Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục hình vẽ, đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 1. Một số vấn đề tổng quan

23

1.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong bán dẫn
siêu mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.1.1. Bán dẫn siêu mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.3.1. Phương pháp phương trình động lượng tử đối với
electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.3.2. Phương pháp phương trình động lượng tử đối với
phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2. Độ rộng vạch phổ của độ dẫn

37
39

2.1. Biểu thức giải tích của độ rộng vạch phổ trong bán dẫn siêu
mạng pha tạp (DSSL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.1. Độ rộng vạch phổ của độ dẫn tuyến tính trong DSSL 39
2.1.2. Độ rộng vạch phổ của độ dẫn phi tuyến trong DSSL

42

2.2. Biểu thức giải tích của độ rộng vạch phổ trong bán dẫn siêu

2.3.

mạng thành phần (CSSL) . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Chương 3. Hiệu ứng tạo phonon trong bán dẫn siêu mạng

59

3.1. Biểu thức giải tích của tốc độ thay đổi và hiệu ứng tạo
phonon trong bán dẫn siêu mạng . . . . . . . . . . . . . .

59

3.1.1. Hệ số gia tăng phonon trong bán dẫn siêu mạng . .

59

2


3.1.2. Trường hợp khí electron không suy biến . . . . . .

61

a) DSSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

b) CSSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.1.3. Trường hợp khí electron suy biến . . . . . . . . . .



4.1. Biểu thức giải tích của trường ngưỡng và hệ số gia tăng phonon 92
4.1.1. Hệ phương trình động lượng tử cho phonon . . . .

92

4.1.2. Phương trình tán sắc chung của phonon . . . . . .

94

4.1.3. Trường ngưỡng và hệ số gia tăng phonon âm . . . .

96

4.1.4. Biểu thức giải tích của trường ngưỡng và hệ số gia
tăng phonon âm trong bán dẫn siêu mạng pha tạp .

100

4.1.5. Biểu thức giải tích của trường ngưỡng và hệ số gia
tăng phonon âm trong bán dẫn siêu mạng thành phần101
4.2. Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.2.1. Trường ngưỡng trong bán dẫn siêu mạng . . . . . .

102

3

mạng pha tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành
phần (hình dưới) phụ thuộc vào nhiệt độ ứng với năng lượng
photon W = 30 meV (đường chấm), W = 60 meV (đường
gạch) và W = 80 meV (đường liền) trong miền nhiệt độ từ
40 K đến 200 K.

2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Độ rộng vạch phổ của độ dẫn tuyến tính trong bán dẫn siêu
mạng pha tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành
phần (hình dưới) phụ thuộc vào nhiệt độ ứng với năng lượng
photon W = 30 meV (đường chấm), W = 60 meV (đường
gạch) và W = 80 meV (đường liền) trong miền nhiệt độ từ
100 K đến 600 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

47

Độ rộng vạch phổ của độ dẫn tuyến tính trong bán dẫn
siêu mạng pha tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng
thành phần (hình dưới) phụ thuộc năng lượng photon ứng
với nhiệt độ T = 80 K (đường chấm), T = 90 K (đường
gạch) và T = 120 K (đường liền). . . . . . . . . . . . . . .

5

phần (hình dưới) phụ thuộc vào nhiệt độ ứng với năng lượng
photon W = 30 meV (đường chấm), W = 60 meV (đường
gạch) và W = 80 meV (đường liền) trong miền nhiệt độ từ
40 K đến 200 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

52

Độ rộng vạch phổ của độ dẫn phi tuyến trong bán dẫn siêu
mạng pha tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành
phần (hình dưới) phụ thuộc vào nhiệt độ ứng với năng lượng
photon W = 30 meV (đường chấm), W = 60 meV (đường
gạch) và W = 80 meV (đường liền) trong miền nhiệt độ từ
100 K đến 600 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

53


2.8

Độ rộng vạch phổ của độ dẫn phi tuyến trong bán dẫn siêu
mạng pha tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành
phần (hình dưới) phụ thuộc năng lượng photon ứng với nhiệt
độ T = 80 K (đường chấm), T = 90 K (đường gạch) và
T = 120 K (đường liền) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

dưới) phụ thuộc tần số trường laser Ω ứng với nhiệt độ 250
K (đường chấm), 300 K (đường gạch) và 350 K (đường liền)
trường hợp khí electron không suy biến. . . . . . . . . . .

7

70


3.2

Hệ số gia tăng phonon âm trong bán dẫn siêu mạng pha tạp
(hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần (hình
dưới) phụ thuộc biên độ trường laser E0 ứng với nhiệt độ
250 K (đường chấm), 300 K (đường gạch) và 350 K (đường
liền) trường hợp khí electron không suy biến. . . . . . . . .

3.3

71

Hệ số gia tăng phonon âm trong bán dẫn siêu mạng pha
tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần
(hình dưới) phụ thuộc vào nhiệt độ T ứng với số sóng q =
0.9 × 107 m−1 (đường chấm), q = 107 m−1 (đường gạch) và
q = 1.1×107 m−1 (đường liền) trường hợp khí electron không
suy biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4


(đường liền) trường hợp khí electron không suy biến. . . .

3.7

75

Hệ số gia tăng phonon quang trong bán dẫn siêu mạng pha
tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần
(hình dưới) phụ thuộc tần số trường laser Ω ứng với nhiệt độ
250 K (đường chấm), 300 K (đường gạch) và 350 K (đường
liền) trường hợp khí electron không suy biến. . . . . . . . .

3.8

76

Hệ số gia tăng phonon quang trong bán dẫn siêu mạng pha
tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần
(hình dưới) phụ thuộc biên độ trường laser E0 ứng với nhiệt
độ 250 K (đường chấm), 300 K (đường gạch) và 350 K
(đường liền) trường hợp khí electron không suy biến. . . .

3.9

77

Hệ số gia tăng phonon quang trong bán dẫn siêu mạng pha
tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần
(hình dưới) phụ thuộc vào nhiệt độ T ứng với số sóng q =
0.9 × 107 m−1 (đường chấm), q = 107 m−1 (đường gạch) và

dưới) phụ thuộc biên độ trường laser E0 ứng với số sóng
phonon 107 m−1 (đường chấm), 1.5 × 107 m−1 (đường gạch) và
2 × 107 m−1 (đường liền) trường hợp khí electron suy biến.

83

3.14 Hệ số gia tăng phonon âm (hình trên) và phonon quang
(hình dưới) trong bán dẫn siêu mạng pha tạp phụ thuộc vào
nồng độ pha tạp nD ứng vớisố sóng phonon 107 m−1 (đường
chấm), 1.5 × 107 m−1 (đường gạch) và 2 × 107 m−1 (đường
liền) trường hợp khí electron suy biến. . . . . . . . . . . .

84

3.15 Hệ số gia tăng phonon âm trong bán dẫn siêu mạng pha tạp
(hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần (hình
dưới) phụ thuộc vào chu kỳ siêu mạng d ứng với số sóng
phonon 107 m−1 (đường chấm), 1.5 × 107 m−1 (đường gạch) và
2 × 107 m−1 (đường liền) trường hợp khí electron suy biến.

10

85


3.16 Hệ số gia tăng phonon quang trong bán dẫn siêu mạng pha
tạp (hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần
(hình dưới) phụ thuộc tần số trường laser Ω ứng với số sóng
phonon 107 m−1 (đường chấm), 1.5 × 107 m−1 (đường gạch) và
2 × 107 m−1 (đường liền) trường hợp khí electron suy biến.


Biên độ trường ngưỡng trong bán dẫn siêu mạng pha tạp
(hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần (hình
dưới) phụ thuộc vào số sóng q ứng với nhiệt độ T = 100
K (đường chấm), T = 200 K (đường gạch) và T = 350 K
(đường liền). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

104


4.3

Biên độ trường ngưỡng trong bán dẫn siêu mạng pha tạp
(hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần (hình
dưới) phụ thuộc vào tần số sóng Ω ứng với nhiệt độ T =
100 K (đường chấm), T = 200 K (đường gạch) và T = 300
K (đường liền). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

106

Hệ số gia tăng phonon âm trong bán dẫn siêu mạng pha tạp
(hình trên) và trong bán dẫn siêu mạng thành phần (hình
dưới) phụ thuộc vào nhiệt độ T ứng với biên độ trường laser
E0 = 5 × 104 V.m−1 (đường chấm), E0 = 105 V.m−1 (đường
gạch) và E0 = 2 × 105 V.m−1 (đường liền). . . . . . . . . .

4.5


110


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Những tiến bộ của vật lý chất rắn trong hai thập kỷ cuối thế kỷ XX
được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu từ tinh thể khối
sang các màng mỏng và các cấu trúc nhiều lớp [15]. Trong các đối tượng
nói trên, hầu hết các tính chất của electron đều bị thay đổi một cách đáng
kể, đặc biệt một số tính chất mới khác biệt so với vật liệu khối (gọi là hiệu
ứng giảm kích thước) xuất hiện [19, 37, 43]. Trong các hệ có cấu trúc nanô
và thấp chiều, các quy luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông
qua việc biến đổi đặc trưng phổ năng lượng. Phổ năng lượng của electron
trở thành gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn, do đó đặc trưng
của hạt dẫn trong các cấu trúc này tương tự như khí electron thấp chiều.
Với sự phát triển cao của kỹ thuật trong nuôi cấy tinh thể như epitaxy
chùm phân tử (MBE) [21] và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV), người
ta tạo ra rất nhiều hệ các cấu trúc nanô. Ngày nay đã có thể tạo ra những
cấu trúc nanô phẳng hai chiều như siêu mạng (superlattic) và giếng lượng
tử (quantum well), cấu trúc một chiều như dây lượng tử (quantum wire)
và cấu trúc không chiều như chấm lượng tử (quantum dots).
Việc nghiên cứu các cấu trúc với khí electron thấp chiều ngày càng
trở thành một mũi nhọn trong vật lý, có liên hệ chặt chẽ với sự phát triển
mạnh mẽ và sâu rộng của các lĩnh vực công nghệ khác. Các công nghệ này
cho phép tạo ra các cấu trúc với thành phần tùy ý và với độ chính xác cao
cho từng lớp đơn phân tử riêng lẻ. Các cấu trúc đó ngày càng được ứng
dụng phổ biến trong các loại linh kiện bán dẫn, đặc biệt để đáp ứng các
nhu cầu trong lĩnh vực quang điện tử [70, 89]. Trong luận án này, tác giả
13

Công nghệ laser cho phép chúng ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới
trong các hệ cấu trúc thấp chiều, trong đó tương tác của chùm laser với các
electron là phi tuyến, chẳng hạn trong hiệu ứng tạo ra phonon, hiệu ứng
cộng hưởng tham số, các kích thích của các dao động cao tần, . . . [38, 72].

14


Các hiệu ứng này đã trở thành các nguyên lý cơ bản của nhiều ứng dụng
của vật lý và kỹ thuật hiện đại, đặc biệt là ứng dụng chế tạo các vật liệu
mới dùng trong kỹ thuật.
Vấn đề đầu tiên được quan tâm nghiên cứu là các hàm dạng phổ.
Nghiên cứu hiệu ứng này cho phép chúng ta thu được các thông tin hữu
ích về cấu trúc và tương tác electron-phonon trong vật liệu. Các hàm độ
rộng vạch phổ và dịch chuyển vạch phổ trong các bán dẫn siêu mạng có
thể được tính toán và so sánh với thực nghiệm.
Hiệu ứng kích thích và tạo ra phonon trong bán dẫn dưới ảnh hưởng
của trường bức xạ laser là chủ đề thứ hai được quan tâm nghiên cứu. Trong
các bán dẫn khối, hiệu ứng này đã được nghiên cứu [7, 8, 18, 29, 36], cả
trường hợp khí electron không suy biến và suy biến, cả các quá trình hấp
thụ một photon và hấp thụ nhiều photon. Ảnh hưởng của từ trường lên
quá trình tạo phonon cũng đã được đề cập. Trong [9, 66], bài toán đã được
giải quyết cho hố lượng tử (hệ khí electron chuẩn hai chiều). Peiji Zhao [66]
đã sử dụng qui tắc vàng của Fermi để nghiên cứu sự gia tăng phonon trong
các hố lượng tử của các vật liệu có cực GaAs. Tất cả những công trình trên
đều chỉ ra rằng trong những điều kiện thích hợp, các phonon trong một số
vùng của vectơ sóng q được kích thích và có thể được tạo ra. Điều này có
nghĩa là mật độ phonon trong vật liệu tăng theo thời gian. Như vậy tương
tác electron-phonon dẫn đến sự tái chuẩn hóa phổ phonon và tạo ra cơ chế
bẩy bắt phonon thông qua thay đổi phổ và trạng thái của electron. Các

được quá trình chuyển mức năng lượng của electron. Một số công trình của
nhóm H. J. Lee [53, 57] đã đưa ra được hình thức luận của độ dẫn tuyến
tính và phi tuyến bậc một, nhưng chỉ dừng lại ở mức tính toán lý thuyết
hoặc nêu lên tính toán số cho hệ electron trong hố lượng tử trong trường

16


hợp tuyến tính. Trong luận án này, tác giả dựa vào lý thuyết chuyển tải
lượng tử, thông qua tenxơ độ dẫn tuyến tính và phi tuyến nghiên cứu độ
rộng vạch phổ của độ dẫn tuyến tính và phi tuyến là một nội dung hoàn
toàn mới mẻ, chưa được tác giả nào đề cập tới. Các kết quả tính toán về
độ rộng vạch phổ trong bán dẫn khối cho thấy: độ rộng vạch phổ tăng khi
nhiệt độ tăng. Chủ đề này muốn tính toán và khảo sát độ rộng vạch phổ
phụ thuộc vào nhiệt độ, tần số phôtôn hấp thụ và các tham số của bán
dẫn siêu mạng.
Về chủ đề thứ hai, nghiên cứu sự gia tăng phonon trong bán dẫn siêu
mạng, các công trình nghiên cứu của các tác giả khác trước đây chủ yếu
chỉ nghiên cứu sự phụ thuộc của phổ vào và nhiệt độ hoặc tần số trường
laser [29, 31, 45, 46, 66, 70, 80]. Trong luận án này tác giả đặc biệt chú
trọng nghiên cứu sự phụ thuộc của phổ phonon vào các tham số của bán
dẫn siêu mạng để từ đó so sánh các hiệu ứng này trong hai loại bán dẫn
siêu mạng điển hình là bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng
thành phần.
Về chủ đề thứ ba, nghiên cứu cộng hưởng tham số giữa phonon âm
và phonon quang, áp dụng phương trình tán sắc tổng quát cho bán dẫn
siêu mạng để từ phương trình này có thể nghiên cứu ảnh hưởng của tham
số siêu mạng cũng như trường cao tần đặt vào siêu mạng lên phổ phonon.
Nhờ đó tìm được trường ngưỡng và điều kiện gia tăng phonon trong các
loại bán dẫn siêu mạng.

phi tuyến bậc nhất, phonon và trường phân cực theo các phương cụ thể,
xác định,...
3. Phương pháp nghiên cứu
18


Trên lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, để nghiên cứu các hiệu ứng kể
trên, theo quan điểm cổ điển ta có thể dựa trên việc giải phương trình
động cổ điển Boltzmann [35, 87]. Theo quan điểm lượng tử, các bài toán
trên có thể được giải quyết nhờ áp dụng nhiều phương pháp khác nhau
như lý thuyết nhiễu loạn [6, 17, 18, 20], bằng phương pháp phương trình
động lượng tử [5], bằng lý thuyết hàm Green [11] hoặc bằng các phương
pháp chiếu toán tử [28]. Vì mỗi phương pháp có những ưu và nhược điểm
riêng, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể được đánh giá
tùy vào từng bài toán cụ thể.
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết trường
lượng tử cho các hệ nhiều hạt trong vật lý thống kê. Hai phương pháp
được dùng chủ yếu trong luận án là phương pháp phương trình động lượng
tử và phương pháp toán tử chiếu. Phương pháp phương trình động lượng
tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố lượng tử tổng quát
của phonon (trung bình của các toán tử sinh hoặc toán tử hủy phonon tại
một thời điểm xác định) trong hình thức luận lượng tử hoá lần thứ hai
để nghiên cứu tốc độ thay đổi mật độ phonon, cộng hưởng tham số giữa
phonon âm và phonon quang khi có mặt sóng điện từ mạnh trong các bán
dẫn siêu mạng. Phương pháp chiếu toán tử để nghiên cứu bài toán về các
hàm dịch chuyển vạch phổ và độ rộng vạch phổ trong các loại bán dẫn siêu
mạng khi có mặt của trường ngoài.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Những kết quả chính của luận án đã góp phần hoàn thiện hơn lý
thuyết hấp thụ sóng điện từ trong các loại bán dẫn siêu mạng, lý thuyết


20


toán về tenxơ độ dẫn và các hàm dạng phổ để sử dụng nó nghiên cứu
hàm độ rộng vạch phổ trong bán dẫn siêu mạng ở chương 2. Trình bày về
phương trình động lượng tử cho phonon và cho electron khi có mặt trường
laser.
Chương 2 nghiên cứu về hàm độ rộng vạch phổ của độ dẫn tuyến tính
và phi tuyến trong bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng thành
phần. Thu được biểu thức giải tích tường minh hàm độ rộng vạch phổ của
độ dẫn tuyến tính và phi tuyến bậc một cho cả hai loại bán dẫn siêu mạng.
Chương 3 nghiên cứu về sự kích thích và tạo ra các phonon trong bán
dẫn siêu mạng. Thu được hệ số gia tăng phonon cho cả hai loại bán dẫn
siêu mạng ứng với cả hai trường hợp khí electron không suy biến và khí
electron suy biến. Dựa vào các biểu thức giải tích này cho phép biện luận
về điều kiện và tính chất gia tăng phonon trong từng trường hợp cụ thể.
Chương 4 nghiên cứu tương tác tham số và biến đổi tham số của hai
loại phonon trong bán dẫn siêu mạng. Thiết lập được phương trình tán sắc
tổng quát. Tính được biểu thức giải tích tường minh của trường ngưỡng
và hệ số gia tăng phonon âm cho cả hai loại bán dẫn siêu mạng.
Các kết quả chính nghiên cứu trong luận án này đã được trình bày
dưới dạng 14 bài báo và báo cáo khoa học trên các tạp chí khoa học chuyên
ngành trong và ngoài nước, tại các hội nghị khoa học trong nước và quốc
tế. Cụ thể là (có phụ lục kèm theo):
- 01 bài đăng trong tạp chí Journal of the Korean Physical Society, Vol.
53, No. 4, October 2008, pp. 1971-1975.
- 01 bài gửi đăng trong tạp chí International Journal of Modern Physics B.
- 02 bài đăng trong Communications in Physics, (2004, 2007).
- 01 bài báo trong Tạp chí Khoa học, Đại học Huế, số 42 (2007).

Vào những năm 1970, người ta [32, 56, 71] đã đề xuất việc tạo ra một
cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau
có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp nhau. Loại cấu trúc như vậy được gọi là
bán dẫn siêu mạng (superlattice). Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán dẫn
siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải

23


chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với với chu kỳ lớn hơn
hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ tuần hoàn đối với electron được tạo nên
bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành
siêu mạng [22, 48, 55].
Siêu mạng gồm các lớp bán dẫn mỏng A có bề dày dA nằm xen kẽ
giữa các lớp bán dẫn B có bề dày là dB . Ta chọn hướng vuông góc với các
lớp bán dẫn là trục 0z và gọi là trục siêu mạng. Khoảng cách d = dA + dB
được gọi là chu kỳ của siêu mạng.
Cấu trúc như vậy tạo thành các hố lượng tử đa lớp (multiple quantum
well). Bán dẫn siêu mạng và các hố lượng tử đa lớp là tương đương nhau
về mặt cấu trúc nhưng khác nhau cơ bản ở một điểm là trong các hố lượng
tử đa lớp thì khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ lớn để ngăn cản không
cho electron xuyên theo hiệu ứng đường ngầm từ hố này sang hố khác, còn
trong siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên qua
các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế
tuần hoàn bổ sung vào thế của mạng tinh thể.
Dựa vào cấu trúc của các lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn
siêu mạng thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng
thành phần.
1.1.2.



(1.2)

j=1

εn = ωp n +

ở đây ψn (z) và εn là hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong một
hố lượng tử biệt lập phụ thuộc vào chỉ số lượng tử hóa n, s0 là số chu kỳ
của siêu mạng, ωp = 2e

πnD
χ0 m

là tần số plasma gây bởi các tạp chất donor

với nồng độ pha tạp nD , χ0 là hằng số điện, e và m tương ứng là điện tích
và khối lượng hiệu dụng của electron.
Như vậy, hàm sóng của electron trong mini vùng n là tổ hợp của hàm
sóng theo mặt phẳng (x, y) (có dạng sóng phẳng) và theo phương của trục
siêu mạng (có dạng hàm Block) [40]
s0

ϕn,k (r) = e

ik⊥ r⊥

un (r)

eikz jz ψn (z − jd),