ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THẾ NAM

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƯỢC GIẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC
PHẲNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2012

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THẾ NAM
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƯỢC GIẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC
PHẲNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH: VŨ ĐÌNH HOÀ


1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo………..13
1.1.3.1. Tư duy sáng tạo……………………………………………………….13
1.1.3.2. Thành phần của tư duy sáng tạo…………………………………….....14
1.2. Dạy học giải bài tập ở trƣờng phổ thông………………………………...16
1.2.1. Vai trò của việc giải bài tập toán…….......................................................16
1.2.2. Phương pháp giải bài tập
toán….......................................................….18
1.3. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông..23
KẾT LUẬN CHƢƠNG I………........................................................................24
CHƢƠNG 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƢỢC GIẢI BẰNG
PHƢƠNG PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG NHẰM PHÁT
TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH……..................26
2.1. Các định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng THPT
qua nội dung giải bài tập bằng vectơ và tọa độ trong hình học phẳng.........26

4


2.1.1. Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng
tạo….............................................................................................................….26
2.1.2. Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua giải các bài tập
toán……...............................................................................................................31
2.1.3. Khuyến khích tìm nhiều lời giải cho một bài toán…........................….34
2.1.4. Sáng tạo bài toán mới……......................................................................38
2.1.5. Hướng việc bồi dưỡng năng lực giải toán vào các phương pháp tiêu biểu để
giải toán hình học phẳng bằng vectơ và tọa độ……..........................................42
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ,
tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.47
2.2.1. Một số vấn đề về xây dựng hệ thống bài tập vectơ và tọa độ trong hình học

1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay ở Việt Nam, cũng nhƣ ở nhiều nƣớc trên thế giới, giáo dục
đƣợc coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với
nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con ngƣời phát
triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng
đƣợc kiến thức trong tình huống công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện
và phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh ở các trƣờng phổ thông của những
ngƣời làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con ngƣời Việt Nam phát
triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung
thành với lý tƣởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi
dƣỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật giáo dục 1998, Chƣơng I, điều 2).
Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phƣơng pháp
giảng dạy chƣơng trình phổ thông, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học
tập của học sinh, để học sinh đáp ứng đƣợc yêu cầu của xã hội, đặc biệt là
trong xu thế hội nhập toàn cầu, cũng là nhằm đáp ứng đƣợc yêu cầu đó.
Theo điều 28 Luật Giáo dục: " Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với
đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Để làm đƣợc điều này, với lƣợng kiến thức và thời gian đƣợc phân phối
cho môn toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phƣơng pháp giảng dạy
phù hợp thì mới có thể truyền tải đƣợc tối đa kiến thức cho học sinh, mới phát
huy đƣợc tƣ duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học
mà còn áp dụng đƣợc kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp
bậc học cao hơn sau này.
6


7


Thực tế giảng dạy áp dụng vectơ và tọa độ để giải toán ở phổ thông
hiện nay đa số còn rất sơ sài, chƣa có hệ thống các bài toán áp dụng. Sách
giáo khoa, với lý do sƣ phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học
sinh cũng chƣa thực sự nắm đƣợc nhiều ứng dụng của phƣơng pháp này.
Dạng bài tập ứng dụng vectơ và tọa độ ở THPT đòi hỏi học sinh phải
có năng lực nhất nhất định, phải có khả năng tƣ duy trừu tƣợng và khái quát
tốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo. Do đó, dạy học chủ đề này có
tác dụng lớn trong việc bồi dƣỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
thông qua các thao tác tƣ duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hóa
đƣợc kiến thức hình học cơ bản, tăng cƣờng năng lực giải toán.
Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dƣỡng, phát triển năng lực trí
tuệ học sinh bậc THPT, đề tài đƣợc chọn là: "Xây dựng hệ thống bài tập theo
các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ, tọa độ trong hình học phẳng
nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh"
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo toán học ở
đối tƣợng học sinh phổ thông.
- Trên cơ sở lý thuyết vectơ, tọa độ trên mặt phẳng trong chƣơng trình
THPT, cùng với các kiến thức hình học tổng hợp khác, xây dựng một hệ
thống phân loại các dạng bài tập ứng dụng phƣơng pháp vectơ và tọa độ trong
hình học phẳng, góp phần phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tƣ duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và
phát triển loại hình tƣ duy này ở bậc THPT.
- Đƣa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hƣớng dẫn học sinh khai thác
và phát triển các bài toán đó theo hƣớng sáng tạo.
- Đƣa ra một số biện pháp sƣ phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.

- Thống kê số liệu trƣớc và sau thực nghiệm, giữa lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng.
- Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của giáo viên trực tiếp giảng dạy để điều
chỉnh luận văn cho phù hợp thực tiễn dạy và học vectơ, tọa độ ở bậc THPT.
9


5.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực nghiệm ở một số cơ sở rồi đối chứng với giả thuyết khoa học đã
đề ra để điều chỉnh mức độ khả thi của luận văn.
6. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của tƣ duy sáng tạo, áp
dụng vào dạy nội dung toán hình học vectơ và tọa độ ở lớp 10 THPT. Từ đó
phân loại và phát triển hệ thống bài tập có thể dùng phƣơng pháp vectơ, tọa
độ phẳng để giải.
Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận phát triển tƣ duy sáng tạo toán học,
gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn.
- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán
THPT thuộc trƣờng : THPT Đoàn Thƣợng, Huyện Gia Lộc, Tỉnh Hải Dƣơng.
- Kiểm nghiệm và đối chứng 6 lớp.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, danh mục tài liệu tham
khảo luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề đƣợc giải bằng
phƣơng pháp vectơ, tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tƣ duy sáng
tạo cho học sinh.
Chƣơng 3: Biện pháp sƣ phạm và thực nghiệm sƣ phạm
* Kết luận
* Tài liệu tham khảo

biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu..., ký hiệu, công thức, mô hình.
Tƣ duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tƣợng.

11


Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Tƣ duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Ngƣời ta dựa vào tƣ
duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
1.1.1.2. Quá trình tư duy
Tƣ duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bƣớc cơ bản:
- Xác định đƣợc vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tƣ duy. Nói cách
khác là tìm đƣợc câu hỏi cần giải đáp.
- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tƣởng, hình thành giả thiết
về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giải thiết không đúng thì qua
bƣớc sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
- Quyết định đánh giá kết quả, đƣa ra sử dụng.
1.1.1.3 Các hình thức cơ bản của tư duy
- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tƣ duy phản ánh một lớp đối tƣợng
và do đó nó có thể đƣợc xem xét theo hai phƣơng diện: Ngoại diên và nội
hàm. Bản thân lớp đối tƣợng xác định khái niệm đƣợc gọi là ngoại diên, còn
toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tƣợng này đƣợc gọi là nội hàm của
lớp đối tƣợng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy
luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngƣợc lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì
khái niệm A đƣợc gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B
đƣợc gọi là một khái niệm loại của A.


thức và thu gọn ta đƣợc: a.b  0  | a | .| b | .cos(a,b)  0  cos(a,b)  0 .
- Suy luận: Suy luận là một quá trình tƣ duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi
là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những
quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp. Suy diễn
đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung.
Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngƣợc lại
suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
Ví dụ. Định lý côsin ở lớp 10: " Trong mọi tam giác ta có bình phương một
cạnh tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ hai lần tích của chúng
với côsin góc xen giữa".
Ta có thể suy luận qua một số trƣờng hợp đặc biệt để kiểm chứng điều
đó, chẳng hạn hệ thức: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA.
- Nếu ABC vuông tại A thì cosA = 0  a2 = b2 + c2 đúng (Định lý
Pitago).
- Nếu ABC đều thì a = b = c, cosA = 1/2  Đẳng thức đúng.
13


- Nếu ABC cân tại B  b = 2a.cosA  Đẳng thức đúng.
Vậy có thể kết luận là đẳng thức đúng cho ABC. Đó là phép quy
nạp không hoàn toàn. Bằng suy luận, ta chứng minh nhƣ sau:
 2  
 2  2
 
Ta có: BC  (AC  AB)2  AC  AB  2AB.AC
 a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA.
Với hai đẳng thức còn lại tƣơng tự. Ta có điều phải chứng minh.
1.1.1.4. Các thao tác tư duy

ta cũng có: S2(ABC) = S2(SAB) + S2(SBC) + S2(SCA) ,

1
1 1 1
= 2 + 2 + 2 ,...
2
h
a b c

* Khái quát hóa- đặc biệt hóa: Khái quát hóa là thao tác tƣ duy nhằm hợp
nhất nhiều đối trƣợng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc
tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung
bản chất.
Theo G.S Nguyễn Bá Kim: " Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp
đối tƣợng sang một tập hợp đối tƣợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng
cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát".
[6,tr.51].
Nhƣ vậy có thể hiểu khái quát hóa là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát
hơn. Trong toán học, ngƣời ta thƣờng khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố
của khái niệm, định lý, bài toán...thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hóa là thao tác tƣ duy ngƣợc lại với khái quát hóa.
Ví dụ: Xét các bài toán sau:
Bài 1. Cho 2 điểm A, B phân biệt và 2 số thực ,  thoả mãn +  0 thì:

 
Tồn tại duy nhất một điểm I sao cho: a IA + b IB = 0 và với M ta có:




chính xác, năng lực định giá, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán.
Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tƣ duy sáng tạo:
Bài toán. Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A = (0,4) và hai đƣờng tròn (I),
(J) đi qua A, với I = (-2,0), J = (4,0). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng () qua
A, cắt (I) tại M, cắt (J) tại N sao cho AM = AN.
Đây là một bài toán trong hình học lớp 10. Thông thƣờng nếu xét
đƣờng thẳng () qua A, cho cắt (I) và (J) tại M, N rồi cho AM = AN thì bài
toán trở lên rất khó khăn và phức tạp. Vì nhƣ vậy ta phải xét trƣờng hợp
đƣờng thẳng () trong 2 trƣờng hợp có hệ số góc và không có hệ số góc, rồi tìm
giao điểm M, N với (I) và (J) rất phức tạp. Tuy vậy, nhờ mềm dẻo trong trong
duy, ta có thể giải quyết gọn gàng hơn nhiều, nhờ tính chất của đƣờng tròn.
Sau đây là một số lời giải thể hiện đƣợc các thành phần của tƣ duy sáng tạo:
Cách 1: Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN, theo tính chất của dây cung
 IPAM và JQAN và A cũng là trung điểm của PQ.
Ta có hình thang vuông IPQJ, đƣờng trung bình của hình thang này qua
N

A và cắt IJ tại trung điểm T = (1,0).

Q

A

Vậy () là đƣờng thẳng qua A và có

vectơ pháp tuyến AT = (1,-4).

P
M
I

=
2.4
0
=
8
 I'
A
I
 (I'): (x - 2)2 + (y - 8)2 = 20. Lấy (J) trừ (I') có phƣơng trình trục
đẳng phƣơng () của chúng là: (): x - 4y + 16 = 0.
Nhƣ vậy dựa vào tính chất đối xứng, ta dùng kiến thức trục đẳng
phƣơng của hai đƣờng tròn, thể hiện tính chất nhuần nhuyễn của tƣ duy.
Cách 3: Nếu gọi M = (xM,yM)(I) thì ta có: (xM + 2)2 + y 2M = 20 (1)

 x = 2xA - xM = 2.0 - xM = -xM
Do A trung điểm MN nên  N
 yN = 2y A - yM = 2.4 - yM = 8 - yM
Vì N(J) nên: (- xM - 4)2 + (8 - yM)2 = 32 (2).
Lấy (1)-(2) ta có: xM - 4yM + 16 = 0.
Vậy phƣơng trình () là: x - 4y + 16 = 0.
Cách này chỉ dùng đến công thức trung điểm của đoạn thẳng, thể hiện
đƣợc tính độc đáo của tƣ duy.
Qua cách giải bài toán trên ta thấy, nếu sử dụng thành thạo các kiến
thức về vectơ và tọa độ trong chƣơng trình có thể giải quyết đƣợc nhiều bài
toán hay và độc đáo. Với lối suy nghĩ nhƣ vậy, ta có thể giải quyết nhiều bài
toán vectơ và tọa độ bằng cách kết hợp chúng với tính chất của hình học.
Những bài toán nhƣ vậy, ta sẽ gặp trong những phần sau.
1.2. Dạy học giải bài tập ở trƣờng phổ thông
1.2.1. Vai trò của việc giải bài tập toán
- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm

học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
* Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tƣ duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ.

22


* Hình thành, bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng nhƣ
những phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
+ Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phƣơng tiện để cài đặt nội
dung dƣới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã
học ở phần lý thuyết.
+ Về mặt phƣơng pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để
học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức tốt
cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ
động sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra.... Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phƣơng tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,
khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tƣ duy của học sinh, cũng
nhƣ hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
1.2.2. Phương pháp giải bài tập toán
Theo G. Pôlya, phƣơng pháp chung giải một bài toán gồm 4 bƣớc: Tìm
hiểu nội dung của bài toán, xây dựng chƣơng trình giải, thực hiện chƣơng
trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cụ thể:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn đƣợc điều kiện hay
không? Điều kiện có đủ để xác định đƣợc ẩn hay không, hay chƣa đủ, hay

ẩn và các dữ kiện mới đƣợc gần nhau hơn không?
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chƣa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện
hay chƣa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chƣa?
Qua các phần dẫn dắt của bƣớc 2, ta thấy rằng tƣ duy sáng tạo đã đƣợc
thể hiện ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan,
hay tổng quát hơn...chính là sự thể hiện tƣ duy sáng tạo.
Bước 3: Thực hiện chƣơng trình giải

24


Hãy kiểm tra lại từng bƣớc. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bƣớc đều đúng
chƣa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?
Qua bƣớc này ta thấy việc thực hiện đƣợc chƣơng trình giải và chứng
minh đƣợc là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tƣ duy sáng
tạo đã đƣợc thể hiện đầy đủ.
Bước 4: Trở lại cách giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra)
- Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình
giải bài toán không?
- Có tìm ra đƣợc kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực
tiếp kết quả không?
- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phƣơng pháp đó cho mọi bài toán nào
khác không?
Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung của
lôgic hình thức một cách có ý thức, xem nhƣ vốn thƣờng trực quan trọng để
làm việc với toán học cũng nhƣ để sử dụng trong quá trình học tập liên tục,
thƣờng xuyên. Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có
phần nhìn lại phƣơng pháp đã sử dụng để giải. Dần dần những hiểu biết về
lôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh.
Rất nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô


AC BC
AB CB
Và đến đây ta đã có một lời giải.

N

B

M

C

3.Thực hiện chương trình giải:
Hình 1.2
  
Ta có: AM  AN  NM . Kẻ MN//AC, dùng phân tích vectơ và định lý

  AN  MC 
AN  AB AB  BC AB
Talet ta đƣợc: 
. Cộng lại có điều phải chứng minh.
 NM  MB 
 NM 
AC 
AC

AC
BC
4. Kiểm tra tính dúng đắn và nghiên cứu sâu lời giải:

AC

CM
MB.AM

MB.AC

MB.CM









Cộng lại có: (MC  MB).AM  MC.AB  MB.AC  (MC.BM  MB.CM)

 MC  MB 



 BC.AM  MC.AB  MB.AC  AM 
AB 
AC .
BC
BC
- Sử dụng các thao tác tƣ duy:
a) Bài toán tương tự: Cho tứ giác ABCD. Các điểm M,N lần lƣợt thuộc các