T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Đại số
CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0

A
2. Hằng đẳng thức:
AA
=
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA ..
=

)0;0(

BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0(

B
A .
=

)0(
>
B
8. Trục căn thức ở mẫu:
BA
BAC
BA
C

=

)(
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32
+
x
2)
2
2
x
3)
3
4
+

+
2)
4532055
+
3)
18584322
+
4)
485274123
+
5)
277512
+
6)
16227182
+
7)
54452203
+
8)
222)22(
+
9)
15
1
15
1
+



2

16)
24362)2332(
2
++
17)
22
)32()21(
++
18)
22
)13()23(
+
19)
22
)25()35(
+
20)
)319)(319(
+
21)
)2()12(4
2
+
xxx
22)
57
57
57

1528
+
-
1528

5)
(
)
625
+
+
1528

6)
83
5
223
5
324324
+


++
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
1
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Gii phng trỡnh:
1)
512
=

2
=
x
9)
64
2
=
x
10)
06)1(4
2
=
x
11)
21
3
=+
x
12)
223
3
=
x
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.

4 )
1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x

+

+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
2
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+





112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x










+
++
+

a1
1a
a22
1
a22
1
2
2
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x


+
+

1
1
.
22
2
2
3

a16
2a4
4a
a
4a
a3
(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
----------------------------------
CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:
Khái niệm hàm số
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
3
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy
+=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy

mm
+ Hàm số (1) Nghịch biến

3003
><
mm
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b.
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
a
b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,

1
)

(d
2
)
',
; bbaa
==
.
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 m) x + 2 (d
1
)
V y = 2 x m (d
2
)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
4
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
a/ (d
1
)//(d
2
)

{

mm
c/ (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục tung

22 == mm
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
atg
=

Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (


0
180
)
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
.63632
00
===

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
.63

,
x + b
,
Ph ơng pháp: Đặt ax + b = a
,
x + b
,
giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d
1
) hoặc (d
2
)
ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực
tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
5
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Ph ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x
1
; y
1
) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x
1
vào hàm số; tính đợc y
0

+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1
+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d
1
) : y = (m
2
-1) x + m
2
-5 ( Với m

1; m

-1 )
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3

0
= (m
2
-1 ) x
0
+m
2
-5 Với mọi m
=> m
2
(x
0
+1) -(x
0
+y
0
+5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x
0
+ 1 =0
x
0
+y
0
+5 = 0 suy ra : x
0
=-1
Y
0
= - 4

2
): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m (d
1
) v (d
2
)

ct nhau .
2) Vi m = 1 , v (d
1
) v (d
2
)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca
hai ng thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay
nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0

v y = (2 - m)x + 4 ;

2x
+
a/ V (d
1
) v (d
2
) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh chu vi v
din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d

b
+ Một nghiệm của phơng trình là cặp số x
0
; y
0
thỏa mãn : ax
0
+ by
0
= c
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu
0;0

ba
thì đờng thẳng (d) là đồ thị của
hàm số bậc nhất:
b
c
x
b
a
y
+=
.
Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:





=+
=
)2.(323
)1.(12
yx
yx
+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có:
.(*)21 yx
+=
Thay
.(*)21 yx
+=
vào phơng trình (2) ta đợc:
.(**)32)21(3
=++
yy
+ Bớc 2: Thế phơng trình
(**)
vào phơng trình hai của hệ ta có:



=++
+=
32)21(3
21
yy
yx
b) Giải hệ :

21
32)21(3
21
y
x
y
yx
yy
yx
yy
yx
Vậy hệ phơng trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp cộng đại số :
a)Quy tắc cộng đại số :
+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên phơng trình
kia)
L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để
đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.






=+

T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010






=+
=
264
132
yx
yx



2 3 5
5 4 1
x y
x y
+ =


=




3 7
2 0

=



2x 3y 2
4x 6y 2
=


+ =


Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số





=+
=
311110
7112
yx
yx











=
=+
736
425
yx
yx





=+
=
564
1132
yx
yx




=
=+
32
123
yx

5)(2)(
4)(3)(2
yxyx
yxyx








=
=+
5
111
5
411
yx
yx











22
yx
yx
b)



=
=+
20510
152
yx
yx
c)



=
=+
432
3
yx
yx
d)



=+
=+
975

x
y
x
Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
9
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
a)







=
=+
8
311
8
511
yx
yx
b)









+
1
2
3
2
20
1
2
1
2
4
yxyx
yxyx
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
( )



=
=+
7
53
yx
yxm
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình


=
=+
8050)4(
16)4(2
yxm
ymx
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a)
558
=++
xx
b)
482
22
=++
xx
CHủ đề 4: hình học

I. hệ thức trong tam giác vuông:
Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:
+
,2,2
.;. cacbab
==
+
222
cba

2
.;
b
c
b
c
c
b
c
b
==
Hệ thức giữa cạnh và góc:
Tỷ số l ợng giác:
D
K
Cotg
K
D
Tg
H
K
Cos
H
D
Sin
====
;;;
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu
0



= 1 *tg

= sin

/cos

*cotg

= cos

/sin

*tg

. cotg

=1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:

SinCacSinBab ..;.
==

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:

CosBacCosCab ..;.
==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:

Gii tam giỏc ABC?
Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú a = 15, B = 60
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 10:Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 3, C = 40
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 11: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c

= 4, B = 55
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 12: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, cú trung tuyn ng vi cnh huyn m
a
= 5, h = 4.
Gii tam giỏc ABC?
Bi13: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, trung tuyn ng vi cnh huyn m
a
= 5, mt gúc nhn bng 47
0
. Gii tam
giỏc ABC?
Bi14: Tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5.
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
11
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Gii tam giỏc ABC?
Bi15: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g

1. Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính)

Dây

Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau

Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn

Dây gần tâm hơn.

Vị trí t

ơng đối của đ

ờng thẳng với đ

ờng tròn:

+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn

Không có điểm chung

d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng
thẳng; R là bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn


c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bài 3: Cho đờng tròn đờng kính AB . Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn . G ọi E , F lần
lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB. Chửựng minh:
a/ CE = CF
b/ AC là phân giác của góc BAE
c/ CH
2
= BF . AE
Bài 4: Cho đờng tròn đờng kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đờng tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến
thứ 3 nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR
a/
CN NB
AC BD
=
b/ MN

AB
c/ góc COD = 90
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
12
Tổ tốn khu ba tổng huyện n dũng: 2009_2010
Bµi 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN
cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a)CMR: NE
⊥
AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF
2

bài mẫu: Giải các phơng trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ (.........)
1) Giải phơng trình: 3x
2
-27x = 0 3x(x-) = 0 3x= 0 (1) hoặc .........................(2)
Giải(1) x=
Giải(2) x=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ..
2) Giải các phơng trình: 5x
2
- 45 = 0 x
2
- = 0 x
2
= 9 x
1,2
=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ..
3)Giải phơng trình: 2x
2
-2007x +2005= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ; ..
??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x
2
+7x -5= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có: =.=..>0

=..<=>
y
2
==> x
2
=..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
6) Giải phơng trình:
06x5x
=+
(*)
Đặt
x

= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
+5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==..
Với y
1
=;. thoả mãn điều kiện của bài toán => y
1
=(loại)
y

y
=0 f)y-5
y
+4=0
Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x
2
-17x - 20 = 0
b) 2x
2
- 2007x + 2005 = 0
c) x
2
+ x + 1 = 0
d) x
2
- 4x + 4= 0
e) x
2
+ 3x - 1 = 0
f) x
2
- x +
22

= 0
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
1) x
4
- 5x