TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH

GV ĐÀO HUY TRƯỜNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ

Lời nói đầu
Hình học tổ hợp là một dạng toán khó trong chương trình
bồi dưỡng HSG Toán THCS. Các phương pháp giải toán Hình
học tổ hợp thường dùng như Phản chứng, Nguyên lí Đirichlê,
Quy nạp, Nguyên lí cực hạn, Tạo đa giác bao, Tô màu, Đồ
thị…. các bài toán Hình học tổ hợp không đòi hỏi nhiều về kĩ
năng tính toán, chúng chủ yếu đòi hỏi sự chặt chẽ trong việc
xét các khả năng, sự sáng tạo và linh hoạt trong việc vận dụng
các phương pháp. Nhiều bài toán cùng nội dung chỉ khác nhau
về con số, nhưng lại yêu cầu cách giải khác nhau; đòi hỏi
người giải không thể rập khuôn, máy móc. Chỗ khó và cũng
là thế mạnh của Hình học tổ hợp là ở đó, chính vì thế mà các
bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG cấp
Tỉnh, Quốc Gia, Quốc Tế.
Với những nội dung như trên Tôi xin trình bày một số quan
điểm của mình về giải bài toán Hình học tổ hợp trong chương
trình toán THCS.Dưới hình thức nêu ra một số dạng bài tập
và phương pháp giải toán Hình học tổ hợp.

Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP”

1




A. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI
TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP
1.Nguyên lý Dirichle:
a) Dạng đơn giản: Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n lồng thì tồn
tại 1 lồng có ít nhất 2 con thỏ.
b) Tổng quát: Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng mà phép chia
n cho m được thương là k và còn dư thì tồn tại 1 lồng chứa ít
nhất k+1 con thỏ.
VD: Cho một hình vuông và 2011 đường thẳng, mỗi đường
2
thẳng đều chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là 3 .
CMR: trong 2011 đường thẳng đó có ít nhất 503 đường thẳng
cùng đi qua 1 điểm.

Lời giải:
Gọi d là đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số
2
diện tích bằng 3 . Đường thẳng d không thể cắt 2 cạnh kề của
hình
vuông vì khi đó không tạo thành 2 tứ giác.
Giả sử đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Khi đó
đường thẳng d cắt đường trung bình EF tại I.
2
2
Giả sử: S
= 3 S => EI = 3 IF
Như vậy, mỗi đường thẳng đã cho chia đường trung bình của
AMND

Gọi A, B là 2 điểm có khoảng cách lớn nhất trong các khoảng
cách giữa 2 điểm trong 2011 điểm đã cho. Theo đề bài tồn tại
điểm C thỏa mãn  ACB< 60 hiển nhiên C không thuộc đường
thẳng AB.
Xét tam giác ABC có AB lớn nhất suy ra  ACB lớn nhất,
mà  C < 60 nên  A

1

k

k

2

1

2

1

2

2

Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP”

5


TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH

GV ĐÀO HUY TRƯỜNG

+) Trong lời giải ta đã sử dụng nguyên lí cực hạn để có khảng
định trong 4024 tam giác tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ

2

2

2

2

2.Dạng bài tập tô màu, bảng vuông.
Ví dụ 1: Cho 6 điểm trong đó 3 điểm nào cũng nối được với
nhau tạo thành 1 tam giác có cạnh được tô bởi một trong hai màu
xanh hoặc đỏ. CMR: Bao giờ cũng tồn tại một tam giác có 3
cạnh cùng màu.
Lời giải:
Gọi A là một trong 6 điểm, 5 đoạn thẳng nối A với 5 điểm còn
lại được tô
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP”

6


TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH

GV ĐÀO HUY TRƯỜNG

bởi 2 hai màu xanh hoặc đỏ nên tồn tại 3 cạnh cùng màu. Giả
sử là AB, AC, AD.

Xét 2 trường hợp:
+Trường hợp 1: AB, AC, AD tô màu đỏ.

Ví dụ: Cho một đa giác lồi có diện tích 1 cm . CMR: Tồn tại một
hình bình hành có diện tích không vượt quá 2 cm chứa toàn bộ
đa giác.
2

2

Lời giải:
Gọi C là đỉnh cách xa AB nhất (hình vẽ).
+Trường hợp 1: Nếu AC là đường chéo của đa giác lồi.
Qua C kẻ a // b ( A, B  b )
Gọi D,E là các đỉnh cách xa AC nhất, qua D kẻ đường thẳng
d // AC, qua E kẻ đường thẳng c // AC. Qọi MNPQ là
hình
bình hành tạo bởi a ,b,c,d suy ra các đỉnh của đa giác nằm trong
hoặc trên biên của hình bình hành MNPQ. Ta chứng minh
S
2cm , thật vậy:
S
S
S
Ta có:
.
1

S
S
=1
2



GV ĐÀO HUY TRƯỜNG

Để chứng minh mệnh đề An đúng với mọi n thuộc N*:
-B1: chỉ ra mệnh đề đúng với n=1 tưc là A1 đúng.
-B2: giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k thuộc N*) Ak đúng.
-B3: chứng minh Ak+1 đúng ( mệnh đề đúng với n=k+1).
Kết luận An đúng với mọi n thuộc N*.
VD: CMR: số đường chéo của đa giác lồi n cạnh (n 4) bằng S
n(n  3)
= 2 .

n

Lời giải:
n(n  3)
Ta chứng minh Sn = 2 (1) đúng với mọi n 4.
+) Ta thấy (1) đúng với n=4 vì S =2, tứ giác có 2 đường chéo.
+) Giả sử khẳng định (1) đúng với n=k (k 4) tức là đa giác lồi k
k (k  3)
cạnh có 2 đường chéo.+) Ta sẽ chứng minh đa giác lồi k+1
4

(k  1)(k  2)

cạnh có
đường chéo, thật vậy khi thêm đỉnh thứ k+1
2
(hình vẽ) thì có thêm k-2 đường chéo nối từ A đến A , A ,…,
A , ngoài ra cạnh A A cũng trở thành đường chéo. Do đó, S


GV ĐÀO HUY TRƯỜNG

trong 2011 điểm đó. CMR: tồn tại một đường thẳng đi qua đúng 2
điểm của tập M.

Lời giải:
Xét tất cả các khoảng cách khác 0 từ mỗi điểm của tập M đến tất
cả các đường thẳng được kẻ, chọn ra khoảng cách nhỏ nhất ( theo đề
tồn tại khoảng cách khác 0, vì 2011 điểm không cùng thuộc một
đường thẳng, tồn tại khoảng cách nhỏ nhất vì số các khoảng cách là
hữu hạn).
Giả sử khoảng cách nhỏ nhất đó là khoảng cách từ điểm A đến
đường thẳng d ( hình vẽ). Ta sẽ chứng minh đường thẳng d chỉ chứa
đúng 2 điểm của tập M.
Dùng phản chứng: giả sử đường thẳng d chứa thêm điểm thứ 3 của
tập M. Gọi 3 điểm của tập M mà d đi qua là B, C, D. Kẻ AH vuông
gócd tồn tại 1 trong 2 tia gốc H chứa 2 điểm, chẳng hạn là C và D.
Không mất tính tổng quát, giả sử HC < HD, gọi CK là khoảng cách
từ C đến AD. Dễ thấy CK< AH ( thật vậy, vẽ CE vg góc d thì
CK

Bài 4.Một bảng hình vuông kích thước 10 x 10. Hỏi có thể điền
được các số 1, 2, 3, .. . , 100 vào các ô của bảng ( mỗi ô điền một
số) sao cho 2 tính chất sau đồng thời được thoả mãn:
i) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột bằng nhau ( bằng S)
ii) Với mỗi k= 1, 2, 3, . . ., 10, tổng các số ở các ô (i , j)
( hàng i, cột j)
với i – j �k ( mod 10) có tổng bằng S.
(Câu V Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Vĩnh Phúc năm học 2010-2011)

Bài 5: Cho đa giác lồi có diện tích S 24cm . Chứng minh rằng:
Bao giờ cũng vẽ được trong đa giác một đa giác có diện tích lớn
hơn 6cm .
Bài 6: Cho 2011 điểm trên mặt phẳng. Ba điểm tùy ý luôn tạo
thành một tam giác có diện tích S 1.
Chứng minh rằng: tồn tại một tam giác có diện tích S 4 chứa
toàn bộ 2011 điểm đã cho.
2

2

Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP”

11


TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH

GV ĐÀO HUY TRƯỜNG