ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO

DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG
TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO

DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG
TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3
4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4
6. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 4
7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4
8. Đóng góp của đề tài................................................................................... 5
9. Cấu trúc của luận văn ................................................................................ 5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ............... 6
1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu............................................................... 6
1.2. Cơ sở thực tiễn ....................................................................................... 7
1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông . 8
1.3.1. Khái niệm năng lực ......................................................................... 8
1.3.2. Phân loại năng lực .......................................................................... 8
1.3.3. Các năng lực cơ bản cần phát triển cho học sinh trung học phổ
thông .......................................................................................................... 9
1.3.4. Năng lực toán học ......................................................................... 10
1.4. Kỹ năng giải toán ................................................................................. 11
1.4.1. Khái niệm kỹ năng......................................................................... 11
1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng ................................... 12
1.4.3. Kỹ năng giải toán .......................................................................... 12
1.4.4. Căn cứ để hình thành các biện pháp phát triển kỹ năng giải toán
cho học sinh trung học phổ thông ........................................................... 13


1.4.5. Các biện pháp chính nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học

3.1. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................ 61
3.2. Mục đích thực nghiệm ......................................................................... 61
3.3. Nhiệm vụ thực nghiệm ......................................................................... 61
3.4. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm ..................................................... 62
3.4.1. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ....................... 62
3.4.2. Triển khai dạy theo chuyên đề thực nghiệm ................................. 63
3.4.3. Đề kiểm tra, đánh giá học sinh ..................................................... 63
3.5. Triển khai thực nghiệm ........................................................................ 64
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................. 64
3.6.1. Kết quả bài kiểm tra, đánh giá...................................................... 64
3.6.2. Kết quả sử dụng bảng quan sát, phiếu đánh giá........................... 68
3.6.3. Kết quả phiếu điều tra ý kiến học sinh .......................................... 70
3.6.4. Tổng hợp, phân tích số liệu và kết luận ........................................ 71
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .............................................................................. 74
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 75
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

BĐT


Kỹ năng

7

KNGT

Kỹ năng giải toán

8

KT

Kiểm tra

9

LG

Lượng giác

10

NL

Năng lực

11

PPDH



DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Mô tả nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ............... 62
Bảng 3.2. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 1................ 64
Bảng 3.3. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 1 ...................... 64
Bảng 3.4. Tỷ lệ phân loại học sinh lần 1 ......................................................... 65
Bảng 3.5. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 2................ 66
Bảng 3.6. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 2 ...................... 66
Bảng 3.7. Thống kê tỷ lệ phân loại học sinh đạt lần 2 .................................... 68
Bảng 3.8. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua
giáo viên lần 1 ................................................................................................. 70
Bảng 3.9. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua
giáo viên lần 2 ................................................................................................. 70
Bảng 3.10. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông
qua giáo viên lần 3 .......................................................................................... 70
Bảng 3.11. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh qua ... 70
điều tra ............................................................................................................. 70

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 1................................... 65
Biểu đồ 3.2. Thống kê phân loại kết quả học tập của học sinh bài kiểm tra số
1 ....................................................................................................................... 65
Biểu đồ 3.3. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 2................................... 66
Biểu đồ 3.4. Kết quả phân loại, đánh giá kết quả học tập của học sinh qua bài
kiểm tra số 2 .................................................................................................... 68


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giáo dục, dạy học theo định hướng phát triển năng lực đang trở

đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng (các hệ số m, n, p trong biểu thức

mf ( A)  nf (B)  pf (C) không bằng nhau) trong tam giác là những bài toán
thú vị và khó trong giải toán lượng giác ở THPT. Trong các phương pháp đề
xuất, việc áp dụng tính chất hàm lồi, lõm của hàm số lượng giác nói riêng và
hàm số nói chung để khảo sát tính chất và tạo ra các mối quan hệ giữa các yếu
tố của tam giác mang hướng tiếp cận phù hợp và hiệu quả nhất để chứng minh
bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Đặc biệt phương pháp này thể hiện
quan hệ logic tốt trong tư duy, phù hợp với học sinh khá, giỏi; do đó, sử dụng
nó để phục vụ cho giáo viên (GV) bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT hay
phục vụ cho các kỳ thi Olympic sinh viên.
Đã có nhiều đề tài nghiên cứu về các phương pháp chứng minh bất
đẳng thức nói chung bao gồm cả bất đẳng thức lượng giác trong tam giác hay
cũng có những đề tài nghiên cứu về vấn đề sử dụng tính chất hàm lồi để
chứng minh các bất đẳng thức nhưng chủ yếu tập trung vào các bất đẳng thức
đại số. Tuy nhiên, về vấn đề riêng: sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh
bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thì chưa được trình bày chuyên biệt ở
một đề tài nghiên cứu cụ thể nào. Đồng thời, các đề tài này chỉ thuần túy về
kiến thức toán nói chung mà không thể hiện rõ mục tiêu hướng đến là rèn
luyện kỹ năng (KN) hay năng lực (NL) cụ thể nào cho học sinh.
Từ các lý do trên tôi đã chọn đề tài “Dạy học vận dụng tính chất của
hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát
triển kỹ năng giải toán cho học sinh” để nghiên cứu thông qua dạy học một
lượng kiến thức, các dạng toán cụ thể có thể hình thành và phát triển kỹ năng
giải toán hay kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh. Đồng thời, đề tài này

2


cũng không nằm ngoài mong muốn góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh

- Tìm hiểu các căn cứ lý luận làm cơ sở cho đề tài.
- Điều tra thực trạng dạy học phát triển KNGT từ vận dụng tính chất
thông qua sử dụng tình huống cụ thể là: vận dụng tính chất hàm lồi để chứng
minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác ở trường THPT hiện nay.
- Tìm hiểu nội dung bất đẳng thức trong tam giác, nội dung liên quan
tới tính chất hàm lồi, từ đó thiết kế hệ thống bài tập thực tiễn, cách sử dụng
các bài trên trong dạy học môn Toán để phát triển KNGT cho HS THPT.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm bước đầu tính khả
thi cũng như tính hiệu quả và những biện pháp đề xuất của đề tài.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu GV tuyển chọn, xây dựng được hệ thống bài tập chất lượng đi kèm
với hiệu quả sử dụng phương pháp nói trên vào trong quá trình dạy học sẽ làm
HS phát triển được tư duy logic, tăng khả năng nhạy bén, say mê, tích cực,
chủ động và sáng tạo trong học tập. Qua đó phát triển KNGT hữu hiệu cho
HS, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức cũng như
chất lượng dạy học Toán ở trường THPT.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu những cơ sở lý luận về bài tập thực tiễn, các năng lực
chung và năng lực chuyên biệt, các phương pháp dạy học Toán để phát triển
kỹ năng vận dụng cho học sinh THPT.
- Hệ thống trên cơ sở phân tích các tài liệu có liên quan từ các tạp chí,
sách chuyên đề và các nguồn tài liệu từ internet, hội thảo.
7.2. Nghiên cứu thực tiễn
- Dự giờ và điều tra bằng bảng hỏi để biết được thực trạng dạy và học
Toán cũng như thực trạng sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất
đẳng thức lượng giác trong tam giác khi dạy học ở THPT.

4


5


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu
Kỹ năng giải toán hay kỹ năng vận dụng kiến thức trong toán học rất
được chú trọng quá trình dạy học toán. Bởi toán học là môn khoa học cơ sở,
gắn liền với nhiều môn khoa học khác kể cả khoa học tự nhiên hay khoa học
xã hội. Nếu HS có được KNGT tốt thì sẽ say mê hơn với toán học, đặc biệt
khi có được KNGT xuất phát từ việc giải được các bài toán bất đẳng thức
bằng vận dụng tính chất hàm lồi thì càng kích thích được khả năng học toán,
với đối tượng học sinh khá giỏi cũng vậy và học sinh có khả năng nhận thức
toán nhất định cũng thế. Sách giáo khoa hiện hành không còn đề cập nhiều
đến bất đẳng thức lượng giác trong tam giác, song đây vẫn là dạng toán quan
trọng xuất hiện trong các kỳ thi mang tính quốc gia hay các kỳ thi chọn học
sinh giỏi. Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân nên việc gắn liền giữa giải bài
toán nói trên qua vận dụng tính chất hàm lồi để phát triển KNGT cho học sinh
còn gặp nhiều khó khăn, hạn chế. Nhiều khi bài toán đưa ra lời giải chỉ là để
đấy còn rất xa vời với việc hình thành KNGT nói chung cho học sinh, quá chú
trọng đến các tính toán phức tạp mà quên hình thành và phát triển dần KNGT
đó. Để phần nào đáp ứng được nhu cầu đổi mới nội dung, phương pháp giảng
dạy và học tập môn toán tại trường phổ thông theo hướng phát triển KNGT
cho HS đã có một số sách tham khảo được xuất bản.
Bên cạnh đó, một số học viên cao học cũng đã nghiên cứu và bảo vệ
luận văn theo hướng đề tài này, song đi theo hướng nghiên cứu về Toán học,
chủ yếu tập trung vào tính chuyên ngành, như:
Lê Thị Bình, 2018, Áp dụng tính chất của hàm lồi giải các bài toán cực
trị trong tam giác, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Hồng Đức.
Nguyễn Đình Thọ, 2014, Về cực trị hàm lồi, Luận văn Thạc sĩ Toán
học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

năng lực chuyên môn cũng như trong cuộc sống. Như vậy, ngay trong quá

7


trình học tập ở nhà trường phổ thông, HS cần được hình thành và phát triển
năng lực vận dụng kiến thức.
1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông
1.3.1. Khái niệm năng lực
Theo [5] thì NL “là một thuộc tính tích hợp nhân cách, tổ hợp các đặc
tính tâm lí của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác
định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt đẹp” hoặc theo cách quan niệm
khác NL lại là khả năng đảm nhận công việc và thực hiện tốt công việc đó
nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn.
(Xem [9]) Khi các GV trường THPT hoàn thiện những chủ đề dạy học
thì các nhà trường đã đến gần hơn với mục tiêu giáo dục đề ra đã giúp cho
việc giải quyết những vấn đề cơ bản của dạy học theo cách tiếp cận năng lực
được sáng tỏ hơn, như: hiểu như thế nào về dạy học theo cách tiếp cận năng
lực? Những yêu cầu, nguyên tắc giáo dục theo tiếp cận năng lực? Hay điểm
khác biệt giữa khái niệm năng lực, kỹ năng… Từ những vấn đề lý luận này,
ông đã nhận định “NL của học sinh là khả năng làm chủ những hệ thống kiến
thức, kỹ năng, thái độ... ” đồng thời ông cũng chỉ ra rằng NL của HS cần “phù
hợp với lứa tuổi” hay NL cũng cần được “ vận hành chúng một cách hợp lý
vào thực hiện thành công nhiệm vụ học tập” để góp phần “giải quyết hiệu quả
những vấn đề đặt ra cho chính các em trong cuộc sống”.
Từ đó, có thể khái quát được là NL phải gắn liền với khả năng thực
hiện được, tức là “học” và “hành” phải song hành cùng nhau. Do đó cần phải
thể hiện được bằng hành động là đạt được những yêu cầu nhất định về kiến
thức, kỹ năng cũng như thái độ thì mới khẳng định được là quá trình dạy đó
đã hình thành và phát triển được năng lực cho đối tượng tương ứng.

phát triển cho HS phổ thông là:
+ NL tự học;
+ NL giải quyết vấn đề;
+ NL sáng tạo;

9


+ NL tự quản lý;
+ NL giao tiếp;
+ NL hợp tác;
+ NL vận hành công nghệ;
+ NL tìm kiếm và khai thác thông tin;
+ NL sử dụng ngôn ngữ;
+ NL tính toán.
1.3.4. Năng lực toán học
Năng lực toán học có thể hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (xuất
phát từ hoạt động của trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu đặc thù của hoạt động
toán học.
Đối với môn Toán, các NL chuyên biệt có thể kể đến là:
+ NL sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học;
+ NL giải toán;
+ NL phát hiện vấn đề nảy sinh;
+ NL giải quyết vấn đề trong giải toán;
+ NL tính toán;
+ NL vận dụng kiến thức và tư duy toán học vào cuộc sống...
Có thể thấy NL toán học biểu hiện thông qua các NL cụ thể:
+ NL tư duy: từ tư duy cụ thể, đơn giản đến tư duy trừu tượng, khái
quát;
+ NL đơn giản hóa: từ quá trình lập luận toán học và sử dụng hệ thống

dụng được những kiến thức đã biết vào để khai thác một cách có hiệu quả.
Tùy từng đối tượng HS, tùy từng cách tiếp cận vấn đề nhưng nhìn chung,
trong quá trình dạy học, việc vận dụng kiến thức bao gồm: khái niệm, tính
chất, định lý, ... vào giải quyết từng bài toán cụ thể với học sinh là khá khó
khăn. Hiện tượng này đặc biệt còn phổ biến ở những học sinh có kiến thức
không chắc chắn, ghi nhớ khái niệm không linh hoạt nên không gắn liền với

11


cơ sở của kỹ năng. Với những học sinh có nhận thức khá, giỏi, hiện tượng này
không phổ biến, song vẫn cần quan tâm đến quá trình vận dụng kiến thức vào
giải quyết các bài toán cụ thể từ đó hình thành kỹ năng cho học sinh.
1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng
- Việc định hướng tư duy từ phân tích, tổng hợp dữ kiện ban đầu
không tốt, ảnh hưởng tới nhận diện bản chất vấn đề.
- Khả năng khái quát vấn đề chưa tốt.
- Tâm lý không vững vàng hay hình thành các thói quen tâm lý không tốt.
1.4.3. Kỹ năng giải toán
Đối với việc dạy học môn Toán đặc biệt là dạy Toán ở trường phổ
thông thì việc rèn luyện kỹ năng là căn cốt và là cơ sở cho các mục đích khác
liên quan từ các môn khoa học đến thực tiễn. Vấn đề rèn kỹ năng nói chung,
kỹ năng giải toán nói riêng là một yêu cầu cơ bản, nền tảng, để gắn liền được
lý thuyết với thực tiễn. Nhiều tác giả đã thể hiện quan điểm về vấn đề này
như: Với J.Piaget là “Suy nghĩ tức là hành động”, với Hồ Chí Minh lại là
“Học để hành, học và hành phải đi đôi”.
GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã quan niệm về dạy toán là dạy về mặt kiến
thức, về kỹ năng tư duy và hình thành tính cách cho cá nhân học sinh. Mục
tiêu của dạy toán cũng bao gồm cả mục tiêu chính yếu là phát triển tư duy, trí
tuệ cho học sinh. Do đó cần giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc và toàn diện về

chung và chẳng hạn như toán học phần bất đẳng thức lượng giác nói riêng là
một việc làm hết sức cần thiết. Các nội dung trong bài toán liên quan đến
chứng minh bất đẳng thức lượng giác đặc biệt là trong tam giác rất nhiều và
đôi khi gây nhằm lẫn cho HS. Do đó nếu GV hệ thống bài tập theo từng dạng
sẽ giúp cho HS dễ dàng hơn trong việc chiếm lĩnh tri thức, HS sẽ được học
từng dạng một cách nhuần nhuyễn rồi mới chuyển sang dạng khác, trong quá
trình học từng dạng như vậy HS có thể tự rút ra cho mình phương pháp giải

13


phù hợp với từng loại, từng bài toán sao cho bản thân HS có thể giải bài toán
đó một cách nhanh nhất.
- Việc hệ thống hóa bài tập cho HS nhằm mục đích củng cố thêm kiến
thức cho HS và giúp các em có một tài liệu tham khảo để sử dụng trong quá
trình tự học của mình.
- Học toán phần nhiều là giải bài tập do đó mà việc hệ thống lại các
dạng bài tập và tổ chức dạy học giải bài tập một cách có hiệu quả có vai trò
quan trọng đến chất lượng dạy học toán.
- Trong quá trình dạy học GV nên cung cấp thêm cho HS một hệ thống
các có phân loại các dạng khác nhau, phù hợp với từng đối tượng HS khác
nhau. Bên cạnh đó GV cũng cần hướng dẫn cho HS từng phương pháp cụ thể
để giải từng dạng toán cụ thể của nội dung này.
1.4.5. Các biện pháp chính nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh
trung học phổ thông
Có nhiều biện pháp tùy thuộc vào cách nhìn nhận hay tiếp cận vấn đề, ở
đây dưới góc độ giảng dạy, từ phân tích vào các căn cứ trên, tác giả chia
thành hai hướng chính:
a. Hướng gián tiếp
Khơi gợi từ việc cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng

lõi mối liên hệ của các kiến thức toán, qua đó có thể vận dụng và kết nối được
các vấn đề một cách logic hay hệ thống nhất.
1.4.6. Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển kỹ năng giải
toán cho học sinh
a. Phương pháp dạy học tích cực
(Xem [9]) PPDHTC là một trong các phương pháp dạy học mà ở đó,
GV sử dụng một nhóm PPDH theo hướng phát huy được tính tích cực, chủ

15


động và sáng tạo của từng HS; đồng thời làm triệt tiêu tính thụ động trong học
tập của HS.
b. Một số dấu hiệu thể hiện tính tích cực trong học toán
- Dấu hiệu 1. Chủ động
HS chủ động nghiên cứu trước bài học, đã có sự chuẩn bị các kiến thức
liên quan, hăng hái chia sẻ suy nghĩ liên quan đến nội dung bài học với các
đối tượng khác trong lớp học;
- Dấu hiệu 2. Sẵn sàng
HS sẵn sàng tiếp nhận nhiệm vụ học tập, chủ động trình bày các học
liệu, nội dung liên quan đến bài học với các HS khác;
- Dấu hiệu 3. Tương tác
HS mạnh dạn bày tỏ chính kiến, đưa ra các phản hồi và thường xuyên
tương tác với GV, các HS khác;
- Dấu hiệu 4. Lật ngược vấn đề
HS không có thái độ chấp nhận, bằng lòng ngay với cách giải nhận
được mà thường lật ngược vấn đề, tìm thêm hướng giải khác hoặc nhận xét,
chỉ ra sai lầm trong những cách giải quyết minh họa;
- Dấu hiệu 5. Tự học
HS chịu khó thực hiện đầy đủ và mở rộng các bài toán, công việc được

vấn đề.
+ Lưu ý khi sử dụng phương pháp.
Câu hỏi phải rõ ràng, ngắn gọn, chính xác; không được quá dễ hay quá
khó; phải làm cho HS có tư duy, có suy nghĩ, hỏi để kích thích trí óc; không
đưa ra những câu hỏi mà học sinh chỉ phải trả lời ở dạng: Có, không hay
đúng, sai.
+ Cách hỏi

17