Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Ch ơng 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1
)(
2
+
=
x
x
xg
2) Tính nguyên hàm của hàm số
32
)1(
1
)(
+
=
x
xf
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0#,)(
2
aaxxxg
+=
2) Tính nguyên hàm của hàm số

xF
++++=
là một
nguyên hàm của hàm số
axxf
+=
2
)(
Bài 5: CMR hàm số





=
>

=
0 xkhi 0
0 xkhi
4
)1ln(
)(
2
xxx
xF
là
một nguyên hàm của hàm số



1)
dx
xx










3
11
;
dx
x
x










3

1
1
; .
43
4
2
2
dx
x
x
dx
x
dx

+


2)
.
sin
; .
sin1
dx
x
dx
dx
x
dx

+








+

xx
dx
dx
x
e
e
x
x
3)

49
3.2
; .)1(
3


+
dxdxe
xx
xx
x

3
+
++
==
x
xx
xxf
2)
6
2
)( ;
132
f(x)
23
24

=
+
=
xx
xf
x
xx
3)
94
194
)( ;
2
1
f(x)

+
=
xx
xf
xx
xf
Bà
i 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
( )
xxxxx
xf
432
2
2
4.3.2f(x) ;23)(
=+=
2)
x
xx
x
exf
10
52
f(x) ;)(
11
23
+



Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
1
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Cho hàm số
23
333
3
2
+
++
=
xx
xx
y
1) Xác định a,b,c để
)2()1(
)1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a

f(x) ;
sin.cos
1
)(
==
5)
23x
x
f(x) ;
2sin3
cossin
)(
24
++
=
+
+
=
x
x
xx
xf
6)
22
3
)1x(x
1
f(x) ;
1
)(

x
13
f(x) ;
2
3)(
x
exxx
x
xxf
+
=






=
2)
2
2
x-1
11
f(x) ;
3
)(
xx
x
x
xf


=
3232
).12(
B ;
)4(
23428
3
xxxx
dxx
x
dxx
A
2)
dx
xxx
x
dx
x
x
A

++

=
+

=
.
)23(

Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)
dxx
xx
xdx
A .1B ;
11.1
2
22

+=
+++
=
2)
(
)
dx
xx
dx
e
dx
A
x
.
1)1(.1
B ;
1
3
2
3

3
1
B ;
)2).(1(
x
dxx
xx
dx
A
5)

+++
=
+++
=
11
B ;
22)1(
2
xx
dx
xxx
dx
A
6)


+
=
++

+
+
=
+
=
dx
x
xxx
xx
dx
A
sin2
cos.sincos
B;
1cossin2
2
2)

=

=
dx
xx
xx
dx
A
3
cos.sin
1
B ;

1023
2)

+
=

=
dx
x
dx
dx
x
dx
A
3232
)4(
B ;
)4(
3)
;
1
x
B ;
.1
2
56


=
+

x
.
1
1
B
2)

=
+
=
dx
x
x
x
dxxx
A
6
2
2
3
cos
sin
B ;
cos1
.cos.sin
3)

+
==
dx

2
2
=






==
2)
( )
;1f(x) ;x .cos)1()(
12x222
+
+=+=
exxxf
3)
;3cos.f(x) ;.sinx )(
-2x2
xeexf
x
==
4)
; )1cot(cot)(
2 x
egxxgxf

++=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau

dxex
A
x
).2cos(.B ;
)2(
.
2
2
2
5)

+
+
==
x
dxex
dx
x
x
A
x
cos1
.)sin1(
B ;.
sin
)ln(sin
2
6)

==

dx
x
x
dx
x
x
xA .
sin
cos
B ;.
1
1
ln.
3
2
3)

+==
dxxx
x
dxx
A ).1ln(B ;
sin
.
2
2
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

23
333
3
2
+
++
=
xx
xx
y
1) Xác định các hằng số a,b,c để
)2(
)1()1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

)22(
1
)( ;
)123(
1
)(
3222
+
=

=
xx
xf
xx
xf
3)

)54(
137
)( ;
)54(
137
)(
322


=


=

f(x) ;
12
)(
22
3
+
=
+
=
xx
x
xf
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
=

=
dx
xx
x
xx
dxx
A .
23
B ;
12
.
324

xx
dxx
A .
)10(
B ;
)1(
).1(
210
4
7
7
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
1)


=
+
+
=
dx
x
x
xxx
dxx
A .
)1(
B ;
65
).1(
100

sin)(
2
x
xf
=
2)
;cot)( ;)(
65
xgxfxtgxf
==
3)
;sin.cos)( ;8sin.cos)(
233
xxxfxxxf
==
4)
xxxxf
xxxxf
3cos.2cos.cos)(
;4sin.2cos.cos)(
=
=
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)

+
=
+
+
=

+
=
xxxx
dx
xxx
dx
A
22
22
cos5cos.sin8sin3
B
;
cos2sinsin
4)

+
=
+
=
xx
dxx
x
dxx
A
442
cossin
.2cos
B ;
1sin
.2sin


+
==
1cos2
).sin(sin
B ;
sin
.cos
2
3
3
4
x
dxxx
x
dxx
A
8)

+
=
+

=
12sin
B ;
2sin1
).sin(cos
x
dx

11
)1(
B ;
1
2
2
2
xxx
dxxxx
xxx
dx
A
3)


=
++
+
=
322
)1(
B ;
16
).54(
x
dx
xx
dxx
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau

dx
A
Bài 3(ĐHY HN 1999)
Biết rằng

+++=
+
Cxx
x
dx
)3ln(
3
2
2
Tìm
nguyên hàm

+=
dxxxF .3)(
2

Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999). Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
10
1
)(
+
=
x
x


+=
)
4
cos(.2)(

3)
xxxx
xF 4.3.2F(x) ;)23()(
32x22
=+=
4)
xx
x
ee
exF



==
x
23
e
F(x) :)(
5)
x
x
x
x
e

++
=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dxxedxbxeA
xax
.sin.B ;).sin(.
22
2)

==
dxexdxxxA
xn 32
.B ;.ln.
3)

+==
dxxxdxxA ).12ln(.B ;).sin(ln
2
4)
;.).4252(
223

++=
dxexxxA
x
5)


B ;
cos1
).sin1(
7)
;.
1
1
ln.
1
1
2


+

=
dx
x
x
x
A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
++
=
+
=
1.

phân tích
Bài 1: Tính các tích phân
1)


+
=+=
3
1
2
1-
2
3

2x
x.dx
B ;).1( dxxA
2)

++
=

=
2
1
5
2

22x
dx

.cos


x
dxx
B
4)



+

==
1
0
4
0
2
dx;B ;
cos
.
xx
xx
ee
ee
x
dxtgx
A

5)

0
3ln
0
;
sin1
B ;
.

x
dx
ee
dx
A
xx
7)

=
+
=
2
4
4
1
2
1
2
;
sin
B ;
1

3
0
22
2
3
t ;
49
6
B ;
cos3sin
x
xx
x
dx
xx
dx
A

Bài 2: Tính các tích phân


==
2
4
2
0
2
)
4
(cos.sinB ;.3sin.5cos

4).( dxxF
Bài 5: Cho
xbxaxF 2cos.2sin.)(
=
xác định
a,b biết

==






2b
a
,
1. va2
2
dxaF

Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
CMR

=


4
0
4

xác định a,b biết
( )

==

2
0
,
3).( va40 dxxFF
Bài 2 Tính tích phân bằng phơng
pháp
đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) (ĐHNN1 HN 1999)

=
1
0
19
;.)1( dxxxA
2) (ĐHSP Quy Nhơn)

+++=
1
0
102
;.)321)(31( dxxxxI
3) (ĐHTM 1995)

+

6) (ĐH TCKTHN 2000)

++
=
1
0
24

1
.
xx
dxx
I
Bài 2: : Tính các tích phân sau
1)
;.
4
B ;.
1
1
0
2
2
1
0


=

=

x
A
3)
1995) -(DHTM ;.1.
1
0

=
dxxxA
4)
1998) (DHYHN ;.1
1
2
1
2


=
dxxA
5)
2000) HP (DHY ;.)1(
1
0
32

=
dxxA
6)
1998) (HVQY ;.
1.

dxxtg
dxxA

2)


=
++
=
3
6
2
2
0
cos.sincos
.
B;
1cossin



xxx
dxtgx
xx
dx
A
3) (ĐHQGTPHCM 1998)

+
=

.cot.
sin
.sinsin


dxgx
x
xx
I
6) (ĐH Y Dợc TPHCM 1995)

+
=

0
2
cos49
.sin.
x
dxxx
I
7) (HVBCVT HN 1998)

+
=
2
0
2
3
cos1