Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ
Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất
Đỗ Tú Anh
[email protected]
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt

2

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Tổ chức

3


CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Tại sao cần phép biến đổi Laplace?
ƒ Ta có

ƒ Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
xung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó.
ƒ Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
thành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức

s = σ + jω
6

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Định nghĩa phép biến đổi Laplace
ƒ Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là

ƒ Giải thích bằng phép biến đổi Fourier

ƒ Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier của

chỉ tồn tại khi a > 0

ƒ Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có

ƒ Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọi
giá trị σ > -a

9

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
ƒ Do s = σ+jω, ta viết lại thành

ƒ Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω).
Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω).
ƒ Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ

Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier

10


X ( s) =

B( s)
,
A( s )

với s thuộc miền hội tụ (MHT)

trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s
ƒ M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace
N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace.
ƒ Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm
không có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT.
ƒ Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳng
s bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoài
MHT.
12

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Biến đổi Laplace: Ví dụ 3
ƒ Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả
có ảnh Laplace là


CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Các tính chất của miền hội tụ
ƒ Với tín hiệu một phía phải
x(t )

x(t ) = 0, t > t1.
MHT:

Re {s} > σ max ,

trong đó σmax là phần thực lớn nhất
của các điểm cực

t1

t
0

ƒ Với tín hiệu một phía trái

x(t ) = 0, t < t2 .
MHT:

x(t )

Re {s} < σ min ,


t

ƒ Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên)
MHT:

σ 1 < Re {s} < σ 2 ,

trong đó σ1 và σ2 là các phần thực
của (ít nhất) hai điểm cực

x(t )

0

t

16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Miền hội tụ: Ví dụ
− at
at
sdfssdfdsfs
x(t ) = esdfssdf
u (t ) −

s−a

Re {s} < a jω

1
1
, − a < Re < a,
+
s+a s−a
2s
= 2
− a < Re < a,
2
s −a

ƒ Do đó

X ( s) =

− a×

×a

σ

x(t )

x(t )
(a < 0)


EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Biến đổi Laplace ngược
ƒ Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi
Fourier ngược.
ƒ Do

∞

X (σ + jω ) =

∫

−∞

⎡ x(t )e−σ t ⎤e− jωt dt ,
⎣
⎦

nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là

x(t )e−σ t

1
=

1

σ + j∞

2π j σ −∫j∞

X ( s )e st ds
19

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
ƒ Cho hàm phân thức bậc 2
được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản

ƒ Có 3 khả năng của MHT

và

20

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com



EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
ƒ Trường hợp MHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái
ƒ Ta có

ƒ Do đó ảnh Laplace của

là
23

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Các cặp biến đổi Laplace

24

EE3000-Tín hiệu và hệ thống