BÀI TẬP TỨ GIÁC
1/ Cho tứ giác ABCD biết:
µ µ
µ
µ
: : : 1: 2:3: 4A B C D =
.
a) Tính các góc của tứ giác . b) Chứng minh AB//CD.
c) Gọi O là giao điểm của AD và BC là E.Tính các góc của tam giác CDE.
2/ Tứ giác ABCD có AB = BC,AD = DC = AC và
µ
0
105A =
.Tính các góc còn lại của tứ giác.
3/ Cho tứ giác ABCD , biết
µ
µ
µ
µ
µ
µ
0 0 0
200 , 180 , 120B C B D C D+ = + = + =
.
a) Tính các góc của tứ giác . b) Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau ở I .C/m:
·
µ
µ
2
C D
AIB

.Tính các góc của hình thang.
6/ Cho hình thang ABCD, biết
µ µ
0
1
90 ,
2
A B AB BC AD= = = =
a)Tính các góc của hình thang. b)Chứng minh AC vuông góc với CD.
7/ Cho hình thang ABCD (AB//CD) , trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bênBC và AD .CMR hai tia phân giác
của góc A và góc B cắt nhau tại 1 điểm thuộc cạnh đáy CD.
8/Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.Chứng
minh BDEC là hình thang cân
9/Cho hình thang cân ABCD hai đáy là AB và CD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:
OA=OB; OC=OD
10/Cho tam giác vuông ABC ( Â=90
0
) , BC=2AB; kẻ trung tuyến AD đường cao AH. Tia Hx song song AD cắt
AB ở E..Chứng minh:Tứ giác HDAE là hình thang cân
11/ Cho tam giác cân ABC(AB = AC), phân giác BD và CE .Gọi I là trung điểm của BC ,J là trung điểm của
ED ,O là giao điểm của BD và CE . a) Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang cân.
b) C/m: BE = ED = DC. c) Bốn điểm A,I,O,J thẳng hàng.
*12/Cho tứ giác ABCD , gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD .Biết
2
AD BC
MN
+
=
.C/m tứ giác ABCD là
hình thang.

2
MP DE=
12/ Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,gọi E là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc D .Chứng minh tam
giác AED vuông.
13/ Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo = nhau là hình thang cân.
14/ Cho tam giác ABC vuông tại A.Ta dựng về phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân AEC,ADB với
các cạnh huyền là AC,AB.Chứng minh tứ giác BCED là hình thang vuông.
15/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm AD,N là trung điểm BC, I là trung điểm BD.
a) So sánh : MI và AB, IN và CD.
b) CMR: MN nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng 2 cạnh AB và CD.
*16/Cho hình thang cân ABCD (AB//DC), DC là đáy lớn ,AH là đường cao(H thuộc DC) và HC = 5cm.Tính độ
dài đường TB HT ABCD. HD:MNlà đường TB.C/m DMH cân,MH//NC
17.Cho hình thang cân ABCD ,đáy lớn DC = 7cm,góc C= 60
0
,BC = 4cm.Tính độ dài đường TB hình thang
ABCD.
Bài tập đối xứng trục
Bài 1:Cho tam giác MNP cân tại M, đường cao MH.Trên MN lấy điểm E, trên MP lấy điểm F sao cho ME =
MF.CMR 2 điểm E,F đối xứng với nhau qua đường thẳng MH.
Bài 2: Cho tam giác MNE (ME > MN) .Gọi a là đường trung trực của NE.Vẽ điểm I đối xứng với điểm M qua a.
a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn MN qua a, đoạn thẳng đối xứng với đoạn ME qua a.
b) Tứ giác MIEN là hình gì? Tại sao?
Bài 3: Cho tam giác KHG có góc K = 80
0
, điểm M thuộc cạnh HG .Vẽ điểm E đối xứng với điểm M qua KH,
điểm F đối xứng với điểm M qua KG. a) Chứng minh KE = KF. b) Tính số đo góc EKF?
Bài 4: Cho tam giác ABC có góc A = 70
0
, trực tâm H.Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a) C/m :

2/ Cho tam giác ABC ,điểm E nằm giữa B và C.Qua E kẻ EM // AB(M thuộc AC),kẻ EN //AC(N thuộc AB).Gọi
H là trung điểm của AE.C/m M đối xứng với N qua H.
3/ Cho tam giác PMN,trung tuyến ME và NF.Gọi I là điểm đối xứng với M qua E,K là điểm đối xứng với N qua
F.C/m I đối xứng với K qua P.
4/ Cho góc xOy bằng 90
0
,điểm M nằm trong góc xOy.Gọi E là điểm đối xứng với M qua Ox,F là điểm đối xứng
với M qua Oy.C/m E đối xứng với F qua O.
5/ Cho hình bình hành ABCD,gọi I là giao điểm của AC và BD .Qua I kẻ đường thẳng d cắt AD tại M,cắt BC tại
N.C/m 2 điểm M và N đối xứng với nhau qua I.
6/ Cho tam giác ABC ,M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.I là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác
ABC.Vẽ E đối xứng với O qua M,vẽ F đối xứng với O qua N.
C/m EFCB là hình bình hành.
7/ Cho hình bình hành ABCD.O là giao điểm của AC và BD.Qua O vẽ đường thẳng cắt AB ở E ,cắt AC ở F.Qua
O vẽ đường thẳng cắt AD ở G,cắt BC ở H.C/m EGFH là hình bình hành.
*1/ Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác .M,N,P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC,CA,
AB.Gọi A’,B’,C’ lần lượt là các điểm đối xứng của điểm O qua điểm M,N,P.C/m tứ giác AB’A’B là hình bình
hành.
2/ Cho tam giác ABC .M là trung điểm của AB,N là trung điểm của AC,O là trung điểm của MN.Gọi I là điểm
đối xứng của điểm A qua O .C/m điểm B đối xứng với C qua I.
3/ Cho hình bình hành ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.Gọi E là 1 điểm thuộc cạnh AB,F là giao
điểm của tia EO và cạnh CD.Vẽ FH // AC,EG // AC(H ∈AD,G ∈BC).C/ m điểm H đối xứng với G qua O.
4/ Cho tứ giác ABCD .O
1
,O
2
,O
3
,O
4

b/ Gọi I ,K theo thứ tự là trung điểm của HB và HC .C/m tứ giác IDKE là hình thang vuông
c/ Tính độ dài đường trung bình của hình thang DIKE biết AB = 6cm,AC = 8cm.
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC ,O là trực tâm của tam giác .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,BC,CA còn R,S,T lần lượt là trung điểm của các đoạn OA,OB,OC.
a/ C/m MPTS là hình chữ nhật. b/ C/m 3 đoạn RN,MT,SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD .Kẻ BH vuông góc AC.Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD,
N là trung điểm của BH. a/ C/m tứ giác MNCK là hình bình hành. b/ Tính góc BMK.
Bài 10 : Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC .Qua E kẻ đường thẳng // BD cắt AD,CD lần
lượt ở M và N .Vẽ hình chữ nhật MDNF . a/ C/m DF //AC. b/ C/m E là trung điểm của BF.
Bài tập đường thẳng // với 1 đường thẳng cho trước
3
Bi 1: Cho on thng MN .K tia Mx bt kỡ ,ly cỏc im D,E,F sao cho MD = DE = EF.
Qua D v E k cỏc ng thng // vi FN.C/m on thng MN b chia ra bi ba phn bng nhau.
Bi 2:Cho gúc vuụng aOb, im M trờn Ob, im N di chuyn trờn Oa.Gi E l im i xng vi M qua N.im
E di chuyn trờn ng no?
Bi 3: Cho tam giỏc MNP ,im E di chuyn trờn NP.Gi I l trung im ca ME. im I di chuyn trờn ng
no?
Bi 4: Cho gúc vuụng xOy .Trờn Ox v Oy theo th t ly im A v B.Ly im M bt kỡ thuc AB .Gi E v F
l chõn cỏc ng vuụng gúc k t M n Ox v Oy.Gi I l trung im ca EF.
a/ C/m O,I,M thng hng.
b/ Khi M di chuyn trờn AB thỡ I di chuyn trờn ng no?
c/ im M v trớ no trờn AB thỡ OI cú di nh nht.
Bi tp hỡnh thoi Hỡnh vuụng
Bi 1 : Cho hỡnh thoi MNEF .K ng thng qua M vuụng gúc vi EN ct EN ti I,k ng thng qua M
vuụng gúc vi EF ct EF ti K.C/m MI = MK.
Bi 2 : Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú 2 ng cao AH v AK bng nhau.C/m ABCD l hỡnh thoi.
Bi 3 : Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc C = 60
0
.Hai ng cao BM,BN .Tam giỏc BMN l tam giỏc gỡ?Vỡ sao?
Bi 4 : Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc A bng 60

ADC BCD 90+ =
v AD = BC.Gi I,N,J,M ln lt l trung im ca AB,AC
CD,BD. C/m t giỏc INJM l hỡnh vuụng.
Bi 7 :Gi M,N theo th t l trung im ca cỏc cnh AB,BC ca hỡnh vuụng ABCD .Cỏc ng thng DN v
CM ct nhau I .C/m Tam giỏc AID l tam giỏc cõn.
*Bi 8 : Cho hỡnh vuụng ABCD , E l 1 im nm trong hỡnh vuụng sao cho
ã ã
0
EBC ECB 15= =
,F l 1 im nm
ngoi hỡnh vuụng sao cho
ã
ã
0
FDC FCD 60= =
.
a/ C/m tam giỏc AED l tam giỏc u. b/ C/m 3 im B,E,F thng hng.
Bi tp ễn tp chng I
C bn:
Bi 1 : Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ng trung tuyn AM. Gi I l trung im ca AC, K l im i xng
vi M qua im I. a. T giỏc AMCK l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ? b.T giỏc AKMB l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ?
c. Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC t giỏc AMCK l hỡnh vuụng .
Bi 2: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và AD. Gọi P là giao
điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN . K là giao điểm BN với CD
4
a. c/m MDKB lµ h×nh thang b. Tø gi¸c PMQN lµ h×nh g×? chøng minh ?
c. H×nh b×nh hµnh ABCD ph¶i cã thªm ®iỊu kiƯn g× ®Ĩ PMQN lµ h×nh vu«ng ?
Bài 3/ Cho ∆ABC. Gäi M,N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC,AC. Gäi H lµ ®iĨm ®èi xøng cđa N qua M.
a) C/m tø gi¸c BNCH vµ ABHN lµ hbh.
b) ∆ABC tháa m·n ®iỊu kiƯn g× th× tø gi¸c BCNH lµ h×nh ch÷ nhËt.

1. Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?
2. Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh : BC // ID.
3. Chứng minh : Tứ giác BIDC là hình thang cân.
4. Vẻ HE
⊥
AB tại E , HF
⊥
AC tại F. Chứng minh : AM
⊥
EF.
Bài 10/Cho tam giác ABC vng ở C. GọI M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB. GọI P là điểm
đốI xứng của M qua điểm N
a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành
b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật
c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q. Chứng minh : BQ = 2PQ
d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình vng ? Hãy chứng minh ?
Bài 11/Cho
∆
ABC cân tại A . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC . Từ M kẻ ME // AB ( E
∈
AC ) và
MD // AC ( D
∈
AB )
a) Chứng minh ADME là Hình bình hành b) Chứng minh
∆
MEC cân và MD + ME =
AC
c) DE cắt AM tại N. Từ M vẻ MF // DE ( F
∈