ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYỄN THỊ HẬU

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYỄN THỊ HẬU

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102



.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm
2.1 Kiến thức mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm nghiệm ổn định, bị chặn . . . . . . . . .
2.1.2 Một số bổ đề cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . .
2.2 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati . . . .
2.3 Các kết quả cho phương trình vi phân có chậm phân phối .
2.4 Bất phương trình ma trận với hệ tuyến tính không dừng

.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

4
4
4
6
7
7
14

.
.
.
.
.
.

phương trình vi phân có chậm và trình bày một vài ứng dụng của nó.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm:
giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một số
loại phương trình vi phân có chậm. Các ví dụ ở phần này ngoài mục đích giới
thiệu cách giải phương trình vi phân hàm còn nhằm làm bật tính vô hạn chiều
của tập nghiệm của phương trình vi phân hàm, bất kể không gian trạng thái là
vô hạn chiều hay hữu hạn chiều.
Chương hai trình bày khái niệm ổn định nghiệm và các phương pháp chính để
nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có chậm. Các định lý ở đây
đều thuộc hướng nghiên cứu ổn định bằng phương pháp thứ hai Lyapunov. Với
các phương trình hàm, thay vì hàm Lyapunov thông thường ta sẽ cần dùng tới
các công cụ mạnh hơn đó là các phiếm hàm Lyapunov- Krasovskii trong không
gian các hàm liên tục. Ngoài ra, chương này còn giới thiệu công thức nghiệm
của phương trình ma trận Riccati trong trường hợp hệ tuyến tính không dừng
và kết quả cho phương trình vi phân có chậm không dừng.
Chương ba trình bày một số ứng dụng của phương trình vi phân có chậm.
2


Cụ thể là ứng dụng các kết quả ổn định của các hệ có chậm vào bài toán điều
khiển và bài toán phân tích tính chất quần thể sinh thái đơn loài.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn
Sinh Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những
điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ


gọi là một phương trình vi phân thường trong không gian X (xem [1, 2, 13 ]).
Ở đẳng thức này ta thấy tốc độ thay đổi của hệ thống (đối tượng nghiên cứu)
tại thời điểm t (đặc trưng bởi x(t)
˙ ) chỉ phụ thuộc vào t và trạng thái tức thời
x(t) của chính hệ thống đó. Sau đây, ta sẽ đề cập đến một loại phương trình vi
phân trong đó ngoài sự phụ thuộc như trên tốc độ thay đổi x(t)
˙
còn phụ thuộc
vào trạng thái của hệ thống trong quá khứ hoặc trong tương lai (xem [8, 9, 10
12] ). Ta xét phương trình sau
x(t)
˙
= f (t, x(q1 (t)), x(q2 (t)), ..., x(qs (t))),

(1.1)

trong đó x ∈ Rn và để đơn giản (đủ cho việc nghiên cứu định tính) ta chỉ xét
cho trường hợp t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+ × Rn×s −→ Rn , f ∈ C 0 (liên tục theo
t), qi (t) (i = 1, s) là các hàm đơn điệu. Khi đó
• Nếu qi (t) = t, ∀i = 1, s thì (1.1) là một phương trình vi phân thường.
• Nếu qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) < t thì (1.1) được gọi là

một phương trình vi phân có chậm.
• Nếu qi (t) ≥ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) > t thì (1.1) được gọi là

một phương trình vi phân sớm.
4



xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]

ta sẽ có hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn ). Như vậy, xt là cung từ t − h đến t của đường
cong x = x(t). Khi s chạy trên [−h, 0] ta thấy x(t + s) chạy trên [t − h, t]. Có thể
thấy đại lượng này mang các thông tin về trạng thái x(s) với s ∈ [t − h, t]. Các
thông tin này là "chậm" theo nghĩa đã xảy ra trước thời điểm t. Khi x(t)
˙
phụ
thuộc vào các trạng thái này, ta sẽ có một quan hệ hàm được mô tả như sau
x(t)
˙
= f (t, xt ),

(1.2)

trong đó
f : D ⊂ R × C −→ Rn .

Đây là phương trình tổng quát nhất của các phương trình có chậm với độ chậm
h.
5


1.1.2

Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.1. ([9]) Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi trên
R+ mà khi thay vào (1.2) được đẳng thức được gọi là một nghiệm của phương
trình có chậm (1.2).


Lưu ý rằng hàm x(t) thỏa mãn phương trình tích phân trong Bổ đề 1.1 chỉ
cần khả vi bên phải hầu khắp nơi, không cần phải khả vi (hai phía) khắp nơi
như khái niệm nghiệm cổ điển của các phương trình vi phân thường. Ta sẽ thấy
điều này qua các ví dụ về việc giải các phương trình chậm ở phần sau.

6


1.2
1.2.1

Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc
Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc

Các phương trình vi phân thường dạng đặc biệt ta có thể giải được, hơn nữa
có thể đưa ra các công thức giải tích tường minh cho tập nghiệm trên toàn bộ
trục số. Với các phương trình vi phân hàm việc tìm nghiệm như vậy nói chung
là không thể, trừ một vài phương trình đơn giản với các điều kiện ban đầu cho
trước. Ngay cả trong trường hợp này, công thức nghiệm cũng chỉ có thể tìm
bằng cách dựa vào Bổ đề 1.1 (xem [9]), lấy tích phân trên từng đoạn có độ dài
h0 thích hợp, bắt đầu từ t0 . Các kết quả nhận được là rất khác nhau theo các
điều kiện ban đầu khác nhau và nói chung không nêu được một công thức giải
tích cho cả bán trục R+ . Phương pháp lấy tích phân theo từng đoạn như vậy
gọi là phương pháp "step" (bước chậm).
Sau đây là một vài ví dụ về việc tìm nghiệm trên các khoảng hữu hạn theo điều
kiện ban đầu. Nhắc lại phương trình có độ chậm h > 0 (1.2)
x(t)
˙
= f (t, xt )

trạng thái là vô hướng) tập phổ của phương trình đã khá phức tạp. Khi dạng
của phương trình tổng quát hơn và số chiều của không gian tăng lên thì tập
7


phổ lại càng phong phú, nói chung là rất khó kiểm soát. Điều đó cũng có nghĩa
là tập nghiệm của phương trình hàm là phức tạp, khó nghiên cứu về mặt định
lượng.
Về sự khác biệt giữa (1.2) và (1.3) cũng sẽ được làm rõ qua cách giải hai
phương trình này bằng phương pháp step ở phần sau.
Với điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên xác định, tập nghiệm có thể trở
nên đơn giản và tường minh hơn. Ta minh họa nhận xét này qua ví dụ sau trong
trường hợp đơn giản nhất, khi không gian trạng thái là vô hướng (X = R). Ta
xét cùng một phương trình nhưng trong ba tình huống sau:
Ví dụ 1.1.
a) Phương trình vi phân có chậm không có điều kiện ban đầu
x(t)
˙
= −x(t −

π
).
2

(1.8)

b) Phương trình vi phân có chậm với điều kiện ban đầu

π
x(t)



x(0) = a,

π
2

(1.9)

(1.10)

(a ∈ R).

Ta có thể thấy x(t) = cos t là nghiệm của (1.8). Thật vậy, với mọi t ≥ 0 có
x(t)
˙
= − sin t = − cos t −

π
2

= −x t −

π
.
2

Tuy nhiên, x(t) = cos t lại không phải là nghiệm của (1.9) vì không thỏa mãn
điều kiện ban đầu
x(t) = a,

h0 hàm là liên tục nhưng có thể không khả vi.
π
Theo (1.3), trên 0,
ta có
2

t

x(t) = x(0) −

x s−
0

π
ds
2

t

=a−

ads
0

= a(1 − t).

Trên

π
, π , ta có

2

Tương tự ta có thể thác triển trên π,

.

3π
3π
, 2π , ...
,
2
2

Bây giờ ta xét tới nghiệm của (1.10).

Do


x(t)
˙

= 0,

∀t ∈ R \ 0,

π
2

x(0) = a.
nên ta có x(t) = a,

2

là


Nhận xét 1.1.
π
• Trở lại phương trình có chậm (1.9), với hàm φ(t) = a, ∀t ∈ − , 0 ta có
2
π
π
3π
3π
nghiệm x(t) được tính như trên trên các đoạn 0,
, , π , π,
,
, 2π ,
2
2
2
2

... và nói chung là trên R+ .
• Cho hàm bất kỳ φ ∈ C

π
− ,0 ,R
2

ta cũng có thể thác triển nghiệm về

Từ (1.12) có x(t) = 0 không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Nên
−2
x(t)x
˙
(t) − x−1 (t) = −(t − 1)2 .

(1.13)

Đặt z(t) := x−1 (t), ta đưa về phương trình vi phân tuyến tính
z(t)
˙ + z(t) = (t − 1)2 .

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
z(t) = ce−t .
10

(1.14)


Tìm một nghiệm riêng ở dạng
z(t) = at2 + bt + c.

Ta tìm được
z(t) = (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2.

Vậy nghiệm tổng quát của (1.14) là
x(t) = Ce−t + (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2.

Thay lại z(t) = x−1 (t), ta được
x(t) =

f (τ, xτ )dτ

x(t) = φ(0) +
0
t

3x(τ − 1)dτ

=0+
0
t

x(τ − 1)dτ

=3
0
t

(τ − 1)dτ

=3
0

3
t
= (τ − 1)2 0
2
3
3
= (t − 1)2 − .

2
2
3
1
3
= − + 3 (t − 2)3 − t + 2
2
2
2
3
9
9
3
= (t − 2) − t + .
2
2
2

Trên [2, 3]
t

x(τ − 1)dτ

x(t) = x(2) + 3
2
t

3
9
9


Trên [3, 4]
t

x(τ − 1)dτ

x(t) = x(3) + 3
3
t

9
27
27
207
99
+3
(τ − 4)4 − (τ − 2)2 + (τ − 1) −
dτ
8
8
4
2
8
3
99 27
27
81
621 t
t
t

x(t) = φ(t) = t, t ∈ [−1, 0].
Giải.

12


Đặt x(t)
˙
:= y(t), ta có

x(t
˙ − 1) = y(t − 1),
x¨(t) = y(t).
˙
˙ = 1, t ∈ [−1, 0].
Ta có x(t) = φ(t) = t, t ∈ [−1, 0] nên y(t) = x(t)
˙
= φ(t)
Vậy

y(t)
˙ = 4y(t − 1) := g(t, yt ),

y(t) = 1, t ∈ [−1, 0].
Trên [−1, 0], y(t) = 1, x(t) = t.
Trên [0, 1]
t

y(t) = y(0) +


1
t

y(τ − 1)dτ

=5+4
1
t

[1 + 4(τ − 1)] dτ

=5+4
1
t

(4τ − 3)dτ

=5+4
1

= 5 + (4τ − 3)2
= 4 + (4t − 3)2 .
⇒ x(t) = 4t +

1
(4t − 3)3 + C2 .
12

13


3
Trong đó C1 , C2 , C3 là các hằng số.
= 29 + 16τ

t
2

t
2

Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ xác định được nghiệm của phương trình trên các đoạn
liên tiếp.
1.2.2

Trường hợp có nhiều độ chậm hằng rời rạc

Khi phương trình có nhiều độ chậm rời rạc khác nhau 0 < h1 < ... < hr = h
thì dù điều kiện ban đầu được cho trên đoạn có độ dài h nhưng khi vận dụng
Bổ đề 1.1, ta chỉ có thể lấy tích phân lần lượt trên các đoạn có độ dài h1 , kể từ
t0 . Ta minh hoạ qua ví dụ sau
x(t)
˙
= f (t, x(t − h1 ), x(t − h2 ), x(t − h3 ), ..., x(t − hr ))
x(t) = φ(t),

t ∈ [−h, 0],

trong đó 0 < h1 < h2 < h3 < ... < hr := h.
Để đơn giản ta coi t0 = 0.
Trước tiên, với t ∈ [0, h1 ], ta có

x(t) = x(h1 ) +

(1.16)

h1
t

f (τ, xh1 (τ − h1 ), xh1 (τ − h2 ), xh1 (τ − h3 ), ..., xh1 (τ − hr ))dτ

= xh1 (h1 ) +
h1

:= x2h1 (t).

Tương tự, trên [2h1 , 3h1 ] ta có
t

f (τ, x2h1 (τ − h1 ), x2h1 (τ − h2 ), x2h1 (τ − h3 ), ..., x2h1 (τ − hr ))dτ.

x(t) = x2h1 (2h1 ) +
2h1

...
Tiếp tục quá trình này, ta xác định được nghiệm của hệ trên toàn bán trục
R+ , trong đó trên [ih1 , (i + 1)h1 ]
t

f (τ, xih1 (τ − h1 ), xih1 (τ − h2 ), xih1 (τ − h3 ), ..., xih1 (τ − hr ))dτ

x(t) = xih1 (ih1 ) +


[2 sin(τ − 2) + 3 sin(τ − 3) − 4 sin(τ − 5)] dτ

=0+
0

= [−2 cos(τ − 2) − 3 cos(τ − 3) + 4 cos(τ − 5)]

t
0

= −2 cos(t − 2) − 3 cos(t − 3) + 4 cos(t − 5) + 2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5.

15


Trên [2, 4]
t

x(t) = x(2) +

f (τ, xτ )dτ
2
t

= −2 + 7 cos 3 + 2 cos 2 − 3 cos 1 − 4 cos 5 + 2

x(τ − 2)dτ
2



= [−2 sin(τ − 4) − 3 sin(τ − 5) + 4 sin(τ − 7)]
+ [(2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)τ ]

t
2

t
2

= −2 sin(t − 4) − 3 sin(t − 5) + 4 sin(t − 7) − 2 sin 2 − 3 sin 3
+ 4 sin 5 + (2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)(t − 2)
t

3

x(τ − 3)dτ =
2

t

x(τ − 3)dτ +
2

x(τ − 3)dτ
3

3

t

t
3

t
3

= cos 1 − 1 − 2 sin(t − 5) − 3 sin(t − 6) + 4 sin(t − 8) − 2 sin 2
− 3 sin 3 + 4 sin 5 + (2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)(t − 3)
t

t

x(τ − 5)dτ =
2

sin(τ − 5)dτ = − cos(τ − 5)
2

t
2

= − cos(t − 5) + cos 3

Từ đó, trên [2, 4]
x(t) = (2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)(5t − 13) − 4 sin(t − 4) − 12 sin(t − 5) + 4 cos(t − 5)
− 9 sin(t − 6) + 8 sin(t − 7) + 12 sin(t − 8) − 5 + 2 cos 2 − 10 sin 2 + 3 cos 3
− 15 sin 3 − 4 cos 5 + 20 sin 5.
16



và kéo dài nghiệm trên R+ được thỏa mãn.
Định nghĩa 2.1.
• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.2) được gọi là ổn định nếu ∀t0 ∈ R+ , ∀ >
0, ∃δ = δ(t0 , ) sao cho với mọi φ ∈ C mà ||φ|| < δ thì ||x(t0 , φ, t)|| < , ∀t ≥ t0 .

• Nghiệm x = 0 của phương tình (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và tồn tại δ1 > 0 sao cho với ||φ|| < δ1 thì x(t0 , φ, t) → 0 khi t → +∞ .

• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.2) được gọi là ổn định đều (hoặc ổn định

tiệm cận đều) nếu δ ( hoặc δ1 ) nói trên là không phụ thuộc vào t0 .

18


• Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu với mọi φ ∈ C, tồn tại δ > 0, N > 0

sao cho
||x(t0 , φ, t)|| ≤ N ||φ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
• Với α > 0 cho trước nghiệm x = 0 ổn định mũ với chỉ số α (δ = α) thì nói

nghiệm đó là α - ổn định mũ.
Khi nghiệm tầm thường x = 0 ổn định ta sẽ nói ngắn gọn là hệ phương trình ổn
định (theo các nghĩa khác nhau nói trên).
Ngoài khái niệm ổn định, đôi khi ta cần dùng đến khái niệm nghiệm bị chặn,
được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.2.
• Nghiệm x(t0 , φ, t) của phương trình (1.2) được gọi là bị chặn nếu ∃β(t0 , φ)


T

σ

w(s)ds
0

σ

σ

W

w(s)ds

wT (s)W w(s)ds.

≤σ
0

0

Ngoài ra ta cũng hay dùng đến các hàm thuộc lớp CIP , được định nghĩa như
sau
CIP := {u : R+ −→ R+ |u(0) = 0, u(s) > 0 nếu s > 0, u(.) liên tục và không
giảm trên R+ }.
2.1.3

Phương pháp nghiên cứu tính ổn định




Định lý 2.1. ([9]) Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R+ , V (t, 0) = 0, ∀t ≥
t0 , liên tục theo từng biến trên D và tồn tại các hàm u(s), w(s) : R+ −→ R+ liên
tục không giảm, u(s) > 0 với s > 0, u(0) = 0. Khi đó:
(i) Nếu
u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ)
V˙ (1.2) (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)

thì nghiệm x = 0 của (1.2) là ổn định.
(ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệm
s→+∞

của (1.2) là bị chặn.
(iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > 0 với s > 0 vào điều kiện (i) thì nghiệm
x = 0 của (1.2) là ổn định tiệm cận.
Phần chứng minh định lý này có thể xem ở [7] (J. Hale) hoặc ở [13] (Yoshizawa).
Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để nghiệm là ổn định đều.
Định lý 2.2. Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R+ , V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 ,
liên tục theo từng biến trên D và tồn tại các hàm u(s), v(s), w(s) : R+ −→ R+
liên tục không giảm, u(s), v(s) > 0 với s > 0, u(0) = v(0) = 0. Khi đó:
(i) Nếu
u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ) ≤ v(||φ||)
V˙ (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)

thì nghiệm x = 0 của (1.2) là ổn định đều.
(ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệm
s→+∞

của (1.2) là bị chặn đều.


Vậy với α > 0 nào đó, tồn tại số β = β(α) sao cho ∀t ∈ R, φ ∈ C, ||φ|| ≤ α thì
||x(t0 , φ)(t)|| < β . Do đó nghiệm x = 0 là bị chặn đều.
(iii) Theo (i) thì nghiệm x = 0 là ổn định đều. Ta kiểm tra tính hút về 0 của
nghiệm.
Giả sử = 1, δ0 = δ(1), trong đó δ(.) được định nghĩa trong (i). Ta đi chứng
minh rằng ∀ > 0, tồn tại t1 (δ0 , ) > 0 sao cho ||φ|| < δ0 thì nghiệm x(t0 , φ) thỏa
mãn ||xt (t0 , φ)|| < với t ≥ t0 + t1 (δ0 , ).
Giả sử tồn tại nghiệm x = x(t0 , φ), ||φ|| < δ0 thỏa mãn ||xt || ≥ δ, t ≥ t0 . Do đó
mỗi khoảng có độ dài h chứa một số s sao cho ||x(s)|| > δ . Vì vậy tồn tại {tk }k
sao cho
||x(tk )|| ≥ δ,

t0 + (2k − 1)h ≤ tk ≤ t0 + 2kh, k = 1, 2, ....

Do f là hàm hoàn toàn liên tục nên tồn tại hằng số L sao cho ||x(t)||
˙
< L, ∀t ≥ t0 .
Vì vậy, trong khoảng tk −

δ
δ
δ
≤ t ≤ tk +
ta có x(t) > .
2L
2L
2

Thật vậy, từ giả thiết của hàm f, tồn tại hằng số L sao cho ||x(t)||

δ
δ
= .
2
2

Do đó
V˙ (t, xt ) ≤ −w(||φ(0)||) ≤ −w

δ
2
22

,

tk −

δ
δ
≤ t ≤ tk +
.
2L
2L


Với L đủ lớn, nếu cần thiết ta có thể giả thiết rằng các khoảng này là không
giao nhau. Do đó
V (tk , xtk ) − V (t0 , φ) ≤ −w

δ

Định lý được chứng minh.
Định lý sau cho ta một tiêu chuẩn ổn định mũ.
Định lý 2.3. ([12]) Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R, V (t, 0) = 0,
∀t ≥ t0 , liên tục theo từng biến trên D. Nếu tồn tại các số dương λ1 , λ2 , λ3 sao cho
λ1 (||φ(0)||) ≤ V (t, φ) ≤ λ2 ||φ||

và
V˙ (1.2) (t, φ) ≤ −λ3 ||φ(0)||

thì nghiệm x(t0 , φ) của (1.2) thỏa mãn
||x(t0 , φ)(t)|| ≤

λ2
||φ||e−λ3 (t−t0 ) .
λ2

Định lý 2.4. ([3]) Cho

x(t)
˙
= f (t, xt ),
x(t) = φ(t), t ∈ [−h; 0].
Nếu tồn tại hàm Lyapunov- Krasovskii V (t, xt ) và số dương λ1 , λ2 , λ3 sao cho
mọi nghiệm x(t) thỏa mãn:
(i) λ1 ||xt ||2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 ||xt ||2
23