DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
1
Phạm Hồng Phong
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
2
Hà Nội – 2012
3
CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Loại 1. Khái niệm nguyên hàm
A. Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Cho
f :K
. Hàm số
F
được gọi là một nguyên hàm của
f
trên
K
nếu
F' x f x x K
.
Nếu chỉ nói
F
là nguyên hàm của
f
(không nói rõ
K
là tập nào) thì ta hiểu
F
là nguyên hàm
F x F b
xb
xb
lim f a
.
Cho hai hàm số
f
và
F
liên tục trên
a;b
. Nếu
F
là nguyên hàm của
f
trên
a;b
thì ta có thể
chứng minh được
F
cũng là nguyên hàm của
f
trên
G x F x C
với mọi
xK
.
Từ đó suy ra
F x C
,
C
là họ tất cả các nguyên hàm của
f
trên
K
. Họ tất cả các nguyên
hàm của
f
trên
K
được ký hiệu là
f x dx
. Như vậy
f x dx F x C
,
C
.
B. Các ví dụ
4
3
x
4
'x
4
x
1
4
f x dx C
.
2) Ta có
1
2x
x'
2
f x dx 2 x C
.
Ví dụ 2. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
1)
2x
1
f x e
.
2)
2
f x sin3x
.
3)
3
f x cos2x
.
Giải
1) Ta có
2x 2x
e ' 2e
cos3x
3
' sin3x
cos3x
2
3
f x dx C
.
3) Ta có
sin2x ' 2cos2x
sin2x
2
' cos2x
sin2x
3
2
x
2
x C x 1
Fx
x x 1
.
Ta tìm
C
để
F
là một nguyên hàm của
f
.
Dễ thấy
F' x f x
với mọi
x1
. Ta còn phải tìm
C
để
11
22
C
C1
.
Với
C1
thì
neáu
neáu
2
x
2
2
x
2
x 1 x 1
Fx
x x 1
2
x1
2
x
x1
x
22
F x F 1
2 2 1
x 1 x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
lim lim lim lim x 1 0 2
.
Từ
1
,
x
2
2
x
2
x 1 x 1
Fx
x x 1
.
C. Bài tập
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
1)
2
f x 3x
.
2)
100
f x x 1
.
3)
1 cos4x
2
fx
.
9)
x
f x e
.
10)
2
f x max 1,x
. Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số
thƣờng gặp và tính chất của nguyên hàm
A. Tóm tắt lý thuyết
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
6
* Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
0dx C
dx
x
2 x C
(
1
2
).
xx
e dx e C
,
x
x
a
a dx C 0 a 1
lna
.
cosxdx sinx C
,
si nxdx cosx C
,
f x g x dx f x dx g x dx
.
kf x dx k f x dx
.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:
1)
4
f x 4x
.
2)
f x x
.
3)
1
3
3
1
2
2x
x dx C
.
4)
xx
22
cos dx 2sin C
.
5)
cos2x
2
sin2xdx C
.
Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:
1)
x
2
2
x
fx
.
.
2)
2
65
4 5 4 2 3
3x
xx
6 5 2
x 1 x 3x dx x x 3x 3x dx x C
.
3)
2
1 cos2x sin2x sin2x
1 1 x
2 2 2 2 2 4
sin xdx dx dx cos2xdx x C C
3 x 2
2 x x e 3x
3
x
dx
. ĐS:
x
4
3x x
e 3ln x C
.
4)
2
2x
x
dx
. ĐS:
2x x
3
8 x 4x C
.
5)
2
x 1 dx
4
2 x 3
8
C
.
8)
100
x 1 dx
. ĐS:
101
x1
101
C
.
9)
2012
x 1 x dx
. ĐS:
2014 2013
1 x 1 x
. ĐS:
x3
1
2 x 1
ln C
.
12)
2
4x 6x 1
2x 1
dx
. ĐS:
ln 2x 1
2
2
x 2x C
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
x1
2 12 2x 3
ln C
.
15)
3
5
x xdx
. ĐS:
5
2
5x x
7
C
.
16)
44
x x 2dx
. ĐS:
3
x1
3x
C
6
2x 3 2x 3 2x 1 2x 1 C
.
20)
dx
3x 4 3x 2
. ĐS:
1
9
3x 4 3x 4 3x 4 3x 4 C
.
21)
x 1 2xdx
. ĐS:
2
11
10 6
1 2x 1 2x 1 2x 1 2x C
.
Bài 2. Tìm
x
2e x C
.
4)
x
e dx
x
2
. ĐS:
x
e
x
1 ln2 2
C
.
5)
2x x x
2 .3 .5 dx
x
10
. ĐS:
x
6
ln6
C
cos6xdx
. ĐS:
sin6x
6
C
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
9
3)
sinxcosxdx
. ĐS:
cos2 x
4
C
.
4)
2
sinx cosx dx
. ĐS:
cos2x
2
xC
.
8 12 2 12
sin 4x xsin C
.
8)
2
x
2
sin dx
. ĐS:
sinx
x
22
C
.
9)
2
x
2
cos dx
. ĐS:
sinx
x
22
C
.
10)
. ĐS:
3x sin2x sin4x
8 4 32
C
.
Loại 3. Phƣơng pháp đổi biến số
Bài 1. Tìm
1)
32
1 3x x dx
.
2)
5
32
1 3x x dx
Bài 2. Tìm
1)
x
2
x1
dx
.
2)
2
x
3
4x
4
x1
dx
.
7)
6
7x
7
x7
dx
.
8)
32
4x 3x
43
x x 1
dx
.
9)
6
7x 7
.
3)
4
23
x . x 2dx
.
4)
4
23
x . 2x 4dx
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
10
5)
23
x 1 2x dx.
.
6)
34
x . x 4dx
.
7)
67
x . x 7dx
dx
.
13)
x
3
2
x1
dx
.
14)
2
x
4
3
x1
dx
.
15)
3
4x
4
x4
dx
19)
2
9x
3
3
3x 4
dx
.
20)
2
6x
4
3
2x 4
dx
.
21)
1 x 1
3
2 x 1
x1
. dx
6)
2
sinx 1 .cosxdx
.
7)
sinx
2 cosx
dx
.
8)
cosx
2 sinx
dx
.
9)
sinx
2 3cosx
dx
.
10)
cosx
2 4sinx
.
15)
cosxdx
4
sinx 1
.
16)
3
cos xdx
sinx 1
.
17)
2cosx 3sinxdx
.
18)
1 2sinxcosxdx
.
19)
sinx
2 cosx
dx
.
20)
cosx
dx
.
25)
cosx 1 sinxdx
.
26)
1 2sinx cosxdx
.
27)
2
cosx 1 sinxdx
.
Bài 5. Tìm
1)
lnx 1
x
dx
.
2)
dx
lnx
xx
e 1 2e dx
.
4)
4
xx
1 2e e dx
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
11
5)
x
e
x
e1
dx
.
6)
x
e
x
3e 1
dx
.
11)
xx
e 1 e dx
.
Loại 4. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần
Tìm
1)
xcosxdx
.
2)
x 2 cosxdx
.
3)
2x 1 cosxdx
.
4)
xcos 2x 1 dx
.
5)
2x
x 1 e dx
.
12)
2x 1
xe dx
.
13)
xlnxdx
.
14)
xln 2x 1 dx
.
15)
2x 1 lnxdx
.
16)
x
1 e xdx
sinx
x tanx e cosx dx
.
23)
2
ln x
dx
x lnx 1
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
12
24)
1 3lnx lnx
dx
x
.
thƣờng gặp và tính chất của tích phân
Bài 1. Tính tích phân
1)
1
35
4
0
x x x x x dx
. ĐS:
71
20
.
2)
1
35
4
0
x 2 x 3 x 4 x 5 x dx
. ĐS:
229
20
.
3)
1
0
3
.
6)
1
2010
0
x 1 dx
. ĐS:
1
2011
.
7)
10
0
dx
2010x 1
. ĐS:
ln20101
2010
.
8)
2
2
0
x
dx
x1
.
11)
3
2
1
2x 3x 1
dx
x x 4
. ĐS:
141
11 35ln2 ln3
4
.
12)
432
1
2
x 2x 3x 4x 5
dx
x x 1 x 2
.
15)
5
3
x 2 x 2 dx
. ĐS:
8
.
16)
2
1
f x g x dx
với
32
f x 3x x 4x 1
và
32
g x 2x x 3x 1
. ĐS:
37
.
18)
0
1 sin2xdx
. ĐS:
22
.
19)
0
1 cos2xdx
. ĐS:
22
.
20)
4
44
0
cos x sin x dx
3
0
sin xdx
. ĐS:
8 5 2
12
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
15
24)
3
4
0
cos xdx
. ĐS:
8 7 3
64
.
25)
2
2
2x
0
e2
dx
e
. ĐS:
4
42
2
8
ee
.
28)
4
3
0
sinx
dx
cos x
. ĐS:
1
2
.
29)
n1
.
31)
4
2011 2009
0
tan x tan x dx
, với
n \{ 1}
. ĐS:
1
2010
.
32)
2
2011 2009
4
cot x cot x dx
, với
n \{ 1}
. ĐS:
I f(t)dt
. Ở đây
u(a)
u(b)
.
Bài 1. Tính tích phân
3
1
2
2
0
x
dx
x1
. ĐS:
ln2 1
24
.
. ĐS:
44
ln5
15
.
Bài 4. [ĐHD09] Tính tích phân
3
x
1
dx
e1
. ĐS:
2
ln(e e 1) 2
.
Chú ý:
b
be
x
a
a
e
f(t)dt
f(e )dx
t
. ĐS:
2ln3 3ln2
.
Bài 8. Tính tích phân
2
2
e
1
ln x 2lnx 1
dx
x(lnx 1)(lnx 2)
. ĐS:
2-2ln3+ln2
.
Bài 9. [ĐHA09] Tính tích phân
2
32
0
(cos x 1)cos xdx
. ĐS:
8
15 4
2
.
Bài 12. Tính tích phân
4
0
cos2x
dx
1 2sin2x
. ĐS:
ln 3
4
.
Bài 13. [ĐHB03] Tính tích phân
2
4
0
1 2sin x
dx
1 sin2x
. ĐS:
ln 2
2
I
1 cosx
. ĐS:
2ln2 1
.
Bài 17. Tính tích phân
3
2
0
sin xtanxdx
. ĐS:
3
ln2
8
.
Bài 18. Tính tích phân
3
6
0
sin3x sin 3x
dx
1 cos3x
0
1 tan x dx
. ĐS:
76
105
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
18
Bài 21. [ĐHB08] Tính tích phân
4
0
sin x dx
4
sin2x 2(1 sinx cosx)
. ĐS:
4 3 2
4
sinx cosx
dx
1 sin2x
. ĐS:
ln 2
2
.
Bài 24. Tính tích phân
2
3
0
cos2x
dx
(sinx cosx 3)
. ĐS:
1
32
.
Bài 25. Tính tích phân
2
19
2. Phép đổi biến
n
t f(x)
Bài 1. Tính tích phân
1
32
0
x x 3 dx
. ĐS:
6 3 8
5
.
Bài 2. Tính tích phân
. ĐS:
6ln3 8
.
Bài 5. Tính tích phân
3
22
0
xdx
x 2 2 1 x
. ĐS:
10 2 11
3
.
Bài 6. Tính tích phân
7
3
0
(x 2)dx
x1
. ĐS:
231
10
.
Bài 7. Tính tích phân
. ĐS:
116
135
.
Bài 10. Tính tích phân
e
1
3 2lnx
dx
x 1 2lnx
. ĐS:
10 2 11
3
.
Bài 11. [ĐHA05] Tính tích phân
2
0
sin2x sinx
dx
1 3cosx
3
2
3
2
33
2
dx
9x
. ĐS:
43
27
.
Bài 3. Tính tích phân
2
2
2
3
dx
x x 1
. ĐS:
6
.
Bài 4. Tính tích phân
6
. ĐS:
6
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
21
Bài 7. Tính tích phân
1
2
0
dx
x x 1
. ĐS:
3
9
.
Bài 8. Tính tích phân
1
2
1
xdx
x x 1
. ĐS:
1
2
.
Loại 3. Phƣơng pháp tích phân từng phần
Bài 1. [ĐHB09] Tính tích phân
3
2
1
3 lnx
dx
x1
. ĐS:
27
3 ln
16
4
.
Bài 2. [ĐHD08] Tính tích phân
2
2
5 3e
4
.
Bài 5. [ĐHD04] Tính tích phân
3
2
2
ln(x x)dx
. ĐS:
3ln3 2
.
Bài 6. Tính tích phân
1
2
3x
0
x e dx
. ĐS:
1
2
.
Bài 7. Tính tích phân
2
2x
0
e cos3xdx
xtan xdx
. ĐS:
2
ln2
4 32 2
.
Bài 10. Tính tích phân
7
1
2
4
0
x dx
1x
. ĐS:
2ln 2 1
8
.
x f y , x 0
y a, y b (a b)
được tính bởi công thức:
b
a
S f y dy
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
23
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x , y g x
x a, x b (a b)
y x 4 x 3
và
y x 3
.
ĐS:
109
6
(đvdt).
Bài 3. [ĐHB02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
x
y4
4
và
2
x
y
42
.
ĐS:
4
2
3
(đvdt).
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x 2x
x
y
8
và
27
y
x
.
ĐS:
27ln2
(đvdt).
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
yx
,
2
x
y
4
,
2
y
x
và
8
y
5
M ;6
2
tới
(P)
.
ĐS:
9
4
(đvdt).
Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
y x 1 x
, trục hoành và đường
thẳng
x1
.
ĐS:
2 2 1
3
(đvdt).
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
1 lnx
y
x
ĐS:
e
1
2
(đvdt).
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1
C : y x
2x
, tiệm cận xiên của
(C)
,
x1
và
x3
.
ĐS:
1
3
(đvdt).
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
25
Bài 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Loại 2. Tính thể tích vật thể
* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y 0
x a, x b (a b)
xung quanh
Ox
là
b
2
a
V f (x)dx
.
Copyright: Tài liệu đại học ©