TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
===============
BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
DẠY HỌC DỰ ĐOÁN TRONG GIẢI TOÁN TÌM TẬP HỢP
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Người thực hiện: Nguyễn Xuân Nam
Lớp: Toán K4 – Bắc Giang
Giáo viên hướng dẫn: Th.S NGUYỄN VĂN HÀ
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I) Vai trò, ý nghĩa của dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông
Củng cố các kiến thức cơ bản trong hình học cho học sinh:
- Toán tìm tập hợp là một dạng toán tổng hợp, có nội dung phong phú chứa
đựng nhiều nội dung kiến thức cơ bản của hình học. Khi giải dạng toán này đòi
hỏi học sinh phải nắm rất vững các kiến thức cơ bản có liên quan đến bài toán và
phải biết cách vận dụng chúng một cách linh hoạt, sáng tạo. Vì vậy qua việc giải
các bài toán tìm tập hợp sẽ củng cố nhiều kiến thức cơ bản toán học cho học sinh.
- Ví dụ:
Xét bài toán: ‘‘ Cho một đường tròn (O, R) và một số l > 0. Tìm tập hợp các
trung điểm M của các dây cung AB có độ dài bằng l của đường tròn’’
Khi giải bài toán trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản
sau đây:
+ Khái niệm về đường tròn, đường kính và dây cung
+ Tính chất về mối quan hệ giữa đường kính và dây cung của một đường
tròn
+ Định lý Pi-ta-go về tam giác vuông
Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh:
- Qua những bài toán tìm tập hợp giúp học sinh nắm vững các loại mệnh đề
thuận, mệnh đề đảo, mệnh đề phản và mệnh đề phản đảo. Đối với những bài toán
có mệnh đề thuận phức tạp đòi hỏi học sinh phải hiểu được cấu trúc lôgic của
mệnh đề này mới có thể thành lập được mệnh đề đảo của nó. Đồng thời khi

- Qũy tích đường phân giác của một góc: Tập hợp những điểm cách đều hai
cạnh của một góc
- Qũy tích đường đường trung trực của một đoạn thẳng: Tập hợp những
điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng
Lớp 8:
- Qũy tích đường thẳng song song cách đều: Tập hợp những điểm cách đều
một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước
Lớp 9:
- Qũy tích đường tròn:
Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng cho
trước, hoặc tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định
cho trước dưới một góc vuông
- Quỹ tích cung chứa góc: Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một
đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc không đổi.
Lớp 10:
- Qũy tích tổng, hiệu bình phương: MA
2
 MB
2
= k
2

- Một số bài tập liên quan đến quỹ tích trục đẳng phương của hai đường
tròn, liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác, hoặc liên quan đến hệ thức
lượng trong đường tròn
Lớp 11:
- Bao gồm một số qũy tích cơ bản: Mặt phẳng trung trực của một đoạn
thẳng; Mặt phẳng phân giác của một nhị diện; Mặt cầu
- Một số bài tập tìm tập hợp liên quan đến các phép biến hình trong hình học
phẳng

thường ta chú ý đến các vị trí đặc biệt của phần tử chuyển động trong bài toán
tìm tập hợp.
Các vị trí đặc biệt ở đây thường là các vị trí biên của hình gốc, các vị trí xác
định trên hình gốc (Hình gốc là hình tạo bởi các yếu tố cố định trong bài toán tìm
tập hợp)
+ Trong dự đoán bằng thực nghiệm cần chú ý tìm ra ba điểm thuộc tập hợp
cần tìm:
Nếu ba điểm tìm được đó thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là thuộc
loại thẳng có thể là đường thẳng hoặc đoạn thẳng
Nếu ba điểm tìm được đó không thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là
thuộc loại tròn có thể là đường tròn hoặc cung tròn
Ví dụ:
‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường
tròn. Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B. Tìm tập hợp
trung điểm I của dây cung AB.”
Ví dụ:
‘‘Cho góc
µ
xOy
cố định. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong góc
µ
xOy
sao
cho tổng khoảng cách từ điểm M tới hai cạnh của góc là một số k > 0 không đổi.”
b) Dự đoán dựa vào điểm vô tận:
+ Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó
trong hình gốc có thể tăng lên một cách vô cùng lớn thì ta nói điểm vô tận thuộc
tập hợp cần tìm. Khi tập hợp cần tìm chứa điểm vô tận thì có thể dự đoán tập hợp
cần tìm thuộc loại thẳng
+ Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó

Hd:
M Ox: M  A  Ox sao cho
khoảng cách từ A tới Oy là k.
M Oy: M  B  Oy sao cho
khoảng cách từ B tới Ox là k.
Dễ thấy ba điểm A, M, B thẳng
hàng nên có thể dự đoán tập cần tìm
là đoạn thẳng AB
O
y
A
B
x
M
P
Q
T’
P
A
B
T
I
O
‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập
hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA
2
+ MB
2
= k
2


nào đó - M(

)”
- Làm cho học sinh thấy được tính chất đa dạng phong phú của các phần tử
chuyển động hoặc tập hợp cần tìm trong các bài toán tìm tập hợp:
+ Phần tử chuyển động có thể là điểm chuyển động, đoạn thẳng chuyển
động, đường thẳng chuyển động, cung tròn hoặc đường tròn chuyển động
Ví dụ:
‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường
tròn. Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B. Tìm tập hợp
trung điểm I của dây cung AB”
+ Tập hợp cần tìm có thể là tập rỗng, có thể là tập hữu hạn các phần tử, có
thể là tập vô hạn các phần tử, có thể là một đường liên tục hoặc một đường rời
rạc
Ví dụ:
O
P
A
B
N
M
Q
Hd:
Gọi điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB,
ta thấy điểm O cũng cố định
Dễ thấy nếu M thuộc tập cần tìm thì suy ra: N
đối xứng của M qua trung trực của AB; P đối xứng
của M qua O; Q đối xứng của M qua AB cũng
thuộc tập hợp cần tìm