Phòng giáo dục đào tạo huyện Đề thi học sinh giỏi huyện
Trực ninh Năm học 2007-2008
* * * * * * * Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức :

3 3 3 1 2
2 2 1
x x x x
A
x x x x
+ +
= +
+ +
, (với
0; 1x x
)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của x để
0A A+ =
Bài 2 (3 điểm)
Giải phơng trình :
4 1 5
2x x x
x x x
+ = +
Bài 3 (4 điểm)
Cho phơng trình :
( ) ( ) ( )
2 2

0; 1x x
)
c) Rút gọn biểu thức A.
d) Tìm các giá trị của x để
0A A+ =
Đáp án :
Xét với
0; 1x x
a) (3 điểm)
Xét với
0; 1x x
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 1x x x x x x x x x x
+ = + = + + = +
nên
3 3 3 1 2
2 2 1
x x x x
A
x x x x
+ +
= +
+ +

3 3 3 1 2
( 2)( 1) 2 1
x x x x
x x x x
+ +

=
+
+ +
=
+
mà x+3
x
+2 = x+2
x
+
x
+2=
x
(
x
+2)+(
x
+2) = (
x
+2)(
x
+1)
nên

( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
1
1

+ >
+
< < <


Kết hợp x<1 với điều kiện x

0, x

1, ta có
0 x 1 <

Vậy
0 x 1 <
Bài 2 (3 điểm)
Giải phơng trình :
4 1 5
2x x x
x x x
+ = +
Đáp án:
Điều kiện
(*)

0
1
0
5
2 0
x

x
-
1
x
không đồng thời bằng không (cho 2
x
-
5
x
= 0,

x
-
1
x
= 0 , suy ra điều vô lí )
Do đó
5 1 5 1
2 2
4
5 1
2
x x x x
x x x x
x
x
x x
x x

+

x
x
x x
x x

=
+ 4 1
1 0
5 1
2
x
x
x x
x x

ữ

ữ
+ =
ữ
ữ

+
ữ

(2 )
(1)


= = =

=


Ta thấy: x=2 thoả mãn điều kiện (*) vì
2 0
1
2 0
2
5
2.2 0
2












x = -2 không thoả mãn điều kiện (*) , vì
5
( 2).2 0
2

7
4

Với mọi giá trị của m , ta có (m -
3
2
)
2


0

- (m -
3
2
)
2


0


- (m -
3
2
)
2
-
7
4


1 2
x .x
+ 2(x
1
+ x
2
)
2
= 0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có

( )
( )
1 2
2
1 2
x x m 2 2
x .x m 3m 4 3

+ =


= +


Thay (2) và (3) vào (*) ta đợc :
m
2
-5m + 4 = 0

ABM BNM và ACM CNM= =
( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và một dây)
Xét tứ giác ABNC có

ã ã ã
ã
ã
ã
ã
ã
0
BAC BNC BAC BNM MNC
BAC ABC ACB
180 (tổng ba góc trong ABC)
+ = + +
= + +
=
nên tứ giác ABNC nội tiếp đờng tròn ( tứ giác có tổng hai góc đối diện
bằng 180
0
)
suy ra điểm N thuộc đờng tròn ngoại tiếp ABC
hay N thuộc đờng tròn (O)
b) ( 2 điểm )