MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài..................................................................................
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................
3. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu...........................................................
4. Giả thuyết khoa học của đề tài.............................................................
5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................
6. Dự báo những đóng góp của đề tài.......................................................
7. Kết cấu của đề tài.................................................................................
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý thuyết......................................................................................
II. Quy trình giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau a và b......................................................................................
1. Các bước giải.......................................................................................
2. Phương pháp giải.................................................................................
3. Nhận xét...............................................................................................
III. Các bài toán minh hoạ.......................................................................
1. Các bài toán giải bằng phương pháp tính trực
tiếp...............................
2. Các bài toán giải bằng phương pháp tính gián tiếp..............................
IV. Một số bài tập vận dụng.....................................................................
V. Thực nghiệm sư phạm.........................................................................
1. Mục đích thực nghiệm..........................................................................
2. Nội dung thực nghiệm..........................................................................
3. Kết quả thực nghiệm............................................................................
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1

Trang

những bài toán khó, ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Để giải bài toán này thông thường có hai phần: Định tính (chỉ ra khoảng
cách đó là đoạn thẳng nào) và định lượng (tính độ dài đoạn thẳng đó), trong đó
phần định tính là khó nhất và quan trọng nhất.
Trong nhiều năm tôi thực tế giảng dạy cho các đội tuyển thi HSG và thi ĐH
trước đây và thi THPTQG mấy năm gần đây, tôi thấy hầu hết học sinh, kể cả học
sinh giỏi, thường rất lúng túng khi chỉ ra đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau (trong cách giải trực tiếp), cũng như không biết nên qui về
khoảng cách từ điểm nào đến mặt phẳng nào (trong cách giải gián tiếp) ...
Với mong muốn giảm bớt khó khăn cho học sinh khi tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau, tôi xin đề cập phương pháp giải bài toán này đối với
học sinh lớp 11.
Với học sinh lớp 12, chủ yếu vẫn dùng các phương pháp trên, ngoài ra có thể
dùng thêm phương pháp toạ độ trong không gian hoặc phương pháp thể tích...
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài tôi đã nghiên cứu các bài
toán hình học không gian, các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong chương trình môn toán trung học phổ thông.
- Phạm vi của đề tài: Là hỗ trợ cho học sinh trung học phổ thông trong việc
giải toán hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau nói riêng.
3. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:
a). Mục tiêu nghiên cứu:
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho học sinh lớp 11 nói riêng, học
2


sinh trung học phổ thông nói chung nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học
môn toán ở trường phổ thông.


chuyên đề này. Từ đó giúp các em phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo
trong quá trình học tập.
+ Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc
bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi những câu ở mức độ vận dụng và vận dụng
cao trong đề thi THPTQG và thi vào một số trường ĐH tốp trên (có tổ chức thi
riêng).
7. Kết cấu của đề tài:
A. Phần mở đầu.
B. Phần nội dung.
C. Kết luận và kiến nghị.

B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
1). Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song (SGK Hình học 11).
2). Định nghĩa và các nhận xét về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau (SGK Hình học 11).
a. Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
b. Nhận xét: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng
cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa
đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
II. QUY TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a VÀ b.
1. Các bước giải:
- Bước 1: Xác định khoảng cách (định tính).
- Bước 2: Tính khoảng cách đó (định lượng).


- Dựng b’ là hình chiếu của b trên (P).
- Kẻ OH ⊥ b’ (H ∈ b’)

A

- Từ H, dựng đường thẳng song song với a

O

(hay vuông góc (P)), cắt b tạiB.
- Từ B dựng đường thẳng song song

B

b’

H

P

với OH,cắt a tại A.
Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
* Trong trường hợp a ⊥ b thì cách 2 được thực hiện đơn giản hơn như
sau:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và ⊥ a tại A.

a

- Dựng AB ⊥ b tại B.


B

D
I

Do I, J là trung điểm của BC, AD
nên IAD cân tại I; JBC cân tại J.

C

Suy ra IA = ID; JB = JC. (1).
Theo công thức đường trung tuyến:
AB 2 + AC 2 BC 2
−
;
2
4
BD 2 + CD 2 BC 2
ID 2 =
−
;
2
4
IA2 =

AB 2 + BD 2 AD 2
−
2
4


6


3. Nhận xét: 1) Trong hai phương pháp trên, phương pháp tính trực tiếp
khó hơn và ít được sử dụng hơn. Thông thường ta chỉ dùng phương pháp này khi
hai đường thẳng chéo nhau đó vuông góc với nhau, hoặc vận dụng được tính chất
của tứ diện có 2 cặp cạnh đối bằng nhau. Phương pháp tính gián tiếp được sử dụng
rộng rãi, đa dạng vì nó đơn giản, dễ xác định và gần gũi với học sinh.
2) Đứng trước bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,
học sinh thường phân vân không biết nên bắt đầu từ đâu, lựa chọn phương pháp
nào: Trực tiếp hay gián tiếp... Để giúp học sinh giải quyết được bài toán trong
khoảng thời gian nhất định, cần định hướng cho các em các bước suy nghĩ để
tìm ra lời giải một cách nhanh, gọn. Theo tôi các bước suy nghĩ đó như sau:
- Nếu bài toán có yêu cầu xác định đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau thì nhất thiết phải dùng phương pháp 1. Khi đó ta xem xét mối
quan hệ giữa hai đường thẳng đó để lựa chọn một trong các cách xác định của
phương pháp này.
- Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a

và b thì trước hết xét xem từ giả thiết của bài toán có suy ra được a ⊥ b hay không?
- Nếu a ⊥ b thì nên chọn phương pháp 1: Tính trực tiếp.
- Nếu a không vuông góc với b thì nên chọn phương pháp 2: Tính gián tiếp.
Khi đó: + Để ý xem trên hình vẽ sẵn có mặt phẳng nào chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia không. Nếu không sẵn có, thường ta phải vẽ
thêm đường phụ để tạo ra mặt phẳng như vậy. Thông thường, chọn một điểm thích
hợp trên đường thẳng này (ví dụ: đường thẳng b), kẻ song song với đường thẳng
kia (đường thẳng a) sao cho mặt phẳng (P) tạo ra có gắn kết với hình vẽ đã cho.

Như vậy, trong trường hợp này, thay
cho việc tính d (M; (P)), ta có thể tính d (N; (P)).
- Dùng tính chất của tứ diện vuông.
Nếu O. ABC là tứ diện vuông đỉnh O (OA ⊥ AB; OB ⊥ OC; OC ⊥ OA) thì
đường cao OH của tứ diện O. ABC được tính theo công thức:
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

III. CÁC BÀI TOÁN MINH HOẠ.
Các bài toán trong phần này chủ yếu tập trung vào phương pháp 2: Tính
gián tiếp. Vấn đề khó khăn của phương pháp này là ở chỗ:
- Tìm mf (P) nào chứa đường thẳng (b) và song song đường thẳng kia (a).
- Chọn điểm nào trên đường thẳng a để tính được khoảng cách từ điểm đó
đến mặt phẳng (P).
Trong nhiều bài toán dưới đây, tôi chú trọng đến việc phân tích tìm hướng
giải để qua đó, học sinh rèn luyện được kĩ năng lựa chọn, nhận biết phương pháp
thích hợp đối với từng bài toán, đồng thời hiểu rõ cách giải quyết các vấn đề
trên. Ở những bài toán khác, phần định hướng giải này được thay bằng lời bình
để giúp học sinh nắm được điểm cốt lõi trong lời giải đưa ra.
1. Các bài toán giải bằng phương pháp tính trực tiếp.

Vậy
d
(DM;SC)
=
CN
5
19
19
SH 2 + HC 2

Bài 2. Cho lăng trụ ABC. A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa
cạnh bên và mặt đáy (A1B1C1) bằng 300. Hình chiếu của H của A trên mặt phẳng
(A1B1C1) nằm trên đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AA1, B1C1 theo a.
* Lời giải: - Xác định:
Góc giữa AA1 và (A1B1C1) là AA1H = 300.
A1H = AA1sin600 =

a 3
. Mà A1B1C1
2

đều cạnh a nên H là trung điểm của B1C1.
Từ đó B1C1 ⊥ A1H và B1C1 ⊥ AH
nên B1C1 ⊥ AA1.
Kẻ đường cao HK của AA1H thì d (AA1, B1C1) = HK.
- Tính: Từ HK.AA1 = AH. A1H ⇒ HK = a 3 .Vậy d (AA1, B1C1) = a 3
4

4

4a
3

b) - Xác định: Ta có SA= CD = a 2
Trong SAC: SC2 = AC2 + SA2 = 4a2
⇒ SC = 2a = AD
Xét tứ diện SACD có: SA = CD; SC = AD.
Vậy đường vuông góc chung của SD và AC
là đoạn thẳng IJ nối trung điểm của mỗi cạnh.
2
- Tính: Trong SAI: SI = SA 2 + AI 2 = 2a 2 + a = a 10

2

2

2
2
Trong SIJ: IJ = SI 2 − SJ 2 = 10a − 6a = a Vậy d (AC;SD) = a.

4

4

* Lời bình: - Câu a, do AB ⊥ SD nên việc chỉ ra đường vuông góc chung
của AB và SD thật dễ dàng.
- Ở câu b ta có thể tạo ra mặt phẳng chứa SD và song song với AC bằng cách:
Kẻ Dx // AC; Ay // CD. Gọi E = Ay ∩ Dx ⇒ (SDE) là mặt phẳng chứa SD và // AC
⇒ d (AC; SD) = d (A; (SDE)) nhưng lời giải dài hơn.
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và SB. Hãy xác định vị trí điểm C
trên đường tròn để IJ là đường vuông góc chung của AC và SB. Khi đó, tính
khoảng cách giữa AC và SB.
* Lời giải: a) Gọi D là điểm xuyên tâm đối của C.
Ta có ADB = 900
⇒ BD // AC và AC ⊥ AD
Mà AC ⊥ SA nên AC ⊥ (SAD)
Kẻ AH ⊥ SD (H∈ SD); HM // BD (M∈ SB);
MN // AH (N∈ AC)
⇒ MN là đường vuông góc chung của AC,SB.
b). - Xác định: Cách 1: Ta có BC ⊥ AC; BC ⊥ SA nên BC ⊥ SC.
SAB vuông tại A; SBC vuông tại C,
mà J là trung điểm SB nên AJ = CJ
Mặt khác IA = IC nên IJ ⊥ AC.
Từ đó IJ là đường vuông góc chung
của AC và SB ⇔ IS = IB
⇔ SAI = BCI ⇔ SA = BC
Vậy điểm C thuộc đường tròn (C)
sao cho BC = a 3 thì IJ là đường vuông góc chung của AC; SB.
11


Có 2 điểm C thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Dựa vào tính chất của tứ diện có 2 cặp cạnh đối bằng nhau.
Xét tứ diện SABC với I, J là trung điểm của AC, SB.
Ta có: IJ là đường vuông góc chung của cặp cạnh đối AC và SB khi và chỉ
khi 2 cặp cạnh đối còn lại: SA = BC và SC = AB.
Xét các tam giác vuông SAC và ABC, ta thấy các đẳng thức trên xảy ra
⇔SA = BC hay BC = a 3 .
- Tính: Khi đó, dễ dàng tính được AC = a ⇒AI =

- Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
12


Ta có: IJ = a; SI =

a 3
a
; SJ =
2
2

⇒ SIJ vuông tại S hay SI ⊥ SJ
Mặt khác: CD ⊥ (SIJ) nên SI ⊥ CD.
Do đó SI ⊥ (SCD)
Vậy d (AB; SC) = d (I; (SCD)) = SI =

a 3
2

Bài 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
BAD=600; SO⊥ (ABCD) và SO=

3a
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD
4

và SB.
* Phân tích tìm hướng giải:- Sẵn có mp (SBC) chứa SB và // AD.
- SO ⊥ đáy (ABCD). Nhờ AC = 2.OC nên khoảng cách từ A đến mp (SBC)

+
= 2+ 2+ 2 = 2
2
2
2
2
h
OS
OB
OC
9a
a
3a
9a

⇒h=

3a
3a
. Vậy d(AD; SB) = 2.h =
8
4

Bài 8. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , CB = a; CA = a 3 ;
cạnh SA = a 2 và SA ⊥ (ABC). Gọi D là trung điểm của cạnh AB.
Tính:

a) Khoảng cách giữa AC và SD.
b) Khoảng cách giữa BC và SD.
13

a 2
3

b) * Phân tích tìm hướng giải: - Vì D là trung điểm của AB nên ta dễ
thấy mp (SDI) chứa SD và // BC (với I là trung điểm AC). Do đó d (BC; SD) = d
(BC; (SDI)).
- Khoảng cách từ B (hoặc C) đến mp (SDI) qui được về khoảng cách từ A
(chân đường vuông góc) tới mặt bên (SDI), do D là trung điểm của AB (hoặc I
là trung điểm AC).
* Lời giải:- Xác định: Gọi I là trung điểm AC thì BC // (SDI)
⇒ d (BC; SD) = d (BC; (SDI)) = d (C; (SDI)) = d (A; (SDI)
= AK (với AK là đường cao của SAI).
- Tính: Từ AK.SI = SI.AI ⇒AK = a 66 . Vậy d (BC; SD) = a 66 .
11

14

11


Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BC theo a.
* Lời giải: Ta có: SCH là góc giữa SC và (ABC) ⇒ SCH = 600
- Xác định: Kẻ Ax // BC. Gọi N, K lần lượt là
hình chiếu của H trên Ax, SN.
3
2



SH .HN
SH + HN
2

2

=

a 42
.
12

a 42
.
8

* Lời bình: Ta đã kẻ Ax // BC để tạo ra mặt phẳng (SA; Ax) chứa SA và // BC.
Khi đó việc tính d (BC; SA) quy về tính khoảng cách từ H (chân đường vuông
góc) tới mặt bên (SA; Ax).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
* Lời giải: - Xác định:
Từ giả thiết ta có SA ⊥ (ABC); SBA = 600
nên SA = AB tan 600 = 2a 3; AM = MN = a .
Kẻ đường thẳng Nx // AB; Ay // BC.
Gọi I = Ay ∩ Nx

13

2a 39
13

* Lời bình: - Kẻ Nx // AB để tạo ra mặt phẳng (SN; Nx) chứa SN và //AB.
Khi đó d (AB;SN)= d (AB; (SNx)). Trong 3 điểm A,M,B của đường thẳng AB,
việc xác định khoảng cách từ A (chân đường vuông góc) đến mặt bên (SN; Nx)
là dễ dàng hơn nhiều so với 2 điểm M,B.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a;
AD=2a; Cạnh SA ⊥ (ABCD), cạnh SB tạo với đáy góc 60 0. Trên cạnh SA lấy
điểm M với AM =

a 3
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC.
3

* Phân tích tìm hướng giải:
- Dễ dàng tạo ra mặt phẳng chứa BM và // SC bằng cách kẻ MN // SC (N ∈ AC).
- Khoảng cách d (SC; (BMN)) qui về khoảng cách từ A (chân đường vuông
góc) tới mặt bên (BMN) nhờ tỉ số

MS
.
MA

- Kéo dài BN cắt AD tại I, ta có d (A; (BMN)) = d (A; (BMI)). Khoảng
cách này dễ dàng tính được nhờ tính chất của tứ diện vuông đỉnh A: ABMI.
* Lời giải: - Xác định:Kẻ MN // SC (N ∈ AC) ⇒ SC // (BMN).
Gọi I = BN ∩ AD

2
2
h
AB
AI
AM
a
a
a
a
5
5

16


Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB=BC=a; cạnh bên AA’= a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM; B’C.
* Lời giải: - Xác định: Gọi E là trung điểm BB’
⇒ B’C// (AME)
⇒ d (B’C; AM)= d (B’C; (AME))
= d (B’; (AME)) = d (B; (AME))= h
- Tính: Vì tứ diện B.AME vuông tại B nên ta có:
1
1
1
1
7
a 7

= d (B; (ACN)) (do N là trung điểm BB’)
= 2.d (O; (ACN)) (do BC = 2.OC)
=2.d (O; (ACP))
- Tính: Dễ tính được: OA =

a 3
a
a
; OC = ; OP =
2
2
2

Tứ diện O.ACP vuông tại O nên đặt d (O; (ACP))= h,
ta có:

1
1
1
1
64
a 3
a 3
=
+
+
= 2 ⇒h=
. Vậy d (B’M; CN) =
2
2

* Lời giải: - Xác định: Gọi M là trung điểm của BB’; P = A’M ∩ AB
Ta có: CK // A’M nên
d (CK; A’D) = d (CK; (A’DP)) = d (K; (A’DP))
Gọi N = A’D ∩ AK ⇒

NK KD 1
=
=
NA AA' 2

1
⇒ d ( K ; ( A' DP ) ) = d ( A; ( A' DP) )
2

- Tính: Tứ diện A.A’DP vuông tại A
nên đặt d (A; (A’DP) = h, ta có:
1
1
1
1
9
2a
=
+
+
= 2 ⇒h=
.
2
2
2

* Lời giải: - Xác định: Gọi O=AC ∩ BD
Từ giả thiết ta có SO ⊥ (ABCD);
SDO = 600 ; SO = OD tan 600 = a 3
Gọi M là trung điểm SD.
Ta có: SB // OM ⇒ SB // (MAC)
⇒d (SB; AC) = d (SB; (MAC))
= d (B; (MAC)) = d (D; (MAC) )
Kẻ DE//SO và DE = SO.
Ta có SODE là hình chữ nhật nên O, M, E thẳng hàng.
- Tính: Tứ diện D.EAC vuông tại D nên đặt h = d (D; (EAC))= d (D; (MAC)) thì:
a 15
1
1
1
1
5
a 15
=
+
+
= 2 ⇒h=
. Vậy d (SB; BC) =
2
2
2
2
h
DE
DA
DC

với mặt phẳng đáy một góc 300. (Đ/s:

a 3
).
4

Bài 4:Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có AA1= a 2 , đường
thẳng B1C tạo với mặt phẳng (ABB1A1) góc 450. Tính khoảng cách giữa AB1 và
BC. (Đ/s:

a 30
).
5

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính d
a 22
).
11

(SM; BN). (Đ/s:

Bài 6. Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và
Â=600. Xác định đường vuông góc chung của AC’ và BB’. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng đó. (Đ/s:

a
).
2



V. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM:
1. Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2. Nội dung thực nghiệm:

20


- Triển khai đề tài: “Phân tích đường lối, tìm tòi lời giải,rèn luyện kĩ năng
giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho học sinh lớp
11”.
- Đối tượng áp dụng đề tài: Học sinh lớp 11 B5 gồm cả HS trung bình, khá, giỏi
về môn toán. - Thời gian triển khai đề tài: 3 buổi
3. Kết quả thực nghiệm:
Tôi được phân công giảng dạy các lớp khối A, D và dạy các đội tuyển thi
HSG trong nhiều năm nay. Hầu như các em rất khó để xác định đoạn vuông góc
chung giữa hai đường thẳng chéo nhau, hoặc tìm ra mặt phẳng chứa đường
thẳng này, song song với đường thẳng kia cũng như chọn điểm nào trên đường
thẳng để từ đó xác định được khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng. Trong
năm học qua, tôi đã triển khai đề tài này cho học sinh lớp 11B5, sau khi các em
học xong bài khoảng cách. Kết quả thật khả quan, các em đều hiểu bài nhanh,
biết phân tích lựa chọn phương pháp thích hợp để giải và không còn cảm thấy sợ
loại toán này nữa.
Kết quả khảo sát cụ thể ở lớp 11B5, sau khi dạy xong chuyên đề như
sau:
- 60% học sinh làm tốt tất cả các bài tập vận dụng.
- 25% học sinh làm được 80% số bài.
- 15% học sinh làm được 60% số bài.
- Điều đáng nói là chỉ có một số rất ít học sinh không làm được bài tập (3
em học rất yếu hình trong lớp)


22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Một số thông tin lấy trên: www.google.com
2). Các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn toán từ năm 2003 đến
năm 2014
3). Báo Toán học tuổi trẻ ..
4). Tuyển tập các đề thi thử Đại học ba miền Bắc-Trung-Nam.
5). Tuyển tập các đề thi thử Đại học trường THPT chuyên Hà Tĩnh,
Vinh, Amsterdam
6) Giới thiệu các dạng toán luyện thi Đại học của Phan Huy Khải-NXB
Hà Nội.
7) Giải toán hình học không gian -NXB giáo dục.

23