ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hƣơng

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hƣơng

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN HIẾU

Hà Nội – Năm 2015




4

1.1.1 Khái quát về hố lƣợng tử ……………………………………………...

4

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong hố lƣợng tử với hố thế
cao vô hạn …………………………………………………………………...

5

1.2 Hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ……………………………

7

1.2.1 Khái niệm về hiệu ứng âm – điện và hiệu ứng âm – điện – từ trong
bán dẫn khối ………………………………………………………………..

7

1.2.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ….

8

CHƢƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƢỜNG ÂM – ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ VUÔNG GÓC CAO VÔ HẠN ...

15



38

Thảo luận kết quả ……...……………………………………………………

40

KẾT LUẬN ……...…………………………………………………….…...

41

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ………...…………………………

42


PHỤ LỤC ……………………………………...……………………………

45

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối

Trang 7

Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ
vào từ trƣờng ngoài trong trƣờng hợp từ trƣờng yếu, nhiệt độ cao

Trang 36


lƣợng của các hạt tải cũng bị gián đoạn theo các phƣơng này. Sự lƣợng tử hóa phổ
năng lƣợng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất vật lý của hệ nhƣ:
tƣơng tác điện tử - phonon, tính chất điện, tính chất quang. Khi chịu tác dụng của
trƣờng ngoài, các bài toán trong các hệ thấp chiều nhƣ: tính toán mật độ dòng, tính
toán hệ số hấp thụ, tính toán dòng âm điện, trƣờng âm điện, … sẽ cho các kết quả
mới, khác biệt so với trƣờng hợp bán dẫn khối. Các vật liệu mới với cấu trúc bán
dẫn thấp chiều nói trên đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên
nguyên tắc hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa
học kỹ thuật. Đó là lý do tại sao các cấu trúc thấp chiều trên đƣợc nhiều nhà Vật lý
quan tâm nghiên cứu.
Khi một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn có các electron dẫn thì do sự
truyền năng xung lƣợng từ sóng âm cho các điện tử dẫn làm xuất hiện một hiệu ứng
gọi là hiệu ứng âm - điện, nếu mạch kín thì tạo ra dòng âm - điện, còn mạch hở thì
tạo ra trƣờng âm - điện. Tuy nhiên khi có mặt của từ trƣờng ngoài theo phƣơng
vuông góc với chiều truyền sóng âm thì nó gây ra một hiệu ứng khác gọi là hiệu
ứng âm - điện - từ, lúc này có một dòng xuất hiện theo phƣơng vuông góc với

1


phƣơng truyền sóng âm và từ trƣờng ngoài gọi là dòng âm - điện - từ, nếu mạch hở
thì xuất hiện trƣờng âm - điện - từ.
Trên phƣơng diện lý thuyết, hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ trong bán
dẫn khối đƣợc xem xét dƣới hai quan điểm khác nhau. Trên quan điểm lý thuyết cổ
điển, bài toán này đã đƣợc giải quyết chủ yếu dựa trên việc giải phƣơng trình động
cổ điển Boltzmann, xem sóng âm giống nhƣ lực tác dụng. Trên quan điểm lý thuyết
lƣợng tử, bài toán liên quan đến hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ đã đƣợc giải
quyết bằng phƣơng pháp lý thuyết hàm Green trong bán dẫn khối, phƣơng pháp
phƣơng trình động lƣợng tử trong bán dẫn khối với việc xem sóng âm nhƣ một dòng
phonon âm. Bên cạnh đó với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ thì các

tử với thế cao vô hạn. Việc khảo sát số cũng đƣợc thực hiện và cho thấy sự phụ
thuộc của trƣờng âm - điện - từ vào từ trƣờng ngoài trong 2 trƣờng hợp: từ trƣờng
yếu và từ trƣờng mạnh. Kết quả thu đƣợc là mới, có những điểm khác biệt so với
trƣờng hợp trƣờng âm - điện - từ trong bán dẫn khối.

3


Chƣơng 1
HỐ LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Hố lƣợng tử
1.1.1. Khái quát về hố lƣợng tử
Hố lƣợng tử (quantum wells) là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn
hai chiều, đƣợc cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có
cấu trúc tinh thể tƣơng đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau
có độ rộng vùng cấm khác nhau nên tại các lớp tiếp xúc sẽ xuất hiện độ lệch ở
vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng
hóa trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử,
làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên
cạnh (tức là không có hiệu ứng đƣờng ngầm). Do vậy, trong cấu trúc hố lƣợng tử,
các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế
năng hai chiều. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lƣợng tử là
chuyển động của điện tử theo một hƣớng nào đó (thƣờng chọn là hƣớng z) bị giới
hạn rất mạnh, phổ năng lƣợng của điện tử theo trục z khi đó bị lƣợng tử hoá, chỉ
còn thành phần xung lƣợng của điện tử theo hƣớng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lƣợng tử do sự giam giữ điện tử
là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu nhƣ trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều,
mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật  1/2 (với  là năng lƣợng
của điện tử), thì trong hố lƣợng tử cũng nhƣ các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng
thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác 0 tại trạng thái năng lƣợng cho phép thấp nhất


L

trong hố lƣợng tử với thế tƣơng ứng thu đƣợc từ việc giải phƣơng trình
Schrodinger[2,6]
Hàm sóng: (x,y,z) =
Phổ năng lƣợng:

.exp(

=

+

).sin(

+

,
,

(1.2)
(1.3)

Trong đó n=1,2... là chỉ số mức năng lƣợng gián đoạn trong hố lƣợng tử,
Lz=L là độ rộng hố lƣợng tử, Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo phƣơng Ox và Oy, m
và e lần lƣợt là khối lƣợng và điện tích hiệu dụng của điện tử trong hố lƣợng tử.
b, Trƣờng hợp có mặt của từ trƣờng
b.1. Từ trường vuông góc với thành hố lượng tử
Bây giờ chúng ta đặt thêm một từ trƣờng không đổi

y)sin(
+

)

,

(1.6)

,

(1.7)

Với

là hàm sóng của dao động từ điều hòa quanh tâm
số cyclotron,

với tần số

=

tần

là đa thức Hermite, N=0,1,2… là chỉ số mức Landau từ.

b.2. Từ trường song song với thành hố lượng tử
Giả sử từ trƣờng ngoài đƣợc đặt vào nhƣ hình vẽ, khi đó ta có =(B,0,0).
Trong trƣờng hợp này nếu thế vectơ đƣợc chọn A=Ay=-zB thì phƣơng trình
Schrodinger có thể viết dƣới dạng sau:

ứng âm - điện. Tuy nhiên, trong sự có mặt của từ trƣờng, sóng âm truyền trong vật
dẫn có thể gây ra một hiệu ứng khác gọi là hiệu ứng âm - điện - từ. Hiệu ứng âm điện - từ tạo ra một dòng âm điện từ nếu mạch kín và tạo ra một trƣờng âm - điện từ nếu mạch hở.


H

W

0

V

x

y

Hình 1.1: Hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Hiệu ứng âm - điện - từ tƣơng tự nhƣ hiệu ứng Hall trong bán dẫn, ở đây


dòng âm W đóng vai trò của dòng điện jx. Về bản chất nguyên nhân xuất hiện ứng
âm - điện - từ là sự tồn tại các dòng riêng của các nhóm hạt tải mang năng lƣợng
khác nhau, khi dòng trung bình toàn phần trong mẫu bằng không.
Do sự phụ thuộc vào năng lƣợng  của thời gian phục hồi xung lƣợng, độ linh
động trung bình của hạt tải trong các dòng riêng này nói chung sẽ khác nhau. Vì
vậy nếu nhƣ toàn bộ mẫu đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài thì dòng Hall tạo bởi các
nhóm hạt tải này sẽ không triệt tiêu nhau và xuất hiện dòng âm - điện - từ (nếu mẫu
đóng mạch theo phƣơng Oy) hoặc trƣờng âm - điện - từ (nếu mẫu đóng mạch theo
phƣơng Oy hở ).


a p cq exp( i q t)

(1.10)

p ,q

Trong đó:
lần lƣợt là các toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái  .
p, q lần lƣợt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.

q là tần số của phonon ngoài. Cq là hằng số tƣơng tác điện tử - phonon âm.
 n ( p) là năng lƣợng của điện tử trong từ trƣờng ngoài.

là yếu tố ma trận của toán tử U  exp(iqy  l z ) .
Để thu đƣợc trƣờng âm - điện - từ chúng ta cần thiết lập phƣơng trình động
lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối. Bắt đầu từ phƣơng trình động cho toán tử
i

số hạt

f p (t )
t




 a p a p , Hˆ




 m 

 n p  q (1  n p )( N q  1)  n p (1  n p  q ) N q n p q (1  n p ) N q  n p (1  n p q )( N q  1) 



 p  q   p   q  s  i
 p q   p   q  s  i



Theo tính chất của hàm Delta Dirac ta có :
f p (t )
t

   Cq N q (n p  q  n p ) ( p  q   p  q )  (n p q  n p ) ( p q   p  q )
2

q

8


f p (t )

Hay

t



mc

phục hồi xung lƣợng vào năng lƣợng của điện tử .
e 

p (   p ) và tổng theo toàn bộ p ta nhận đƣợc
m

phƣơng trình cho mật độ dòng riêng R( ) :

Nhân cả 2 vế của (1.12) với

e 

 m pf

p


p

e 

 (   p )


 ( p )

 m pf  (  


p m
 p 


eC12W p 

f p (   p )[ f p  q  f p ] ( p  q   p   q )  [ f p q  f p ] ( p q   p   q )

v s 3 m
p
 e

e 



 m pf  (  

p


p

 ( p )


p

)


2

9


e 



 m pf  (  

p


p


p

e 
pf 0 (   p )




ep 
p m
 H [h ,  f p (   p )] 

 ( p )

S ( ) 
vs 3

Suy ra


Q( )  e 2 

p


p   f p
 E, 
m  p


 (   p )



p 
p m f p (   p )[ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )  [ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )



R( )
 H [h , R( )]  Q( ) + S ( )
 ( p )

(1.13)

p m
0



4e 2
p f 0
2
 )E

p
dp

(




p
(2 )3 0
m p


Q( )  e 2 

e2

2 2



2
2 mn

 2 
1  
 g 

(1.14)

Tính toán tƣơng tự ta có
10




eC12Wq 1
S ( )   3
vs (2 ) 2 1  2

g

 mn g

 2



eC12Wq 1  mn 

 




g

 2

1/ 2








 g
1/ 2

1/ 2


 mn 
1/ 2 
     1
 2 
g


1/ 2

C m q
Gọi  là hệ số hấp thụ sóng âm , công thức:   1 n f0 (1 )

vs

 g 

1/ 2

q2 

 (  1 ) là hàm bậc thang têta với 1  1 
2  2mn 




 1



1/2

eW
1
S ( )   2
3/2
vs (2mn ) f 0 (1 )




 

 
 




1
 Q( )  S ( )  ( )  H ( ) h , Q( )  h , S ( )
2 2
R( )  1  H  ( )  ( )
 


2 2

 H  ( ) Q( )  S ( ), h h














e
b1 ij  H b2 ijk hk  H2 hi h j .
vs (2mn )3/2



2



Với n là nồng độ điện tử ở vùng dẫn.
 ijk là ten-xơ phản đối xứng bậc 3.
0(i  j )
1(i  j )

 ij  





Giả sử dòng sóng âm W và từ trƣờng ngoài H cũng lần lƣợt đƣợc hƣớng dọc


theo các trục Ox và Oz và giả thiết rằng mẫu hoàn toàn cách điện ( j  0 ). Khi đó từ
(1.17) thiết lập hệ phƣơng trình jx = jy =0 và giải ra ta thu đƣợc biểu thức của
trƣờng âm - điện - từ EAME xuất hiện theo phƣơng Oz của mẫu :
Ta có phƣơng trình :


1   
v 
 g 
 
 ( )   0   
T  1 2 

v

g

Ta có:  yx  
 xx 

e2n
e2n
e2n
H a2 ;  yy 
(a1  H2 a3 ) ;  xy   yx 
H a2
mn
mn
mn

e
e
(b1  H2 b3 ) ;  yx  
H b2
2

mn
(2mn ) vs

Suy ra E y   n
4 2
en
 2 a 2  (a1  H2 a3 )2 
2  H 2
mn

Suy ra
Ey 

Đặt EW 

 a1b2  H2 a3b2  a2b1  H2 a2b3 


23/2 e(mn )1/2 nvs2 
H2 a22  (a1  H2 a3 )2


H W

W
trƣờng Weinreich
nvs e

Xét trường âm điện từ khi đặt mẫu trong từ trường yếu :



e 0 H
 1  H 0  1
mnc


1

E y  E AME

  2 n  e 0 H 

 f 01 (0, z )[ Fv 3 / 2, 4 ( z,  )]2
 EW 
2


 4mn vsT  mn c 
{F3v  3 / 2, 4 ( z,  ) F2v 1 / 2,3 ( z,  )  F2v  3 / 2,3 ( z,  ) F3v 1 / 2, 4 ( z,  )}

(1.20)

Từ công thức (1.19) và (1.20) ta có nhận xét rằng trong từ trƣờng yếu trƣờng
âm - điện - từ EAME tỉ lệ thuận với từ trƣờng ngoài H , còn trong từ trƣờng mạnh
trƣờng âm - điện - từ EAME tỉ lệ nghịch với từ trƣờng ngoài H.

14


Chƣơng 2

tần số

là đa thức Hermite, n=0,1,2… là chỉ số mức Landau từ.

cyclotron,

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hố lƣợng tử có dạng:
H  H 0  H e ph ,

(2.1)

H 0    n , p an, p an , p   k bkbk ,
x

x

n , px

(2.2) H e ph 

x

k



n , n' , p x , q

CqU n ,n (q )an, p  q an , p bq exp(iq t )
'

1

 C 2 2
 t  1  s2  ;
 Ct 

1   l 2  l
1 t2 
  q
 (  2)
;
t
2 t 
 2 l
1

 C 2 2
 l  1  s2  .
 Cl 

với Cs là vận tốc sóng âm,  là mật độ khối trung bình,  là thế biến dạng
Ct , Cl là vận tốc sóng âm ngang và dọc hố; S=LxLy là diện tích bề mặt.

U n,n' (q ) là yếu tố ma trận của toán tử U  exp(iqy  l z ) .




l   q 2 




z)
exp(
) exp(
)  n '( z  z0) dV
n
0
l

Lx Ly
'

=

1
i
i
n ( z  z0 ) exp( ( p ' x  px ) x) exp( ( p ' y  p y  q) y) exp(l z) n ' ( z  z0 ) dV

Lx Ly

16


=

1
 2
Lx Ly


n

( z  z0 ) exp(l z) n ' ( z  z0 ) dV

( z  z0 ) exp(l z) n ' ( z  z0 ) dV


mc
1 mc 12
(
)  exp(l z) H 2 n (z  z 0 )
n
2 n! 



 mc

(z  z 0 ) 2 dz
 exp 





 mc

2
mc 

mc



Nhƣ vậy ta có:

1
U
 2
Lx Ly

  p ,p 
2

'
x

2

Với L (
0
n

2
l

mc

)  3 4


dạng:

i

nn, px  t 
t

  an, px an, px , H  .
t

(2.4)

Hay:
i

nn, px  t 
t



  an, px an, px ,   n' , p' an', p 'x an ', p 'x 
x
n' , px'



t







 



, an', p 'x  an, px an', p 'x  an, px an', p 'x   n,n ' px , p 'x ; an, px , an ', p 'x  an, px , an', p 'x  0 ,

bq , bq'   bq bq'  bq'bq   q ,q ' ; bq , bq '   bq , bq'   0 .

Ta có:
 an, p an, p , a  a   an, p an, p a  a  a  a an, p an , p
n ,p n ,p 
n ,p n ,p
n ,p n ,p

x

'

x

 an, p ( n,n  p
'

x

'
x


'
x

'

x

'
x

'

'
x

'

'

'
x , px

'
x

x

x



x

x

'

x

'
x x

x

x

x

x

0





Suy ra:  an, p an , p ,   n ', p ' an', p ' an ', p '   0 ,


x

x



Suy ra:  an, p an , p ,  k bkbk   0 ,
k


x

(2.7)

x

t

 an, p an, p , an', p '

x

x

x

q

an '

1,



x

x

x

b  n ,n ' p

p 'x q

x , p 'x  q

Suy ra:

 a  a , C U (q)a 
q n ', n '
n ', p '
 n , p n , p n
', n '
p' q

x

x

1

1


x

x

b 

p 'x q

( n,n '  p p '  an, p an ' p ' )an, p bq

x q

x

x



 q an ' p ' bq


1,



x

18

t

an, p an '
x

1,

b  n ,n ' p

p 'x q

x , p 'x

CU



q

n ', n '1
p 'x , q

q

  CqU nn ' (a

an , p bq  a


n , px

x


an ', p q bq ) ,
x

n ',q

Thay các biểu thức (2.6), (2.7), (2.8)vào (2.5) và đặt:
Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q  t   an1 , p1 an2 , p2 bq

Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q  t   an1 , p1 an2 , p2 bq

t


t

,

 an2 , p2 an1 , p1 bq .
t

Ta thu đƣợc phƣơng trình:
nn, px (t )

i

  CqU nn ' ( Fn ', px  q,n, px ,q  Fn, px ,n ', px q ,q )

(2.9)








 an1 , p1  n2n ' p2 p 'x  an', p 'x an2 , p2 an ', p 'x bq1  an', p 'x  n2n ' p1 p 'x  an1 , p1 an ', p 'x an2 , p2 bq1 

 an1 , p1 an ', p 'x bq1 n2n ' p2 p 'x  an1 , p1 an', p 'x an2 , p2 an ', p ' x bq1 
an', p 'x an2 , p2 bq1 n2n ' p1 p 'x  an', p ' x an1 , p1 an ', p ' x an2 , p2 bq1 
 an1 , p1 an ', p 'x bq1 n2n ' p2 p 'x  an', p 'x an2 , p2 bq1 n2n ' p1 p 'x .
 



 an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,   n ',p'x an ', p 'x an ', p 'x 
n ',p'x



Suy ra:





n ',p'x

a


x



n ', p 'x

  n2 ,p2 an1 , p1 an2 , p2 bq1


t

t

  n1 ,p1 an1 , p1 an2 , p2 bq1

19

t



   n1 ,p1   n2 ,p2

a



n1 , p1 n2 , p2 q1 t

a

  k an1 , p1 an2 , p2 bk  q k
1

k

t

 q1 an1 , p1 an2 , p2 bq1


t

(2.12)

t

an1 , p1 an2 , p2 bq1 , an', p 'x q an '1 , p 'x bq   an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p 'x q an '1 , p 'x bq  an', p 'x q an '1 , p 'x bq an1 , p1 an2 , p2 bq1 
 an1 , p1 an2 , p2 an', p 'x q an '1 , p 'x bq1 bq  an', p 'x q an '1 , p 'x an1 , p1 an2 , p2  qq1  bq1 bq 









 an1 , p1  n2n ' p2 , p 'x q  an', p 'x q an2 , p2 an '1 , p ' x bq1 bq 



an', p 'x q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p 'x  an', p 'x q an1 , p1 an '1 , p ' x an2 , p2 qq1 





 an1 , p1 an '1 , p 'x bq1 bq n2n ' p2 , p 'x q  an', p ' x q an2 , p2 qq1  bq1 bq n1n '1 p1p ' x 

20