Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Chuyªn ®Ò II
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =

trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
1
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )

( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =

+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a
⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0

-Nếu a + 1 = 0
a 1
⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
3
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =


hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y
≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3

 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f ) x 3 5

ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1

+ = +
=
+ +
=

+
+ = +
+ +
3.Gii cỏc h phng trỡnh sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =


Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn
xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và
x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ
thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a
d d
b b
=

, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0


0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
1.2Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax

= +
- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
7
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung

2
.
Bi 8:
8.1) Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2) Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.
Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax
2
v hai ng thng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x=
(d
2
): 4x + 5y 11 = 0
a) Tỡm a bit (P), (d
1
), (d
2
) ng quy.
b) V (P), (d

+ =
Bi 11: Cho hm s: y = ax
2
cú th (P) v hm s: y = mx + 2m + 1cú th (d).
a) Chng minh (d) luụn i qua mt im M c nh.
b) Tỡm a (P) i qua im c nh ú.
c) Vit phng trỡnh ng thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P).
Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai
PHN II. KIN THC CN NM VNG
1. Cụng thc nghim:
Phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú = b
2
- 4ac
+Nu < 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim
+Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x
1
= x
2
=
a
b
2

+Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a

a
b

+Nu

> 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a
b
'
+
; x
2
=
a
b
'

3. H thc Vi-ột
a) nh lớ Vi-ột:
Nu x
1
; x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a0)
thỡ : S = x

2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
-1; x
2
=
a
c
−
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
- S

b) Phương trình px
2
+qx+k = 0 (p ≠ 0) có ∆
’
= .....(với q = 2q
’
)
Nếu ∆
’
..... thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
..... thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= .....
Nếu ∆
’
..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=..... ; x
2
= .....
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x
1
; x
2

a
c
; P = x
1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
1; x
2
=
a
c
D. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
1; x
2
=
a
c
10

= 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2

=
a
c
B.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= -1;
x
2
=
a
c
−
C.Phương trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b
−
và tích hai nghiệm là

2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601; ∆ = 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
−=
−−−
=
x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=
x
11
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0

50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
b) Giải phương trình (2- 3 )x
2
+ 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
∆ = (2
3
)
2

∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4; ∆ = 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23
2
+−=
−

– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2 3 x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6. 3 x
2
– (1- 3 )x – 1 = 0
7.(2+ 3 )x
2
- 2 3 x – 2 + 3 = 0
12
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0

x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x

+ 2 )(x

- 2 )(x + 3) = 0
⇔ x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =

4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒ ∆ = 23
Nên: t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
13

=
5
13
d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1

2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51
−−
; x
2
=
2
51
+−
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4

7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+






+−






+
x
x

+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3
−

2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1

* Bi tng t:
Cho phng trỡnh x
2
+ 2x - 3 = 0 cú 2 nghim l x
1
v x
2
.
Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1

44
353
xxxx
xxxx
+
++
LOI TON RẩN K NNG SUY LUN
(Phng trỡnh bc hai cha tham s)
Bi 1: (Bi toỏn tng quỏt)
Tỡm iu kin tng quỏt phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú:
1. Cú nghim (cú hai nghim) 0
2. Vụ nghim < 0
3. Nghim duy nht (nghim kộp, hai nghim bng nhau) = 0
4. Cú hai nghim phõn bit (khỏc nhau) > 0
5. Hai nghim cựng du 0 v P > 0
6. Hai nghim trỏi du > 0 v P < 0 a.c < 0
7. Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > 0 v P > 0
8. Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < 0 v P > 0
9. Hai nghim i nhau 0 v S = 0
10.Hai nghim nghch o nhau 0 v P = 1
11. Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < 0 v S < 0
12. Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn
a.c < 0 v S > 0
( ú: S = x
1
+ x
2
=

2
=1
Nu

> 0 1- k > 0 k < 1 phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
x
1
= 1-
k

1
; x
2
= 1+
k

1
Kt lun:
15