Trần Só Tùng Tích phân
Trang 131
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi 4 đường:

(c):yf(x)
y0(trụchoànhOx)
xa
xb(ab)
=
ì
ï
=
ï
í
=
ï
ï
=<
ỵ
được tính bởi công thức:
b
a
Sf(x)dx=
ò

Nếu đồ thò (C) cắt trục hoành Ox tại một điểm
có hoành độ x = x
0
(như hình c) thì:

0
x
b
aa
(1)Sf(x).dxf(x).dxÛ=+-
òò

* Ghi chú: Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a ; b] thì ta dùng công thức sau:
b
a
Sf(x)dx=
òy
x
(C): y = f(x)
S
a b 0
(Hình a)
y
x S
a b
0
(Hình a)

có bảng xét dấu như hình bên thì:

0
0
x
b
ax
Sf(x)dxf(x)dx.=-
òòGhi chú:
(1) Diện tích S luôn là một giá trò dương (không có giá trò S £ 0).
(2) Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục hoành” thì ta phải tìm
thêm hai đường x = a, x = b để làm cận tích phân, hai đường này chính là giao điểm
của (C) và trục Ox, là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 (theo phương pháp đại số).
Với câu hỏi đơn giản hơn như: “Tính diện tích giới hạn bởi đường (C) : y = f(x) thì ta
phải hiểu đó là sự giới hạn bởi (C) và trục hoành.
(3) Một số hàm có tính đối xứng như: parabol, đường tròn, elip, hàm giá trò tuyệt đối, một
số hàm căn thức; lợi dụng tính đối xứng ta tính một phần S rồi đem nhân hai, nhân ba,
... (cũng có thể sử dụng tổng hoặc hiệu diện tích).
(4) Phần lớn dạng toán loại này ta nên dùng phương pháp đồ thò hiệu quả hơn; một số ít
phải dùng phương pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thò khó.
x a x
0
b
f(x) + 0 –

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 133

được tính bởi công thức:
b
a
Sf(x)g(x)dx=-
ò2. Phương pháp giải toán:
Cách 1. Phương pháp đồ thò:
* Trên cùng mặt phẳng toạ độ ta vẽ 2 đồ thò:
12
(C):yf(x)và(C):yg(x)==.
a/ Trường hợp 1: (C
1
) không cắt (C
2
)
§ Xác đònh vò trí: Trên đoạn [a ; b] thì (C
1
) nằm trên
(C
2
) hay (C
2
) nằm trên (C
1
) bằng cách vẽ một
đường thẳng song song với trục tung Oy cắt hai
đồ thò tại M và N.
Khi đó nếu M ở trên N thì đồ thò chứa M sẽ nằm trên đồ thò

) cắt (C
2
) tại điểm I có hoành độ x
0
.

0
0
x
b
ax
Sg(x)f(x)dxf(x)g(x)dx=-+-
òò

Hoặc dùng công thức sau:

0
0
x
b
ax
S[f(x)g(x)]dx[f(x)g(x)]dx=-+-
òò

Cách 2. Phương pháp đại số:
§ Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
§ Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét hiệu f(x) – g(x) để bỏ dấu “| |”.
§ Nếu (*) có một nghiệm x
0
thuộc khoảng (a ; b) thì:

0 a x
0

b
S
2

S
1

I
(C
2
): y = g(x)
(C
1
): y = f(x)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 134

0
x
b
aa
Sf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx=-+-
òò

rồi xét lại từ đầu trên các đoạn
00
[a;x]và[x;b].

2
, x
3
, x
4
)
§ Diện tích hình phẳng S cần tìm:
123
SSSS=++

314
123
xxx
134342
xxx
S[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx.Û=-+-+-
òòò

x
y
x
4
x
3
x
2
x
1
0
A

Phương pháp:
§ Thiết lập công thức tính S theo một hoặc nhiều tham số của giả thiết (giả sử là m), tức
là, ta có: S = g(m).
§ Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của g(m) bằng một trong các phương pháp:
+ Tam thức bậc hai
+ Bất đẳng thức Côsi hoặc Bu Nhia Côp Ski.
+ Sử dụng đạo hàm
Chú ý: Các cận a, b thường lấy từ nghiệm x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm của (C) và (d).

Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong

2
yx1x=+, trục Ox và đường thẳng x = 1.
Giải:
* Đường cong (C) :
2
yx1x=+ cắt trục hoành Ox khi:
2
x1x0x0.+=Û=
* Ta có:
2
x1x0,vớimọix[0;1]+³Ỵ. Do đó diện tích S cần tìm là:
1
2
0
Sx1x.dx.=+

* Diện tích hình phẳng S cần tìm:
e
1
1lnx
Sdx
x
+
=
ò

* Đặt:
2
1
u1lnxu1lnx2u.dudx.
x
=+Þ=+Þ=
* Đổi cận: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u2.=
* Ta có:
2
2
23
1
1
222
S2u.duu(221(221)
333
ỉư
===-=-
ç÷
èø

Sx4x)(x2x)dx(2x6x)dx3x9(đvdt)
3
ỉư
éù
=-+--=-+=-+=
ç÷
ëû
èø
òò

Ví dụ 4 (vấn đề 2): Parabol y
2
= 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn

22
xy8+= thành hai phần. tính diện tích mỗi phần đó
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P):
222
y2xvà(C):xy8;=+=

2
x2x8(vớix0)+=³
2
x2y2
x2x80
x4(loại)
=Þ=±
é
Û+-=Û

22
2
2
8x.dxI.-=
ò

Đặt: x22.sintdt22.cost.dt.=Þ=
Đổi cận: x2t/4=Þ=p ; x22t/2=Þ=p

/2/2/2
2
/4/4/4
/2
/4
1cos2t
I22.cost.22.cost.dt8cost.dt8dt
2
sin2t
4t2.
2
ppp
ppp
p
p
+
Þ===
ỉư
=+=p-
ç÷
èø

x
A
22
S
1

B
C
o
–2
2
2
y
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 138
* Gọi S là diện tích hình tròn (C)
2
S.R8Þ=p=p
* Gọi S
2
là phần diện tích hình tròn còn lại
2OBAC
4
SSS82
3
ỉư
Þ=-=p-p+
ç÷
èø


2
1
1
x
x
32
2
x
x
xmx
S(mx2x1)dxx
32
ỉư
=+--=-++
ç÷
èø
ò3322
212121
22
21212121
22223
1m
(xx)(xx)(xx)
32
1
(xx).2(xxxx)3m(xx)6
6

8x
===
như trên hình vẽ.
* Phương trình hoành độ giao điểm của
(P
1
) và (H):

2
27
x
x
=
3
x27x3toạđộA(3,9).Û=Û=Þ
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P
2
) và (H):
y
x
A
x
1
0 x
2

B
2
(d)
(P)