ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-----------------------

LÊ THỊ THU PHƯƠNG

ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN
MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CỦA HỆ ĐIỆN TỬ CHUẨN
MỘT CHIỀU DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TRƯỜNG SÓNG
ĐIỆN TỪ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ

HÀ NỘI, 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-----------------------

LÊ THỊ THU PHƯƠNG

ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN
MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CỦA HỆ ĐIỆN TỬ CHUẨN
MỘT CHIỀU DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TRƯỜNG SÓNG
ĐIỆN TỪ

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số:

tình giúp đỡ, hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho việc hoàn thành luận án cũng
như động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại học
của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện tốt
nhất cho tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành
tới các cán bộ, nhà khoa học, giảng viên và các bạn đồng nghiệp thuộc Bộ môn Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận án.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu và các phòng, khoa chức năng của
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời gian và
hỗ trợ kinh phí cho tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Cuối cùng, tác giả xin cám ơn sự giúp đỡ tận tình của các bạn đồng nghiệp trong
khoa Vật lý của Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, bạn bè và những người thân
trong gia đình đã động viên cho tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến mọi người.
Tác giả luận án

ii


MỤC LỤC
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Danh mục các từ viết tắt và bảng đối chiếu thuật ngữ Anh - Việt . . . . . . . .

vi

Danh mục một số ký hiệu thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

1.3.2. Kỹ thuật toán tử chiếu độc lập trạng thái . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 2. ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC
LÊN HIỆU ỨNG GIA TĂNG PHONON . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Các biểu thức giải tích của hiệu ứng gia tăng phonon . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Hamiltonian của hệ electron và phonon giam cầm trong dây lượng tử 27

iii


2.1.2. Biểu thức giải tích của tốc độ thay đổi số phonon . . . . . . . . . . 29
2.2. Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ thay đổi phonon . . . 34
2.2.1. Trường hợp dây lượng tử hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Trường hợp dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3. ẢNH NƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC
LÊN CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA HAI LOẠI PHONON . . 40
3.1. Hệ phương trình động lượng tử của hai loại phonon giam cầm trong dây
lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Phương trình tán sắc mô tả tương tác tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Điều kiện cộng hưởng tham số của hai loại phonon giam cầm trong dây
lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1. Trường hợp dây lượng tử hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2. Trường hợp dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên biên độ trường ngưỡng và hệ
số biến đổi tham số của hai loại phonon

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.1. Trường hợp dây lượng tử hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.2. Trường hợp dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 52

CHIẾU THUẬT NGỮ ANH - VIỆT
Viết tắt

Tiếng Anh

Tiếng Việt

0D

Zero Dimension

Không chiều

1D

One Dimension

Một chiều

2D

Two Dimension

Hai chiều

3D

Three Dimension

Ba chiều


Cộng hưởng electron-phonon

EPRLW

Electron-Phonon Resonance

Độ rộng vạch phổ

Line-Width

cộng hưởng electron-phonon

Line-Width

Độ rộng vạch phổ

MBE

Molecular Beam Epitaxy

Epitaxy chùm phân tử

MPR

Magneto-Phonon Resonance

Cộng hưởng từ-phonon

MPRLW


Optically Detected

Dò tìm cộng hưởng

Magneto-Phonon Resonance

từ-phonon bằng quang học

Rectangular Quantum Wire

Dây lượng tử hình chữ nhật

vi


DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

Đại lượng

Ký hiệu

Bán kính cyclotron

ac

Bán kính của CQW

R


ΓODEPR

χ∞ / χ0

Hằng số điện môi cao tần / tĩnh

F

Hệ số gia tăng
Khối lượng hiệu dụng / khối lượng tĩnh của electron

me / m0
εF

Năng lượng Fermi
Năng lượng của photon

ω

Năng lượng của phonon

ωq

Năng lượng của phonon giam cầm
Năng lượng của phonon quang không giam cầm
Phần ảo của hàm dạng phổ khi không có từ trường
Phần ảo của hàm dạng phổ khi có từ trường

ωm,n,qz
ω0

χ∞

10.9

Độ thẩm điện môi tĩnh

χ0

13.1

Hằng số điện môi

χ

13.9

Hằng số thế biến dạng

κ

13.5 eV

Khối lượng của electron tự do

m0

9.1 × 10−31 kg

Khối lượng hiệu dụng của electron


va

5370 m.s−1

Năng lượng của phonon quang

viii


Danh sách hình vẽ
1.1

Mô hình dây lượng tử hình trụ (bên trái) và hình chữ nhật (bên phải) . . . 11

2.1

Sự phụ thuộc của tốc độ tạo phonon G vào số sóng qz trong CQW đối với
trường hợp phonon khối tại nhiệt độ 200 K (đường liền nét) và trường hợp
phonon giam cầm tại các nhiệt độ T khác nhau: 150 K (đường gạch gạch),
200 K (đường chấm chấm), 250 K (đường chấm gạch) . Ở đây, ω = 1.0×1013
Hz, R = 16.3 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2

Sự phụ thuộc của tốc độ tạo phonon G vào bán kính R của CQW đối với
trường hợp phonon khối tại tần số ω = 1.0 × 1013 Hz (đường liền nét)
và trường hợp phonon giam cầm tại các giá trị khác nhau của tần số ω
của điện trường: 1.0 × 1013 Hz (đường gạch gạch), 2.0 × 1013 Hz (đường
chấm chấm), 3.0 × 1013 Hz (đường chấm gạch). Ở đây, qz = 2.0 × 108 m−1 ,
T = 200 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Sự phụ thuộc của hệ số gia tăng F vào số sóng qz của phonon âm trong
CQW có bán kính R = 16.3 nm (bên trái), vào bán kính R của dây tại số
sóng qz = 2.0 × 108 m−1 (bên phải) đối với trường hợp phonon khối (đường
liền nét) và trường hợp phonon giam cầm (đường gạch gạch). . . . . . . . . 51

3.3

Sự phụ thuộc của biên độ ngưỡng Eth vào số sóng qz của phonon âm trong
RQW có kích thước Lx = 10 nm, Ly = 20 nm (bên trái); vào kích thước
Lx của dây tại số sóng qz = 2.0 × 108 m−1 (bên phải) đối với trường hợp
phonon khối (đường liền nét) và trường hợp phonon giam cầm (đường gạch
gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4

Sự phụ thuộc của hệ số gia tăng F vào số sóng qz của phonon âm trong
RQW có kích thước Lx = 10 nm, Ly = 20 nm (bên trái); vào kích thước
Lx của dây tại số sóng qz = 2.0 × 108 m−1 (bên phải) đối với trường hợp
phonon khối (đường liền nét) và trường hợp phonon giam cầm (đường gạch
gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

x


4.1

Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) trong CQW vào năng lượng của
photon ω tại nhiệt độ T = 200 K với các giá trị khác nhau của bán kính
R: 14 nm (đường liền nét), 16 nm (đường gạch gạch) và 18 nm (đường
chấm chấm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ ΓRQW
ODEPR của đỉnh dò tìm cộng hưởng
electron-phonon trong RQW vào kích thước Lx của dây tại nhiệt độ T =
200 K đối với trường hợp phonon khối (hình vuông) và trường hợp phonon
giam cầm (hình tròn). Ở đây, Ly = 20 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.7

Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng của photon ω
trong CQW có bán kính R = 16 nm tại các giá trị khác nhau của từ trường
B: 6.0 T (đường liền nét), 6.5 T (đường gạch gạch). Ở đây, T = 200 K. . . 73

xi


4.8

Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng photon ω trong
CQW tại nhiệt độ T = 200 K đối với trường hợp phonon khối (đường gạch
gạch) và trường hợp phonon giam cầm (đường liền nét). Ở đây, R = 16nm,
T = 200 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.9

Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ ΓCQW
của đỉnh cộng hưởng cyclotron
CR
trong CQW vào bán kính R đối với trường hợp phonon khối (hình vuông)
và trường hợp phonon giam cầm (hình tròn). Ở đây, B = 6 T, T = 200 K.


Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron chuẩn thấp chiều đã làm thay
đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật lý của vật liệu,
đặc biệt là phản ứng của hệ electron đối với trường ngoài. Các vật liệu bán dẫn dựa trên
cấu trúc thấp chiều đã tạo ra các linh kiện, thiết bị hoạt động dựa trên những nguyên tắc
hoàn toàn mới, tạo nên công nghệ hiện đại có tính cách mạng trong khoa học, kỹ thuật
nói chung và trong lĩnh vực quang điện tử nói riêng. Đó là lý do tại sao các vật liệu dựa
trên cấu trúc thấp chiều được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Trong các vật liệu dựa trên cấu trúc thấp chiều, các tính chất vật lý của hệ phụ thuộc
vào dạng hình học, kích thước, thành phần vật liệu, môi trường vật liệu bao quanh,..., và
tuân theo các quy luật của vật lý lượng tử. Nguồn gốc sâu xa của các tính chất này cũng
như các hiệu ứng được tạo ra là sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải (electron,
lỗ trống,....) và các chuẩn hạt (phonon, polaron,...) trong vật rắn do hiệu ứng giảm kích
thước hoặc khi có mặt điện trường, từ trường. Hiệu ứng giảm kích thước được nói đến ở
đây là nguyên nhân dẫn đến sự giam cầm của cả electron và phonon. Vì vậy, đối với các hệ
thấp chiều khác nhau, sự lượng tử hóa nói trên là khác nhau bởi vậy tính chất vật lý của

1


các hệ thấp chiều khác nhau là khác nhau và khác biệt so với vật liệu khối. Cũng chính vì
vậy, đối với các bán dẫn thấp chiều, đồng thời với việc tìm kiếm các hiệu ứng vật lý mới
thì việc tìm kiếm các đặc tính mới trong các hiệu ứng vật lý quen thuộc có vai trò không
kém phần quan trọng. Trong số các hiệu ứng này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến các
hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon khi có mặt của điện trường, từ trường,
đó là: hiệu ứng tạo ra phonon (phonon generation) do hấp thụ năng lượng của điện trường
ngoài; hiệu ứng cộng hưởng tham số (parametric resonance) của hai loại phonon âm và
phonon quang dưới tác dụng của trường laser; hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon khi
có mặt trường laser và cộng hưởng cyclotron khi có mặt cả điện trường và từ trường.
Trong số các hiệu ứng trên, hiệu ứng tạo ra phonon và hiệu ứng cộng hưởng tham số là
các hiệu ứng quen thuộc nhưng những đặc tính mới là những đặc tính sinh ra do sự giam

hưởng của sự giam cầm phonon do hiệu ứng giảm kích thước lên hiệu ứng cộng hưởng
electron-phonon vẫn chưa được quan tâm nghiên cứu. Ngoài ra, các công trình nghiên cứu
về cộng hưởng electron-phonon chủ yếu là tính toán giải tích chỉ ra cơ chế cộng hưởng,
kết quả tính toán số và xác định độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng mới chỉ thu được
đối với bán dẫn khối và giếng lượng tử. Vì vậy, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu
ảnh hưởng của sự giam giữ phonon do hiệu ứng giảm kích thước lên độ rộng vạch phổ dò
tìm cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử khi có mặt sóng điện từ.
Hiệu ứng cộng hưởng cyclotron xảy ra khi năng lượng của photon bằng năng lượng
cyclotron. Nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng cyclotron cho ta các thông tin về cấu trúc,
xác suất tán xạ electron-phonon trong vật liệu, xác định được khối lượng hiệu dụng của
electron,... Hiệu ứng này đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối [16, 17], hệ chuẩn hai
chiều [72, 76, 81, 87] và hệ chuẩn một chiều [68], tuy nhiên vẫn dựa trên giả thiết phonon
là phonon khối. Ngoài ra, cho đến nay theo chúng tôi được biết chưa có công trình nghiên
cứu lý thuyết nào xác định được độ rộng vạch phổ cộng hưởng electron-phonon, cũng như
cộng hưởng cyclotron.
3


Tóm lại, các hiệu ứng nói trên xảy ra trong các bán dẫn thấp chiều trong đó có dây
lượng tử đang được quan tâm nghiên cứu. Hơn nữa, bên cạnh sự giam giữ electron thì sự
giam giữ phonon do hiệu ứng giảm kích thước cũng đóng vai trò quan trọng trong bài toán
tương tác electron-phonon. Sự giam giữ phonon làm tăng tốc độ tán xạ electron-phonon
và sự phi tuyến trong quan hệ tán sắc của phonon âm và làm thay đổi mật độ trạng thái
phonon [85]. Các trạng thái polaron bị ảnh hưởng bởi các thay đổi trong Hamiltonian
Frohlich gây ra bởi sự giam giữ phonon. Do vậy, sự giam giữ phonon cần phải được đưa
vào tính toán để mô hình vật lý gần với thực tế. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài nghiên
cứu “Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên một số tính chất vật lý
của hệ điện tử chuẩn một chiều dưới tác dụng của trường sóng điện từ” với
các vấn đề còn bỏ ngỏ nói trên.
2. Mục tiêu nghiên cứu

khối.
Các nội dung trên được nghiên cứu đối với hai loại dây lượng tử khác nhau (dây
lượng tử hình chữ nhật, dây lượng tử hình trụ) và với hai cơ chế tương tác chủ yếu là
tương tác electron-phonon âm và tương tác electron-phonon quang. Bên cạnh đó, luận án
còn chỉ ra hướng ứng dụng của các kết quả thu được.

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phương trình động lượng tử [1] được sử dụng để nghiên cứu hai hiệu
ứng là tạo ra phonon và cộng hưởng tham số giữa hai loại phonon. Sự khác nhau của
việc áp dụng phương pháp trong việc nghiên cứu hai hiệu ứng là ở chỗ khi nghiên cứu
hiệu ứng tạo ra phonon ta chỉ cần thiết lập một phương trình động lượng tử cho một loại
phonon, trong khi đó, để nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng tham số của hai loại phonon ta

5


phải thiết lập một hệ phương trình động lượng tử cho cả hai loại phonon. Phương trình
tán sắc sẽ được thu nhận từ các phương trình động lượng tử nhờ sử dụng phương pháp
chuyển phổ Fourier và phép biến đổi Fourier-Laplace [7]. Giải phương trình tán sắc ta tìm
được phổ phonon, từ đó thiết lập được điều kiện cộng hưởng tham số và biến đổi tham
số giữa hai loại phonon.
Đối với hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng cyclotron, chúng tôi sử
dụng phương pháp toán tử chiếu. Phương pháp này cho phép ta đưa ra được biểu thức
tường minh của công suất hấp thụ, trong đó chứa các thông tin về mô hình tương tác và
có thể tính toán giải tích đến mức độ cần thiết. Để xác định độ rộng vạch phổ, chúng tôi
sử dụng “phương pháp profile” do nhóm đề xuất [67, 68]. Đây là phương pháp tính số cho
phép xác định độ rộng vạch phổ từ đồ thị mô tả sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
năng lượng photon thông qua xác định profile của đường cong với sự hỗ trợ của các phần
mềm tính toán như Mathematica, Matlab,...
Các phương pháp mà chúng tôi sử dụng đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước

Về mặt phương pháp, việc áp dụng phương pháp phương trình động lượng tử, phương
pháp toán tử chiếu với kỹ thuật toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái và kỹ thuật toán tử
chiếu độc lập trạng thái cho các bài toán khác nhau thu được nhiều kết quả hợp lý, khẳng
định khả năng, tính hiệu quả và sự đúng đắn khi nghiên cứu các tính chất quang và tính
chất động trong bán dẫn thấp chiều nói chung, dây lượng tử nói riêng. Các phương pháp
này có độ tin cậy cao về mặt khoa học vì đều dựa trên ý tưởng là tăng tốc độ hội tụ của
chuỗi nhờ đưa về dạng liên phân số vô hạn liên tục (kiểu của Mori). Điểm mới trong luận
án là áp dụng "phương pháp profile" để xác định độ rộng vạch phổ của các đỉnh cộng
hưởng thu được từ đồ thị của công suất hấp thụ vào năng lượng của photon. Đây là đại
lượng có thể xác định bằng thực nghiệm, bởi vậy kết quả của luận án có thể được sử dụng
để so sánh khi có kết quả đo đạc thực nghiệm tương ứng được công bố.
Bên cạnh tầm quan trọng về nội dung và phương pháp, kết quả nghiên cứu của luận

7


án cũng có thể đóng góp một phần nhỏ bé vào sự phát triển khoa học vật lý nanô trong
việc cung cấp các thông tin về các tính chất của dây lượng tử bán dẫn cần thiết cho công
nghệ chế tạo các linh kiện điện tử bằng vật liệu nanô hiện nay.

7. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận
án và các tài liệu tham khảo, phần nội dung của luận án gồm 4 chương, 16 mục với 1
hình vẽ, 20 đồ thị được bố trí như sau:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số vấn đề tổng quan về bán dẫn dây lượng
tử, phổ năng lượng, hàm sóng của electron trong các loại dây, phương pháp phương trình
động lượng tử cho phonon và phương pháp toán tử chiếu. Trong chương 2, chúng tôi sử
dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon để nghiên cứu hiệu ứng gia
tăng phonon do hấp thụ năng lượng của trường laser. Trong chương 3, sử dụng phương
pháp phương trình động lượng tử cho phonon chúng tôi nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng

tử và siêu mạng (2 chiều), dây lượng tử (1 chiều), chấm lượng tử (0 chiều). Vì vậy, dây
lượng tử được xem là vật dẫn điện mà trong đó electron bị giam giữ theo hai chiều và
chuyển động tự do theo một chiều còn lại. Do tính chất bị giam giữ nên hàm sóng và
năng lượng của electron theo hai chiều bị lượng tử hóa và có dạng tùy thuộc vào dạng
thế giam giữ electron. Hàm sóng của electron theo chiều tự do là sóng phẳng De Broglie
ứng với năng lượng có giá trị liên tục.

1.1.1.

Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử khi không
có từ trường

Một cách tổng quát, phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử
thu được bằng cách giải phương trình Schr¨odinger cho electron
ψ(r) +

2me
2

[E − U (r)] ψ(r) = 0,

9

(1.1)


trong đó me là khối lượng hiệu dụng của electron, U (r) là thế năng giam giữ do hiệu ứng
giảm kích thước gây ra. Thông thường, để tiện lợi cho việc khảo sát ta giả sử electron
chuyển động tự do theo phương z và bị giam giữ trong mặt phẳng (x, y) của hệ tọa độ
Descartes. Từ đó thế năng U (r) được phân tích thành hai thành phần


2me

;

1
Ψ(z) = √ eikz z ,
Lz

với kz là thành phần véctơ sóng k theo trục z, Lz là kích thước của dây theo phương z.
Phương trình (1.3) cho nghiệm là Ex,y và Φ(x, y) với dạng cụ thể phụ thuộc vào dạng của
thế năng U (x, y). Do đó, hàm sóng và phổ năng lượng toàn phần của electron trong dây
lượng tử dưới dạng
eikz z
ψ(x, y, z) = √ Φ(x, y),
Lz
2 2
kz
ε(kz ) = Ex,y +
.
2me

(1.4)
(1.5)

Sau đây ta xét hai loại dây lượng tử bán dẫn được áp dụng trong luận án, đó là dây
lượng tử hình trụ với hố thế sâu vô hạn và dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế sâu vô
hạn.
10


R). Chọn hệ

tọa độ trụ (r, ϕ, z) sao cho trục của dây hướng dọc theo trục z. Giả thiết thế năng giam
giữ electron trong dây này có dạng

0 khi r ≤ R,
U (x, y) ≡ U (r, ϕ) =
∞ khi r > R.
Việc tìm phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử là một bài
toán cơ học lượng tử nhờ việc sử dụng phương pháp phân ly biến số được trình bày trong
hầu hết các tài liệu về cơ học lượng tử, chẳng hạn như trong [3, 4]. Hàm riêng và trị riêng
tương ứng với phương trình (1.3) có dạng
Φ ,j (r, ϕ) = √

1
πRJ +1 (x ,j )

E ,j =
trong đó

J (x ,j

r iϕ
)e ,
R

2 2
x ,j
,
2me R2