yv"*

V

A

DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI
TRUÒNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIÈN
~

*

*

*
fc£j % ^ *S^ *Ì^ ^fi

*

*Jfi » ^ fc.)*

•J» * ^ • 1 ' • ^ ^ ^ ^ * *J* 'I*

DA]\G DIÉIJ TIÉM € A ] \ ClIA HE DÒ]\G LlTC
-«.-^

VA MOT SO lIl^fG DU]\G CIJA PHlTOl^G TRI]\H
VI P H A ] \ CO CHAM
MA SO: QT 0601

CHU TRI DE TÀI:

VA MOT SO tn\G DUIVG CÉA PHlJOrVG TRÌI\H
VI PHA]\ CO CHAM
MA SO: QT0601

Chù tri de tài:
PGS. TS. Dang Dình Chàu
Càc càn bó tham già:
T.S Nguyén Thiéu Huy
T.S Nguyén Sinh Bay
Th.s. TrdnTà't Dgt
CN. Nguyén Bùi Cifong

HA NOI-2007


Bào cào tóm tàt :
a. Tén de tài : Dàng dieu tiem càn cùa he dpng lue va mot sóùng dung
cùa phuùng trình vi phàn co cham
Ma so:
QT 06-01
b. Chù tri de tài:
PGS.TS. Dàng Dình Chàu
e. Cac càn ho phdi hgfp :
TS Nguyén Thiéu Huy
TS Nguyén Sinh Bay
Thgc SI Tran Tàt Dgt
CN. Nguyén Bùi Cuc/ng
d. Muc tiéu va nói duns nshién cihi:
He dòng lue tóng quàt là mot trong nhung mò hình ly thuyét toàn hoc co nhiéu ùng dung
quan trong trong thuc té. Nhung còng trình nghién cùu ve ly thyét He dóng lue tóng quàt


2. Tinh hàu tu dàng cà'u cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn

10
13

1. Tóng cùa toàn tu giao hoàn va su tón tai cùa nghiem hàu tu dàng
càu

13

2. Càc he dòng lue rói rac va su lién he vói càc he dòng lue lién
tue

CHl/ONG 3. Mot so mò hình ùng dung

14

17

1. He dòng lue trén nhóm dugc sàp thù tu va khai niem ma dàu

17

2. Mò hình dàn so

19

3. Mò hình ngoai thuang da quóc già



duang A; > 0 sao cho, vói mòi (t,(pi) E K\i =^ 1,2
\f{t.cpi)-f{t,

Cuoi cùng ta co:
k+l

(t-k)


(2)

^

= Axit) + f{t,x{t

+

6)y,t>0,

at
vói diéu kién ban dàu x{t) = p{t), -h^t

^0.

Trong dò x(.) E E\AE

toàn tu A khóng giói nói trong khóng gian E)\f{t,x{t
(3)

\\f{t,x{t

+ 9))\\^g{t)\\x{t

+ d)){t){-h

L{E);
^9^0)

(thóng thuòng


(i) Neu ||r(t)|l ^ M,\'t > 0 ;/// nghiem làm thuòng x{t) = 0 cùa phuang

trinh (2) là ón dinìi déu.
(ii) Neu lim(_»3c ||2"(t)|| = 0 thì ngìiiém tdm thuang x{t) = 0 cùa phucnig trinh (2) là ón
dinh mù déu.
Tu dò» chùng tòi co dua ra diéu kién dù cùa su ón dinh déu va ón dinh mù déu cùa phuong
trình (2) khi E = R"" nhu sau:


10

He qua 2.5. . Càc tfnh chat sau là tuang duang:
a)
b)
e)
d)

||r(t)KM;Vt>0
nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuong trinh (2) ón dinh.
nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuang trình (2) ón dinh déu.
tàt cà càc già tri riéng A cùa A thòa man ReX ^ 0, va néu i?eA = 0, thi A = 0 va A là già

tri don (tue là, ò Jordan ùng vói A co co là 1)
He qua 2.6. Càc tfnh chà't sau là tuang duong:
a)
b)
e)
d)
e)
0
nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuang trinh (2) ón dinh tiem càn déu.
nghiem tàm thuòng x{t) — cùa phuong trinh (2) ón dinh mti déu.
tàt cà càc già tri riéng cùa A déu co phàn thiic àm, tue là, ReX < 0;VA G a{A)

3. Tuang duang tiém can cùa phuang trình vi phàn co cham trong khóng gian Banach
Sau day, chùng tói giói thiéu tfnh tuong duang tiém can hai he phuang trình vi phàn sau:
(4)

^

=

Ax{t),t>0,

at
(5)

'^=Ay{t)-\-f{tMt

+

6)),t>^,

Dinh nghla 3.1. phuong trinh (4) va phuang trinh (5) goi là tuong duong tiém càn. Néu
mgi nghiem x{t) cùa phuang trinh (4), déu co nghiem y{t) cùa phuong trinh (5) sao cho:
(6)

o bi chan déu (Levinson's theorem).

U


CHlJÓNG 2

Tinh hàu tu' dàng càu cùa nghiem cùa phu'ong trình vi phàn

1. Tóng cùa toàn tu gìao hoàn va su tón tai cùa nghiem hàu tu dàng càu

minh dua trén khai niem ve phó déu là mói. Chù y ràng hàm hàu tu dàng càu khóng nhàt
thiét là lién tue déu. Vi vay, càc phuong phàp truóc day dua trén tinh lién tue déu khóng làm
viéc dugc trén bài toàn tóng quàt khi ma / khóng lién tue déu.
Tiép theo, chùng ta xét càc phuong trình co dang
dx
(8)
— =
A{t)x^f{t),
13


14

a day A{t) là mot toàn tu tuyén tinh (nói chung khóng bi chan) trén mot khóng gian Banach
X ma sinh ra mot qua trinh tién hoà 1-tuàn hoàn {U{t, s))t>s, va / là mot hàm hàu tu dàng
càu nhan già tri trong X trén R. Chùng ta quan tàm càc diéu kien ma dói vói no moi nghiem
dù tot giói nói cùa phuong trình này là hàu tu dàng càu. Toàn tu C/(l, 0) dugc ggi là toàn tu
monodromy két hgp vói phuang trình.
Dinh ly duói day dà dugc chùng minh trong [?]:
Dinh ly 1.2. Cho A{t) trong Eq. (8) sinh ra mot qua trinh tién hoà lién tue mgnh l-tudn
lioàn, va cho f là hdu tu dàng càu. Gid su thém ràng khóng gian X khóng chùa khóng gian
con nào dàng càu vài CQ va phàn pho cùa toàn tu monodromy U{1,0) trén duang tran dan vi
là dém dugc. The thì, mgi nghiem dù tot giài nói cùa Eq. (8) trén duàng thàng thuc là hàu
tu dàng càu.
Chù y ràng càc két qua tuong tir dùng dói vói tfnh hàu tuàn hoàn. Tuy nhién, càc phuang
phàp chùng minh càc két qua nhu vay dira nhiéu vào tfnh lién tiac déu cùa / .
2. Càc he dóng lue ròi rac va su lién he vai càc he dóng lue lién tue
Xét phuong trinh sai phàn tuyén tfnh
(9)


15

Nhò mói quan he giùa càc phuong trinh ròi rac va càc phuong trinh lién tiic chùng ta co
duói day:
Bó de 2.4. Cho u là mot nghiem dù tot giài nói cùa (8) trén R va f là hàu tu dàng càu.
Khi dò, u là hàu tu dàng càu né'u va chi né'u day {u{n)}n€Z là hàu tu dàng càu.
Vi vày, bó de trén cho phép chùng ta su diing càc ké't qua ve tfnh hàu tir dàng càu cùa
càc day de chùng minh càc két qua tuong tir cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn. Ky thuàt
này dac biét hiru fch khi / khóng lién tue déu.
Bay giò chùng ta xét dàng diéu cùa nghiem cùa phuang trình xàc dinh trén nùa duòng
thàng, càc phuong trình co dang
(12)

x{n + 1) = Bx{n) + f{n),

nEn,XnE\,

a day B là mot toàn tu tuyén tfnh giói nói trong X.
/^(X) := {{x(n)}n€N : ^{n) E X, sup||x(n)|| < +oo}.
nGN

Dinh ly 2.5. Cho x E 1^{X) là ergodic toàn cuc va a\p{x)

là dè'm dugc. The thì x là

hàu tuàn hoàn tiém càn.
Dinh ly 2.6. Gid su ràng phàn cùa a{B) trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, f là hàu
tuàn hoàn tiém can, x là mot nghiem giài nói cùa (12) ma là ergodic toàn cuc. The thì, x là
hàu tuàn hoàn tiém càn.
Chùng ta xét duói day phuong trinh

tfch M X G vào M thoà man càc tfnh chat sau:
(i)

f{p,e)=p

(ii) f{f{P.9i).92)

=

f{p.gi92)

(iii) Vói mpi p E M , phàn tu 5 G G va so £ > 0, tón tai so 6 > 0 sao cho vói mgi
q E S{p,6) bàt dàng thùc p{f{p,g)J{q,g))

< e(*) thoà man.

Dói khi diéu kién cuoi ta thay bang diéu kién lién tue manh hon là diéu kién lién tue tfch
phàn: vói moi go E G^, so e > 0 va p G M, tón tai so 5 >) sao cho vói mgi q E S{p, 6) bàt
dàng thùc (*) thirc hien vói mgi g E {e,go)Già su ^ C M, K C G, ta ki hiéu:
f{A,K)^{f{p,g):pEA,gEK}
J:A^f{A,G),E^
Hàm f{p,g)

=

f{A,G+)

vói diém p co dinh goi là chuyén dòng. Tàp goi f{p, G) là quy dao cùa chuyén

dóng (hay quy dao toàn phàn.
g va f{p, g') E U,^.
Tap hgp tàt cà càc diém a;- giói han cùa chuyén dòng f{p,g)

ta kf hiéu là fip.

Tuong tir ta co djnh nghla diém a-giói han cùa chuyén dòng f{p,g)
Mg E G, tón tai phàn tu g' E Gsao cho 5' < g va f{p,g')
giói han cùa chuyén dòng f{p,g)

néu vói moi làn can Uq.

E Ug, Tàp hgp tàt cà càc diém u-


p{f{p,g'),Qp) [) nìió lux y, tón tgi q E S{p, 8) sao elio f{q, G) C
S{j),S). thi j) là dièm dùng yèn.


Cac mó hình img dung

_^^

2. Mò hình dàn so
Sau day chùng tói xin dugc giói thiéu so qua ve mot so mó hình dàn so co dién.
2.1. Mó hình dàn so co dién cùa Malthus. : Nàm 1789 TR.Malthus dat ra mó hình
dàn so dóng lue ma trong do toc dò tàng truòng cùa quàn thè ti le vói dò lón cùa dàn so vói
càc già thiét sau:
1. Mgi dóng vat déu eó càc tfnh chat sinh thài nhu nhau (khóng eó su khàc nhau ve tuoi hay
ve gióng).
2. Co phàn ùng ngay lap tue khi co càc bién dói cùa mói truòng.
3.Khòng co cu trù ( chi co sinh va chét)
Trong mó hình này hàm F(t), biéu dién tóng so phàn tu eó trong quàn thè tai thòi diém
t, b là so trung bình càc con chàu (biéu hien toc dò sinh ) theo mòi dòng vàt va theo don vi

p~{t
K


20

. Tue là:
A ^ A . I l - ^
Do dò, hàm P{t) thoà man phuang trinh vi phàn sau:

Phuong trinh vi phàn tra thành phuang trinh logistic. Trong dò. Ai là hàng so miéu tà sir phàt
trién nói tai cùa quàn thè va I{ àuge goi là tiém nàng tài.
Ta co thè giài triJc tiép phuong trinh trén bang phuong phàp phàn ly bién so. Ta co:
^^^^ " 1 + [K/P{0) - l]e-^^^

*-°

Ta thày ràng nghiem trén co tfnh chat lim^^^oo = K. Do dò, trong su ma róng cùa dàn so
Malthus; dàn so dat trang thài càn bang khóng tàm thuòng khi thòi gian ra vó han.
2.2. Mó hình co dién tuyén tinh cùa F.R.Sharpe va A.Lotka: Mó hình cùa Malthusi
va Verhulst là càc vf dii cùa su lién tiic va sir tàt yéu cùa mò hình dàn so. Sau dò, ly thuyét
dóng hgc lién tiic cùa càc quàn thè sinh hgc dugc nhiéu nhà toàn hgc, sinh hoc va diéu tra dàn
so ma róng va phàt trién. Dàc biét, mó hình quàn thè tuyén tfnh co ành huong cùa càu trùc
tuoi dugc nghién cùu róng rài. Trong so càc mò hình dò, phài kè dèh mò hình cùa F.R.Sharpe
va A.Lotka(1911); A.G.Mckendrick(1926). Ben canh dò mò hình phi tuyén cOng dugc nhiéu
nguòi nghién cixu, Nàm 1974, M.Gurtin, R.C. MacCamy va F.Hoppensteadt dà giói thiéu mot
so mó hình quàn thè phi tuyén.
Sau day tói xin giói thiéu mó hình tuyén tfnh co dién cùa F.R.Sharpe va A.Lotka(1911)
dugc hình thành nhu sau:
Lày hàm p(a, t) là hàm mat dò phu thuóc vào tuoi a cùa dàn so tai thòi dièm t. Don vi


h-^o+

Và qua trinh sinh truòng cùa dàn so thoà man luàt sinh truòng (birth law) nhu sau:
'OO

p(0,t) = / P{a)p{a,t)da. t> 0
Jo
ò day, /3(a) là hàm tuoi khóng àm dugc bié't dèh nhu dàc trung sinh san hay ta eó thè hiéu
day là khà nàng sinh san cùa tuoi a. Biéu thùc p(0, t) eó thè giài thfch là so thành vién chào
dòi cùa quàn thè tai thòi diém t. Thóng thuòng do càc loài déu co tuoi hùu han nén ta thuòng
già su a; < +00 là tuoi tho lón nhàt cùa quàn thè thì khi dò tóng so dàn cùa quàn thè và so
tré chào dòi tai thòi diém t duoc viét lai nhu sau:
puf

P{t) = / p{a,t)da
Jo
puf

p{0,t) = /

P{a)p{a,t)da.

t >0

Sau day, ta se de càp dén su phàn bó cùa tuoi tai thòi diém ban dàu. Ta co:
p{a,0) = (p{a) a > 0
o day, hàm 0 cùng là hàm khóng àm cùa tuoi a là biéu dién cho chùng ta so lugng càc thành
vién cùa quàn thè eó tuoi là a tai thòi diém ban dàu. Do càc diéu kién ò trén, hàm cp phài
thoà man diéu kién tuong thfch (compatibility condition) là:
0
Jo
Nhu vay, hàm p va P Ih. càc hàm khóng àm cho truóc phii thuóc vào hai bién.
2.4. Mó hình dàn so ma róng: Nhung nàm gàn day ly thuyét ón dinh cùa mó hình
quàn thè da trang thài, trong do co su nhap cu và di cu dà dugc nhiéu nhà toàn hoc và
dàn so hgc nghién cùu nhu Pollard(1975), Espenshade(1982), Mitra(1983),Cerone(1986) và
H.Inaba(1988). Mò hình quàn thè thiét lap nén he Lotka- von Foerster khóng thuàn nhàt. He
này dà dugc chuyén ve bài toàn Cauchy tóng quàt trong khóng gian Banach. Chùng ta se
nghién cùu dàng dieu tiém càn cùa nò bang ly thuyét GQ nùa nhóm. De thuàn tién chùng tói
xin dugc giói thiéu mò hinh dugc mó tà bang he Lotka- von foerster khóng thuàn nhàt:
Dat p(a,t) = {pi{a,t),p2{a,t), ....,pn{a,t)y, trong dópi(a,t), 0 ^ z ^ n là hàm mat
dò cùa quàn thè con thù z, tue là J^ Pi{u, t)du là thè hién so cà thè ò quàn thè con thù i trong
eó tuoi tu a dén 6 tai thòi diém t. Dat L{à) là mot ma tran n x n, goi là ma tran ty le song
sót (the survival rate matric), trong dò phàn tu lij{à) là ty le ma mot cà thè sinh ò quàn thè
0


Càc mó hình ùng dung
VOI


TT + ^)P(«. 0 = Q{a)pia, t) + /(a, t.p{a, t + 9));
da
ut
p{0,t) = / M{a)p{a,t)da.
Jo

t >0

7;(a,0) =
f>0,

-h^t^O

2.6. àp dung càc két qua dà co vào bài toàn dàn so. Già su (r(t))£>olà nùa nhóm dàn
so sinh bòitoàn tu dàn so A theo tài liéu [8], nùa nhóm dàn só(T(t))(>o là nùa nhóm compact
voi t > fi tue là lap compact cuoi cùng Két hgp vói he qua (3.3) ta thày mó hình dàn so eó
sir di cu ( vói quy mò khóng qua lón) co sir tuong duong tiém càn vói mò hinh thàn nhàt
(khóng eó sijf di cu). Hon nua, trong mó hinh sau khi dà co sir di cu (khóng thuàn nhàt) co
thè tfnh dugc so thành vién ò dò tuoi a , thóng qua so thàn vién tuong ùng vói thành vién o
dò tuoi b cùa mó hinh khóng eó sijf di cu (thuàn nhàt). Tu do cho chùng ta eó su dir doàn so
thành vién cùa do tuoi a cùa mó hinh di cu néu chùng ta co so liéu cu thè. Càc két qua trén
co thè giùp chùng ta trong viéc diéu chinh so nguòi sao cho phù hgp vói yéu càu lao dóng
trong càc vùng khàc nhau cùa mot dàt nuóc bang càch di cu. Nhung de àp diing mot càch
co hieu qua dòi hòi phài co mot so khàc phiic mot so khò khan tiép theo ve mat tfnh toàn .
Chùng tòi dà dir dinh se khàc phijc nò bang càch su diing ly thuyét phuang trình sai phàn.


3. Mó hình ngoai thuang da quóc già

l.Mò hình chung
Tóng thu nhap quóc dàn (Y) bao góm :
Tong già tri xuàt khàu(X) + Tong tiéu dùng (D) + long CP dàu tu ròng (I)
Hay:
Y = X + D + I.
Ky hiéu:
Y = Tóng thu nhàp quóc dàn; M = Tóng GT nhàp khàu
X = Tóng GT xuà't khàu; C = Tóng tiéu dùng ; I = Tóng chi phi dàu tu ;
Chù y ràng tóng kinh phf cho tiéu dùng nói dia (D) bang :
Tong chi phi tiéu dùng (C) - Tong GT nhàp khdu (M).

và ngugc lai :
Mj(n)=X,(n) . M,(n)=Xj(n),
Tu càc già thiét trén cuòi cùng ta se di dén he phuang trình sai phàn :
2.He hai phuang trình sai phàn :
25


y , ( n + l ) = anyi(n)+ ^^nJiM + I;
y 2 ( n + l ) = a2i>'i(i^)+'^22}'2(n) + l2

( n = no, Ho+l, no+2,... )
Ky hiéu :
U(n) = col. (y2(n) ,y2(n)); B = col.a,,!^); A=( a,^ ) , . ,
Ta co phuong trinh ma tran :
U(n+1)= AU(n)+B.
( n = no, no + L no+2,... )

3.Giài phuang trình sai phàn và ve do thj minh hoa:

Vi du bang so

> a:=l/2;
:•

a

> b = 1;
b := 1
> e : = 0;
e :=


1 ) == 7 +

y(0)=

— zi n )
4

l , z ( 0 ) =

rsolve({ptl,pt2},(y(n),2(n);;
26

2