ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN HOÀNG CHƠN

ĐỒNG CẤU CHUYỂN SINGER
QUA NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ LAMBDA
VÀ DÃY PHỔ MAY

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011


Mục lục

Mục lục

v

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

12

1.1. Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12


44

2.5. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.6. Đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7 . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.7. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Chương 3. Dãy phổ May và đồng cấu chuyển đại số

63

3.1. Dãy phổ May . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.2. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.3. Hai bài toán “hit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

95

Tài liệu tham khảo

96

Phụ lục A. Cơ sở đơn thức của đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof

104

A.1. Giới thiệu về đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof . . . . . . . . . . . . 104
A.2. Cơ sở của đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof . . . . . . . . . . . . . . 106
A.3. Kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

vi


Mở đầu
Bài toán phân loại kiểu đồng luân của các không gian tôpô là một vấn đề trọng
tâm trong Tôpô đại số. Các hàm tử đồng điều, đối đồng điều kỳ dị là các bất biến
đồng luân thường được sử dụng, tuy nhiên chúng chưa đủ mạnh để giải quyết bài
toán này. Năm 1947, Steenrod [67] xây dựng, với mỗi k ≥ 0, một toán tử đối đồng

điều (được gọi là toán tử Steenrod)

Sq k : H ∗ (X) → H ∗+k (X),
tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị (modulo 2) của không gian tôpô X. Đại số
sinh bởi các Sq i (i ≥ 0) gọi là đại số Steenrod. Đại số này thường được ký hiệu là
A . Đối đồng điều kỳ dị (mod 2) của không gian tôpô X có cấu trúc của một A -đại


đại số wedge (xem [44],[45]); tuy nhiên, các quan hệ trên đại số Adams vẫn chưa

được xác định hết. Khi s > 5, người ta chỉ mới biết được một số thông tin rời rạc về
Exts,∗
A (F2 , F2 ) (xem [11]).
Các công cụ chủ yếu để xác định đối đồng điều của đại số Steenrod là đại số
vi phân phân bậc lambda (xem [8], [60], [62], [80], [38], [15]), dãy phổ May (xem
[46, 47], [74], [37]) và giải thức cực tiểu của A (xem [11]).
Với ý tưởng nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod bằng công cụ lý thuyết
bất biến modular, năm 1989, Singer [63] xây dựng một đồng cấu thuần túy đại số,
gọi là đồng cấu chuyển đại số (hay còn gọi là đồng cấu chuyển Singer):
T rs : F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs )

/

Exts,s+∗
(F2 , F2 ).
A

Ở đây, BVs là không gian phân loại của nhóm cộng của không gian véctơ s chiều
Vs trên trường F2 ; ký hiệu PA H∗ (BVs ) dùng để chỉ không gian con của H∗ (BVs )
gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương. Nhóm tuyến
tính tổng quát GLs tác động trên Vs , do đó nó tác động trên đồng điều và đối đồng
điều của BVs . Vì các tác động của GLs và của đại số Steenrod giao hoán với nhau
nên có một tác động cảm sinh của GLs trên PA H∗ (BVs ).
Đồng cấu T rs có thể được xem như một phiên bản đại số của đồng cấu chuyển
hình học π∗S ((BVs )+ ) → π∗S (S0 ) trên trang E2 của dãy phổ Adams (xem [52]).

Singer cũng đã chứng minh rằng T rs là đẳng cấu với s ≤ 2; và ông đưa ra giả
thuyết rằng T rs là đơn cấu với mọi s ≥ 1 [63]. Sau đó, đồng cấu chuyển đại số đã


α(d + s) > s, trong đó α(n) là số các chữ số 1 trong khai triển nhị phân của n. Giả
thuyết này, sau đó, đã được Wood [84] chứng minh năm 1989. Từ quan sát này, Kuhn
[9] đã đưa ra giả thuyết rằng Exts,t
A (F2 , F2 ) = 0 nếu α(t) > s. Giả thuyết của Kuhn
đã được Bruner kiểm chứng và xác nhận tại các bậc mà ở đó nhóm Exts,t
A (F2 , F2 )
đã được xác định. Mặt khác, khi nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số, N. H. V. Hưng
[28] chứng minh rằng khi tác động toán tử Kameko lên F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) lặp lại

nhiều nhất s − 2 lần thì ta nhận được một đẳng cấu lên ảnh của nó. Một giả thuyết
tương tự được N. H. V. Hưng [28], [9] đưa ra là tồn tại một số r, phụ thuộc vào s, sao
cho (Sq 0 )i−r : Im(Sq 0 )r → Im(Sq 0 )i là một đẳng cấu, trong đó ký hiệu Im(Sq 0 )i

là ảnh của (Sq 0 )i trên ExtsA (F2 , F2 ). Những giả thuyết này, nếu đúng, cho thấy mối
liên hệ mật thiết giữa cấu trúc của F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) và Exts,∗
A (F2 , F2 ) thông qua
đồng cấu chuyển của Singer.

Vì vậy, đồng cấu chuyển đại số được kỳ vọng là một công cụ quan trọng để nghiên
cứu đối đồng điều của đại số Steenrod.
Các tính toán của Singer [63] được thực hiện chủ yếu trên đối ngẫu của đồng cấu
chuyển đại số sau
/ (F

T rs∗ : TorAs,s+t (F2 , F2 )

2

⊗A H t (BVs ))GLs .

phần tử λi , i ≥ 0, có song bậc (1, i), và thỏa mãn các quan hệ Adem:
λs λt =
j

j−t−1
λs+t−j λj , s > 2t.
2j − s

Hơn nữa, vi phân của Λ được cho bởi công thức:
δ(λs ) =
j

s−j−1
λj λs−j−1 .
j+1

Năm 1982, Wellington [81, Định nghĩa 7.9], dùng quan hệ Nishida trên đại số
Araki-Kudo-Dyer-Lashof, xây dựng một tác động hình thức của đại số Steenrod lên
đại số lambda. Tác động này không giao hoán với vi phân, nhưng giữa chúng có mối
liên hệ thú vị (xem [81, Định lý 7.11]).
Năm 1983, Singer [62] xây dựng lại đối ngẫu của đại số lambda theo lý thuyết
bất biến. Gọi Γs là địa phương hóa của đại số Dickson bằng cách làm nghịch đảo
Qs,0 (xem [23]). Singer [62] chứng minh rằng đối ngẫu của đại số lambda đẳng cấu
với một phức dây chuyền, tại mỗi bậc đồng điều s, là không gian con của Γs sinh
bởi các phần tử thỏa mãn điều kiện chiều. Với cách xây dựng này, đối ngẫu của đại
4


số lambda có cấu trúc tự nhiên của một A -môđun vi phân; tuy nhiên, mối liên hệ
giữa cấu trúc A -môđun của Λ và quan hệ Nishida vẫn chưa được hiểu rõ (xem bình

Một công cụ quan trọng khác để tính đối đồng điều của đại số Steenrod là dãy
phổ được xây dựng bởi May [46] năm 1964. Để mô tả dãy phổ này, ta cần giới thiệu
một vài thuật ngữ và ký hiệu. Gọi A là iđêan của A sinh bởi tất cả các phần tử bậc
dương, được gọi là iđêan bổ sung của A . Lọc bổ sung của A được định nghĩa bằng
cách đặt Fp A = A nếu p ≥ 0 và Fp = (A )−p nếu p < 0.

Lọc bổ sung của A cảm sinh một lọc trên giải thức bar, và do đó ta thu được một

dãy phổ (gọi là dãy phổ May) hội tụ về đồng điều của đại số Steenrod và có trang
E 2 đẳng cấu với đồng điều của đại số phân bậc liên kết E 0 A . Vì E 0 A là đại số
Hopf sinh nguyên thủy, nên từ công trình của Priddy [60], phức để tính đồng điều
H∗ (E 0 A ) được xác định một cách tường minh. Do đó, dãy phổ này hoàn toàn có
thể tiếp cận được. Các tính toán của May [46, 47], và sau đó là Tangora [74], Lin
[37], Bruner [11], sử dụng dãy phổ May, đã xác định được cấu trúc cộng tính cho
Exts,t
A (F2 , F2 ) với s ≤ 4, t bất kỳ và với 5 ≤ s < 40, t − s < 141.
Chúng tôi nhận thấy rằng biểu diễn của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số trên
giải thức bar có thể nâng lên thành đồng cấu dây chuyền và đồng cấu này tương thích
5


với lọc của May. Nên nó cảm sinh một đồng cấu dãy phổ mà ở trang E 2 là một phiên
bản tương tự như đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số:
0

/F

A
E 2 ψs : TorEs,s+t
(F2 , F2 )


thương.

Các quan hệ Adem trên đại số lambda cảm sinh các quan hệ Adem trên R. Cụ
thể, các toán tử Qi thỏa mãn các quan hệ Adem sau:
Qs Qt =
j

j−t−1
Qs+t−j Qj , s > 2t.
2j − s

Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof được dùng để mô tả đồng điều (modulo 2) của
không gian các vòng lặp, đặc biệt là không gian các vòng lặp vô hạn (xem [5], [49],
[43]).
Mặt khác, các công trình của Madsen [42], H. Mùi [54], cho thấy không gian
con của R sinh bởi các đơn thức có độ dài k đẳng cấu với đối ngẫu của đại số
Dickson. Kết quả này mở ra một con đường nghiên cứu đại số Araki-Kudo-DyerLashof bằng công cụ của lý thuyết bất biến modular (xem Madsen-Milgram [43],
6


H. Mùi [54], Campbell [14], N. H. V. Hưng [26], N. H. V. Hưng-P. A. Minh [30],
N. H. V. Hưng [29]).
Kết của chính của phần phụ lục là xây dựng một cơ sở mới cho đại số ArakiKudo-Dyer-Lashof (xem Định lý 6) cũng như chỉ ra liên hệ giữa cơ sở mới với cơ sở
chấp nhận được và cơ sở Turner (xem Mệnh đề 7 và Mệnh đề 8). Ngoài ra, dựa vào
phương pháp của Arnon [6], chúng tôi tìm được các kết quả liên quan đến tính cực
tiểu và cực đại của cơ sở mới (xem Mệnh đề 9).
Luận án được chia thành ba chương và một phụ lục.
Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản được dùng trong hai
chương chính của luận án, bao gồm đại số Steenrod, các giải thức bar và cobar, dãy

Tiếp theo, chúng tôi xây dựng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số, ψs (xem
Định lý 2.4.2), và ứng dụng vào việc khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Trong [25], L. M. Hà xây dựng các phần tử d0 ∈ PA H14 (BV4 ), e0 ∈ PA H17 (BV4 )
và chứng minh một cách gián tiếp rằng các phần tử này tương ứng là nghịch ảnh của
7


d0 ∈ Ext4,18
(F2 , F2 ) và e0 ∈ Ext4,21
(F2 , F2 ). Dùng đồng cấu ψs , chúng tôi có thể
A
A

tính toán trực tiếp ảnh của d0 , e0 qua ψ4 và chỉ ra rằng chúng tương ứng là các đại
diện của d0 và e0 trong đại số lambda (xem Mệnh đề 2.5.2). Ngoài ra, chúng tôi cũng
xây dựng một cách tường minh phần tử f0 ∈ PA H18 (BV4 ) và chứng tỏ rằng ψ4 (f0 )

là một đại diện của f0 ∈ Ext4,22
(F2 , F2 ) trong Λ. Cách chứng minh này hoàn toàn
A
khác với chứng minh của T. N. Nam [91] cho trường hợp f0 .

Trong chương này, chúng tôi cũng đã bước đầu khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển
đại số hạng 6 và 7 tại một số bậc. Kết quả chính nhận được là định lý sau đây (định
lý này cũng được đánh số là Định lý 2.6.1).
Định lý 2. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) h0 P h2 ∈ Ext6,17
(F2 , F2 ),
A
(ii) h20 P h2 ∈ Ext7,18

trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số hay không ta cần biết một đại diện của x
trên dãy phổ May. Một thuận lợi của phương pháp này là đại diện trên dãy phổ May
của hầu hết các phần tử đã biết trong Ext∗,∗
A (F2 , F2 ) đều đã được xác định (xem
[46, 74, 11]).
8


Mệnh đề sau đây (còn được đánh số là Mệnh đề 3.4.2) là kết quả đầu tiên của
chương này.
Mệnh đề 3. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) d0 ∈ Ext4,18
(F2 , F2 ),
A
(ii) e0 ∈ Ext4,21
(F2 , F2 ),
A
(iii) f0 ∈ Ext4,22
(F2 , F2 ), và
A
(iv) p0 ∈ Ext4,37
(F2 , F2 )
A
nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Các kết quả về d0 , e0 được chứng minh bởi L. M. Hà [25]; kết quả về f0 được
chứng minh bởi T. N. Nam [91]; kết quả về p0 được chứng minh bởi N. H. V. HưngV. T. N. Quỳnh [33]. Việc nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số, dùng E 2 ψs ,
liên quan đến bài toán xác định tập sinh cực tiểu của E 0 H ∗ (BVs ) (môđun phân bậc
liên kết của H ∗ (BVs )) xem như môđun trên đại số phân bậc liên kết của A (được
gọi là bài toán “hit” thứ hai), và sau đó là bài toán xác định các chu trình vĩnh cửu
không tầm thường trên dãy phổ May cho H ∗ (BVs ) tại bậc đồng điều không.

E 2 ψs để khảo sát các phần tử khác trong họ gi (kết quả chính trong [13]). Cũng chính
vì hạn chế này mà phương pháp của chúng tôi chưa chỉ ra được các họ pi và Di (3)
không nằm trong ảnh của T r4 (xem [28]).
Trong phần phụ lục của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả mới về đại số
Araki-Kudo-Dyer-Lashof. Cụ thể, gọi R[k] là không gian con của R sinh bởi các
đơn thức có độ dài k. Ta biết rằng R[k] có một cơ sở cộng tính được gọi là cơ sở chấp
nhận được. Chúng tôi xây dựng một cơ sở cộng tính mới cho đại số Araki-KudoDyer-Lashof, được cho trong định lý sau đây (định lý này còn được đánh số là Định
lý A.2.1).
Định lý 6. Tập hợp tất cả các đơn thức Qjk−1 · · · Qj0 , trong đó jn ≥ 2jn−1 , với
1 ≤ n ≤ k − 1, và jn chia hết cho 2n , là một cơ sở cộng tính của R[k].

Turner [75] đã giới thiệu một cơ sở cộng tính cho đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof
thông qua lý thuyết bất biến, và dùng nó trong nghiên cứu cấu trúc vành Hopf của
đồng điều (modulo 2) của không gian các vòng lặp vô hạn của mặt cầu S0 . Các cơ sở
cộng tính khác nhau của đại số Steenrod đã được Walker và Wood [77, 78] sử dụng
trong nghiên cứu bậc lũy linh của các toán tử Sq i , do đó, chúng tôi hy vọng rằng
việc xây dựng các cơ sở cộng tính khác nhau cho đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof có
thể sẽ mang lại các kết quả tương tự.
Gọi AC là cơ sở trong Định lý 6. Khi đó, mối liện hệ giữa cơ sở mới và các cơ sở
đã biết được trình bày trong các mệnh đề sau đây (các mệnh đề này còn được đánh
số là Mệnh đề A.2.2 và Mệnh đề A.2.7).
Mệnh đề 7. Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chấp nhận được sang cơ sở AC là ma
trận tam giác trên tương ứng với thứ tự đã chọn trên từng cơ sở.
Mệnh đề 8. Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chấp nhận được sang cơ sở Turner là ma
trận tam giác trên tương ứng với thứ tự đã chọn cho từng cơ sở.
Từ đó, ta nhận được hệ quả là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở mới sang cơ sở
Turner là ma trận tam giác trên.
Cho một thứ tự bất kỳ trên tập các đơn thức của R, một đơn thức được gọi là cực
tiểu (tương ứng, cực đại) nếu nó không thể biểu diễn được thành một tổ hợp của các
đơn thức nhỏ hơn (tương ứng, lớn hơn). Mệnh đề sau đây (còn được đánh số là Mệnh

Sq k : H ∗ (X) → H ∗+k (X),
tác động tự nhiên trên đối đồng điều của không gian tôpô X, xác định với mọi k ≥ 0.
Các toán tử này giao hoán với phép treo và do đó chúng được gọi là các toán tử đối
đồng điều ổn định.
Những kết quả đầu tiên liên quan đến cấu trúc của đại số Steenrod được xây dựng
bởi Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor [50].
Năm 1950, Cartan [88] chứng minh rằng
k
k

Sq i (x)Sq k−i (y),

Sq (xy) =

(1.1)

i=0

với x, y ∈ H ∗ (X) và xy là tích cup trong vành H ∗ (X). Công thức này được gọi là
công thức Cartan.

12


Năm 1952, Adem [3] chứng minh rằng tất cả các quan hệ trong đại số Steenrod
đều được sinh ra từ tập các quan hệ, gọi là các quan hệ Adem (xem (1.2)).
Năm 1953, Serre [92] chứng minh các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử
đối đồng điều ổn định. Và đại số Steenrod có một cơ sở cộng tính được gọi là cơ sở
chấp nhận được (xem Mệnh đề 1.1.1).
Sau đó, cấu trúc của đại số Steenrod được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi Milnor

cộng tính của đại số Steenrod A , xem như không gian véctơ phân bậc trên F2 .
Cơ sở được nói đến trong Mệnh đề 1.1.1 được gọi là cơ sở chấp nhận được.
k

Mệnh đề 1.1.2 ([68]). Với mỗi k ≥ 0, các toán tử Sq 2 không phân tích được, và đại
k

số A được sinh bởi Sq 0 và các toán tử Sq 2 .

Theo Milnor [50], đại số Steenrod, A , là đại số Hopf, phân bậc, liên thông, đối
giao hoán, có kiểu hữu hạn và có bổ sung, trong đó, đối tích được cho trên các phần
tử sinh bởi

k
k

∆(Sq ) =
i=0

Sq i ⊗ Sq k−i .

13


Đồng cấu bổ sung

: A → F2 xác định bởi (θ) = 1 nếu |θ| = 0 và (θ) = 0

nếu |θ| > 0, trong đó ký hiệu |θ| là bậc của phần tử θ trong A . Nhân của được gọi
là iđêan bổ sung của A và được ký hiệu là A .

∗

µ (ξk ) =
i=0

⊗ ξi , χ(ξk ) =

i

2
ξk−i
χ(ξi ).
i=0

Xem như F2 -không gian véctơ, A * có một cơ sở cộng tính gồm các đơn thức
ξ1r1 . . . ξkrk = ξ R , ở đó R = (r1 , . . . , rk ) là một bộ k số nguyên không âm. Ta ký hiệu
Sq(R) = Sq(r1 , . . . , rk ) là đối ngẫu của đơn thức ξ1r1 . . . ξkrk theo cơ sở đơn thức của
A * . Khi đó, bậc của Sq(r1 , . . . , rk ) là r1 + 3r2 + · · · + (2k − 1)rk , và ta có kết quả

sau đây.

Mệnh đề 1.1.3 ([50]). Tập tất cả các phần tử Sq(R) là một cơ sở cộng tính của đại
số Steenrod A , xem như F2 -không gian véctơ phân bậc.
Cơ sở của A nói trong Mệnh đề 1.1.3 được gọi là cơ sở Milnor.
Trong [50], Milnor xây dựng cấu trúc tích của các phần tử trong cơ sở Milnor, là
đối ngẫu của đối tích trong A * , được gọi là tích Milnor, được xác định như sau:
Với R = (r1 , . . . , rk ), S = (s1 , . . . , s ) là các bộ số nguyên không âm. Khi đó,
tích Milnor được cho bởi
Sq(R)Sq(S) =




trong đó xij là các số nguyên không âm thỏa mãn

v

2v xiv , 1 ≤ i ≤ k;

u

xuj , 1 ≤ j ≤ .

ri =
sj =

b(X) và T (X) = (t1 , . . . , tm ) được xác định như sau:
n

tn =
w=0

xw,n−w , 1 ≤ n ≤ m,
m
n=1 (tn !)

b(X) =

i,j (xij !)

,

n
k

(1.4)

xn+k
.
i

Với tác động này, Ps trở thành một A -môđun trái. Từ các công trình của Serre [92],
Milnor [50], Peterson [58, 59] cho thấy cấu trúc A -môđun của Ps đặc biệt quan
trọng.
15


Bài toán xác định tập sinh cực tiểu của Ps xem như một A -môđun được gọi là bài
toán “hit”1 . Một đa thức f ∈ Ps được gọi là bị “hit” nếu f ∈ A Ps . Việc giải bài toán

“hit” tương đương với việc tìm một cơ sở cho không gian véctơ F2 ⊗A Ps = Ps /A Ps .
Một đơn thức m = xt11 . . . xtss ∈ Ps được gọi là nhọn (spike) nếu mọi lũy thừa ti

đều có dạng 2ki − 1 với ki ≥ 0 nào đó. Từ (1.4) ta thấy các đơn thức nhọn không bị
“hit” và không xuất hiện trong khai triển của Sq a (Y ) với mọi a > 0, Y ∈ Ps .

Ký hiệu α(n) là số chữ số 1 trong khai triển nhị phân của số tự nhiên n. Kết quả
sau đây được sử dụng nhiều trong các chương tiếp theo.
Định lý 1.1.4 ([84]). Cho m ∈ Ps là một đơn thức bậc d. Nếu α(d + r) > r thì m bị
“hit” trong Ps , trong đó r là số lũy thừa lẻ của m.

Hệ quả 1.1.5 (Giả thuyết của Peterson [58]). Nếu α(d+s) > s thì mọi đa thức thuần


đều có (y)Sq k = 0 với mọi k > 0. Như vậy, đối ngẫu của bài toán “hit” là bài toán
tìm tất cả các phần tử của H∗ (BVs ) bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương.

1.2.

Giải thức bar và cobar

Cho A là một đại số phân bậc có kiểu hữu hạn trên trường F2 . Trong mục này,
chúng tôi trình bày sơ lược về giải thức bar và cobar của một A-môđun phân bậc có
kiểu hữu hạn. Nội dung phần này chủ yếu dựa vào các tài liệu [47], [60], [2], [87].
Giải thức bar và cobar
Cho A là một đại số phân bậc có bổ sung trên trường F2 , : A → F2 là đồng cấu
bổ sung của A, và A¯ = Ker( ) là iđêan bổ sung của A.
¯ ⊗ A, trong đó Tn (A)
¯ là tích tenxơ n phiên bản của
Đặt Bn (A; A) = A ⊗ Tn (A)

¯ Các phần tử sinh trong Bn (A; A) được ký hiệu đơn giản là a{a1 | . . . |an }b, trong
A.
1

Thuật ngữ “Hit problem” do Peterson [58] đưa ra và được sử dụng rộng rãi.

16


¯ các phần tử sinh của B0 (A; A) được ký hiệu là a{}b. Khi đó,
đó a, b ∈ A và ai ∈ A;
B(A; A) = ⊕n≥0 Bn (A; A) là một A-môđun song bậc, trong đó a{a1 | . . . |an }b có


a{a1 | . . . |ai ai+1 | . . . |an }b

(1.5)

+ a{a1 | . . . |an−1 }an b.
Cho M là một A-môđun trái, N là một A-môđun phải. Vì s∗ là đồng cấu Amôđun phải nên B(A; M ) = B(A; A) ⊗A M là một giải thức gồm các A-môđun tự
do của M . Tương tự, vì t∗ là đồng cấu A-môđun trái nên B(N ; A) = N ⊗A B(A; A)
là một giải thức gồm các A-môđun tự do của N . Các giải thức này được gọi là giải
thức bar tương ứng của M và N trên A.
Đặt B(N ; M ) = N ⊗A B(A; A) ⊗A M ; B(A) = B(F2 , F2 ); B(A; M ) =

B(F2 ; M ).

17


Ta định nghĩa
H∗ (A; M ) = H(B(F2 ; M )) = TorA (F2 , M );
H∗ (A; N ) = H(B(N ; F2 )) = TorA (N, F2 );

(1.6)

H∗ (N ; M ) = H(B(N ; M )) = TorA (N, M ).
H ∗ (A; M ) = H(HomA (B(A; F2 ), M )) = ExtA (F2 , M );
H ∗ (A; N ) = H(HomA (B(F2 ; A), N )) = ExtA (F2 , N );

(1.7)

H ∗ (N ; M ) = H(HomA (B(N ; F2 ), M )) = ExtA (N, M ).


ν

αν ⊗ λν .

Đặt C(A) = B(A)∗ và C(A; M ) = B(A; M )∗ . Khi đó C(A) là một đại số với
tích cup
{α1 | . . . |αr } ∪ {β1 | . . . |βs } = {α1 | . . . |αr |β1 | . . . |βs }.
18

(1.9)


Với x, y ∈ C(A) thì δ(x ∪ y) = δ(x) ∪ y + x ∪ δ(y). Do đó, (1.9) cảm sinh trên

ExtA (F2 , F2 ) một tích, tích này trùng với tích Yoneda.
C(A; M ) là một C(A)-môđun với ánh xạ cấu trúc

{α1 | . . . |αr } ∪ {β1 | . . . |βs }λ = {α1 | . . . |αr |β1 | . . . |βs }λ.

(1.10)

Tích ken
Cho x = {a1 | . . . |ar }, y = {ar+1 | . . . |ar+s } ∈ B(A). Ta gọi tích ken (shuffle)

của x và y là một phần tử trong B(A), ký hiệu là x ∗ y, xác định bởi
x∗y =

σ




Nếu ta đặt En =

p+q=n Ep,q ,

thì {En } là một môđun phân bậc. Vi phân d

cảm sinh một vi phân d : En → En−1 bậc −1 thông thường, và H({En }, d) là một
môđun phân bậc nhận được từ Hp,q (E) bằng cách đặt Hn (E) =

p+q=n Hp,q (E).

Định nghĩa 1.3.1. Một dãy phổ E là một họ {E r , dr }, với r ≥ 0, sao cho:
(i) E r là một môđun song bậc và dr là vi phân song bậc (−r, r − 1) trên E r ;

(ii) Với mỗi r ≥ 0, tồn tại đẳng cấu H(E r ) ∼
= E r+1 .

Như vậy, với mỗi r, E r và dr xác định E r+1 nhưng không nhất thiết xác định
được dr+1 . Với mỗi r ≥ 0, E r được gọi là trang thứ r của dãy phổ. Trang E 0 được
gọi là trang đầu của dãy phổ.

Định nghĩa 1.3.2. Cho E và E là hai dãy phổ. Một đồng cấu dãy phổ f : E → E
là một họ các đồng cấu

f r : Er → E r
sao cho f r là đồng cấu song bậc (0, 0) và giao hoán với vi phân dr .
Như vậy f r+1 được cảm sinh từ f r qua đồng điều.
Để định nghĩa trang giới hạn của dãy phổ, ta đồng nhất E r+1 với H(E r ), r ≥ 0

= Z(E 1 )p,q /Bp,q
và Bp,q
= B(E 1 )p,q /Bp,q
với mỗi p, q. Rõ ràng B 1 ⊂ Z 1 . Khi

đó ta nhận được

B 0 ⊂ B 1 ⊂ Z 1 ⊂ Z 0.
Bằng quy nạp, ta nhận được dãy các môđun song bậc:
B 0 ⊂ B 1 ⊂ · · · ⊂ B r ⊂ · · · ⊂ Z r ⊂ · · · ⊂ Z 1 ⊂ Z 0,
trong đó E r+1 = Z r /B r .
Ta định nghĩa các môđun song bậc Z ∞ = ∩r Z r , B ∞ = ∪r B r , và E ∞ =

Z ∞ /B ∞ . Môđun song bậc E ∞ được gọi là trang giới hạn của dãy phổ E, và trang
E r được gọi là các xấp xỉ đến E ∞ .
20


Một phần tử được gọi là sống đến trang r nếu nó không tầm thường trong E r ;
một phần tử được gọi là chu trình vĩnh cửu nếu nó nằm trong Z ∞ ; một phần tử được
gọi là sống mãi nếu nó sống đến trang vô cùng.
Một dãy phổ được gọi là hội tụ (converge) nếu với mỗi p, q tồn tại một số nguyên
r
r
r(p, q) ≥ 0 sao cho, với r ≥ r(p, q), dr : Ep,q
→ Ep−r,q+r−1
là tầm thường. Khi đó

r+1
r


bậc thì F phải tương thích với phân bậc. Cho một lọc F trên A, môđun phân bậc
liên kết G(A) được định nghĩa bởi Gp (A) = Fp A/Fp−1 A. Nếu A là một môđun
phân bậc thì môđun phân bậc liên kết G(A) là một môđun song bậc xác định bởi
Gp,q (A) = Fp Ap+q /Fp−1 Ap+q . Trong trường hợp này, p được gọi là bậc lọc, q được
gọi là bậc bổ sung, và p + q được gọi là bậc tổng của một phần tử trong Gp,q (A).
Dãy
· · · ⊂ Fp−1 A ⊂ Fp A ⊂ Fp+1 A ⊂ · · ·
là dãy hợp thành vô hạn của A, và môđun phân bậc liên kết gồm các thương của dãy
hợp thành này.
Lọc F được gọi là hội tụ nếu ∩p Fp A = 0 và ∪p Fp A = A.
Lọc F trên phức dây chuyền C là lọc tương thích với phân bậc và vi phân của C
(nghĩa là Fp C là một phức con của C gồm {Fp Cn }). Lọc trên C cảm sinh lọc trên
H∗ (C) định nghĩa bởi

Fp H∗ (C) = Im[H∗ (Fp C) → H∗ (C)].
21


Vì hàm tử đồng điều giao hoán với giới hạn trực tiếp nên nếu F là lọc hội tụ trên
C thì ∪p Fp H∗ (C) = H∗ (C), tuy nhiên ∩p Fp H∗ (C) không nhất thiết bằng không.
Lọc F trên môđun phân bậc A được gọi là bị chặn dưới nếu với mỗi q tồn tại p
(phụ thuộc vào q) sao cho Fp Aq = 0. Nếu F là lọc bị chặn dưới trên C thì lọc cảm
sinh trên H∗ (C) cũng vậy.
Định lý 1.3.4 ([66]). Cho F là lọc hội tụ và bị chặn dưới trên phức dây chuyền C.
Khi đó, tồn tại một dãy phổ với
1 ∼
Ep,q
= Hp+q (Fp C/Fp−1 C),


∞
Ep∞ =Zp∞ /(Zp−1
+ ∂C ∩ Fp C).
r−1
r−1
r−1
r
Vi phân ∂ ánh xạ Zpr vào Zp−r
và ánh xạ Zp−1
+ ∂Zp+r−1
vào ∂Zp−1
. Do đó, nó

cảm sinh một đồng cấu
r
dr : Epr → Ep−r
.

Khi đó, E r là môđun song bậc và dr là một vi phân với song bậc (−r, r − 1) trên

E r . Với r < 0, dr = 0 và Epr = Fp C/Fp−1 C. Do đó,

0
Ep,q
= Fp Cp+q /Fp−1 Cp+q = Gp,q C

22