Trần Só Tùng Tích phân
Trang 81
Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT

Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một
trong các phương pháp cơ bản sau:
1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản
2. Phương pháp phân tích
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần.

1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm
cơ bản
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các
dạng nguyên hàm cơ bản đã biết.
Ví dụ 1: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
xx
dx
I
ee
-
=
-
ò
b/
xx
xx
2.e

33
Jdxdx.lnC
44
2
444
lnln
111
33
333
éù
ỉư
ỉưỉư
-
êú
ç÷
ç÷ç÷
èø
èøëûèø
===+
ỉưỉưỉư
--+
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
òòxx
xx
143
.lnC.

1.
1e1e1e
-+
==+
---

Suy ra:
xx
x
xx
ed(1e)
I1dxdxxln1eC.
1e1e
ỉư
-
=+=-=--+
ç÷
--
èø
òòò

3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ
đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên
trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các
chú ý trong vấn đề 4.
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh :

2t12
t1
1e1
-+
==+=+
+
-
++
ò

· Cách 2: Đặt: t = e
x

Suy ra:
x
x
dx
dtedxdt,
e
-
=-Û-=
2x2x2xx2x2
dxdxdxdt
.
1ee(e1)ee1t1
--
-
===
++++


dtedx2dt,
2 e
-
=Û-=
x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1
21dt
1tt1eee(1e)e(1e)
-
--
-
ỉư
====+
ç÷
-----
èø

Khi đó:
x/2x/2
1
I21dt2(elne1C.
t1
--
ỉư
=+=+++
ç÷
-
èø
ò

Khi đó ta đặt:
x
uP(x)
dvedx
a
=
ì
í
=
ỵVí dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2x
f(x)(tgxtgx1)e.=++
Giải:
Ta có:
2x2xx
F(x)(tgxtgx1)e(tgx1)eetgxdx.=++=++
òòò
(1)
Xét tích phân
x
Jetgxdx.=
Đặt:
2
2
x
x
dx

dx
I
1e
=
+
ò

Giải:
Ta có:
xx
2xx2x2x2x
dxdxedxd(e)
1eee1e1e1
--
---
===-
++++
(1)
Khi đó:
x
x2x
x
d(e)
Iln(ee1)C
e1
-
--
-
==-+++
+

ç÷
èø
===-=-+++
+
++
òòòx2x
ln(ee1)C.
--
=-+++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 84
Đương nhiên cũng có thể đặt t = e
–x
ta sẽ thu được lời giải giống như trên, xong sẽ
thật khó giải thích với các em học sinh câu trả lời “Tại sao lại nghó ra cách đặt ẩn phụ
như vậy?”
Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa
về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau:
– Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt t = e
x

Suy ra:
xx2xx22
dtedx&ee2e2dxt2t2dt(t1)1dt=-+=-+=-+
Khi đó:
2


Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số :
x
xx
e
f(x)
ee
-
=
+

Giải:
Chọn hàm số phụ:
x
xx
e
g(x)
ee
-
-
=
+

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

xx
xx
ee
f(x)g(x)
ee

-
+
+==Þ+==+
+
ò

Ta được:
xx
xx
1
2
F(x)G(x)lneeC
1
F(x)(lneex)C.
2
F(x)G(x)xC
-
-
ì
+=++
ï
Þ=+++
í
-=+
ï
ỵBÀI TẬP
Bài 35. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

xlnx
h/
2
x
x.e.

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 85
ĐS: a/
xx
2.e
C;
1ln2
+
+
b/
x
x
e
lnC;
1e
+
+
c/
x
x
xe
lnC;
1xe
+

3x23x
(1e).e;+ c/
2x
4x
e
;
e1+
d/
x
1
;
1e+
e/
2x
4x
e
e1+

f/
x
1
.e;
x
g/
cosx
sinx
;
e
h/
xx

e/
t1
2tlnC,vớit1lnx;
t1
-
++=+
+

f/
x
2eC;+ g/
x
eC;
-
+ h/
x
x
3e
lnC.
3e1
+
+

Bài 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
23x
xe; b/
2x
e.cos3x; c/
x

1333
lnxlnxlnxC;
2242x
ỉư
-++++
ç÷
èø

e/
n1n1
2
xx
lnxC;
n1 (n1)
++
-+
+ +

Bài 38. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
2
xe
;
(x2)+
b/
x
(1sinx)e
1cosx
+

x2
.eC;
x2
-
-+
+
b/
x
esinx
C;
1cosx
+
+
c/
x3x2x
e(ee)C;++
d/
2
11x
lnC;
41x
+
ỉư
+
ç÷
-
èø
e/
22
xln(xx1)x1C;+---+