ ≤ x 
a2 = x2 +  + 2
 
2
2
b  = y  +  + 2
 
2
2 2
c  = x y  +   + 2
 
ab = (x +  )(y +  ) = xy +   +   +   = c +   + 
 
 
     
   
  abc = (c +   +  ).c
   
2
= c  + c(  +  )
   
2
= c  + (xy +  )(  +  )
     
2
2
2
= c  + x  + y  +   + 
   
2
2

2
Đặt x +  = t thì x  +   = t2 – 2
 
 
2
Ta có (1)   2t  – 3t – 2 > 0

          (t – 2)(2t + 1) > 0 (2)
2

0,5

1,0
0,5

2

Vì x > 1 nên (x – 1)  > 0 x  + 1 > 2x   x +  > 2 hay t > 2  
 
  (2) đúng. Suy ra điều phải chứng minh          
 

1

4
IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) và AD = BC 

0,5

(GT)


0,5

Mặt khác dễ có IPHQ và KMHN là các hình thoi.

0,5

Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của MHN và PHQ. Suy  
ra H, I, K thẳng hàng
5

0,5
 

Đặt BD = x, DC = y. Giả sử x 
a   a2 + 
 
2
b  b  + 
 
ab   
 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được
+   ≥ a + b + ab = 
   
 
2
2
  a  + b  ≥ ( ­  ):   =   Thay vào ( )
       
P ≥   = 
   
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng   khi a = b = 
 
 
Lưu ý: ­ Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương
­ Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm

0,5

0,5

0,5