ÔN LUYỆN KHẢO SÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
PHẦN I – CƠ BẢN
A/ LÝ THUYẾT
Câu 1. Hãy nêu mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm cấp 1 của hàm số? Quy tắc xét
tính đơn diệu của hàm số?
Câu 2. Hãy phân biệt các khái niệm: Điểm cực đại, giá trị cực đại, cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị
hàm số?
Câu 3. Nêu cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên một đoạn, một khoảng, nửa
khoảng?
Câu 4. Nêu định nghĩa và cách tìm các loại tiệm cận của đồ thị một hàm số?
Câu 5. Hãy viết sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số?
B/ BÀI TẬP
Bài 1. 1) Xét sự đồng biến của các hàm số sau:
a)
4 2
2 3y x x= − + −
b)
3 2
2 3 12 1y x x x= − − +
c)
3 1
1
x
y
x
+
=
−
d)
2
1

c)
2sin 2 (2 3)y x m x= − +
nghịch biến trên R
3) Chứng minh rằng: a)
tan , 0;
2
x x x
π
 
> ∀ ∈
 ÷
 
b)
3
sin , 0
6
x
x x x− < ∀ >
Bài 2. 1) Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
4 2
4 2y x x= − + −
b)
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
c)
3 2
(1 )y x x= −
d)
2

3 2
2 3 2y x mx x= − − +
b)
2 2
( 2) 2x m m
y
x m
+ + + +
=
+
4) Tìm m đề hàm số:
3
2 2
( 1) 1
3
x
y mx m m x= − + − + +
đạt cực đại tại điểm x=1.
Bài 3. 1) Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a)
3
3 2y x x= − + −
trên
[ ]
3;0−
b)
3 2
1
x
y

f)
sin 2 , ;
2 2
y x x x
π π
 
= − ∈ −
 
 
g)
[ ]
3 2
1
3 , 2;4
4
y x x x= − ∈ −
h)
4 2
sin 4sin 5y x x= − +
2) Tính cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m
2
.
3) Tính độ dài bán kính đáy và chiều cao của một hình trụ có thể tích V cho trước và có diện tích toàn phần nhỏ
nhất.
Bài 4. Tìm tiện cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a)
3 1
1
x
y

x
y
x
−
=
−

e)
3
1y
x
= −
f)
1
1
x
y
x
−
=
+
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1)
3 2
3 2y x x= − +
2)
3
3 2y x x= − + +
3)
3

+
Phần II. Khảo sát và các bài toán có liên quan trong các đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến nay
Hàm đa thức:
D2004. Cho hàm số:
3 2
3 9 1 (1)y x mx x= − + +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m
=
2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng
1y x= +
D2005. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m =
2) Gọi
( )
m
M C∈
có hoành độ bằng -1. Tìm M để tiếp tuyến của (C
m
) tại M song song với đường thẳng d:
5 0x y− =
D2006. Cho hàm số:

B2007. Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1 (1)y x x m x m= − + + − − −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với
1m
=
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ.
B2008. Cho hàm số
3 2
4 6 1 (1)y x x= − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua M(-1;-9)
A2002. Cho hàm số:
3 2 2 3 2
3 3(1 ) (1)y x mx m x m m= − + + − + −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với
1m
=
2) Tìm k để phương trình
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =
có 3 nghiệm phân biệt
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1)
A2006. Cho hàm số:
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m để phương trình:
3
2

OAB∆
bằng
1
4
Cao đẳng 2008: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
1
x
y
x
=
−
2) Tìm m để đường thẳng
y x m
= − +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A2009. Cho hàm số:
2
( )
2 3
x
y C
x
+
=
+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt ox, oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại O
B2003. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
4y x x= + −

3 3 3 2 ( )
m
y x x mx m C= − + − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 0.
2) Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
a)
2 3
3x x m− =
b)
2
2
3x x m− =
c)
3 2
3 2x x m− + =

3) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
4) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu.
5) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương.
6) Tìm các điểm cố định của họ đường cong (C
m
).
Bài 3. Cho hàm số:
3 2
4 6 4 1 ( )y x x x C= − + −
Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
1) Tại điểm A(1;1)
2) Tại điểm B có hoành độ bằng 2.

3 3
x x m− + =
c.
3 2
1 2
3 3
x x m− + =
d.
3
2
1 2
3 3
x x m− + =
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a. Tại điểm có tung độ bằng
2
3
.
b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
: 3 9d y x= − +
c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2
1
: 5
8
d y x= +
d. Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1;0)
Bài 5. Cho hàm số:
4 2 2

1 1
x
x
a y b y
x x
+
+
= =
+ +
Bài 7. Cho hàm số:
2
( )
1
x
y C
x
−
=
−
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết:
1) Tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ 2
2) Tiếp tuyến đi qua A(0;-2)
Chú ý: Các em học ban khoa học tự nhiên đọc thêm phần hàm số dạng
2
( 0)
ax bx c
y ad
dx e
+ +
= ≠