ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang 1

XC SUT V THNG Kấ
(i hc v Cao ủng)
Ti liu tham kho:
1. Giỏo trỡnh Xỏc sut Thng kờ v ng dng Nguyn Phỳ Vinh NXB Thng kờ.
2. Ngõn hng cõu hi Xỏc sut Thng kờ v ng dng HCN TP.HCM.
3. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc.
4. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ toỏn Nguyn Thanh Sn, Lờ Khỏnh Lun NXBTKờ.
5. Xỏc sut Thng kờ Lý thuyt v cỏc bi tp u Th Cp NXB Giỏo dc.
6. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc.
7. Xỏc sut Thng kờ v ng dng Lờ S ng NXB Giỏo dc.
8. Xỏc sut v Thng kờ ng Hn NXB Giỏo dc.
9. Giỏo trỡnh Xỏc sut v Thng kờ Phm Xuõn Kiu NXB Giỏo dc.
10. Giỏo trỡnh Lý thuyt Xỏc sut & Thng kờ ToỏnNguyn Cao VnNXB Kt Quc dõn. PHN I. Lí THUYT XC SUT

B TC I S T HP
1. Tớnh cht cỏc phộp toỏn

,


a) Tớnh giao hoỏn:
A B B A=
,
A B B A=

.n
2
n
k
cỏch thc hin
ton b cụng vic.

3. Quy tc cng
Gi s mt cụng vic cú th thc hin ủc k cỏch
(trng hp) loi tr ln nhau: cỏch th nht cho m
1
kt
qu, cỏch th hai cho m
2
kt qu, , cỏch th k cho m
k

kt qu. Khi ủú vic thc hin cụng vic trờn cho
m = m
1
+ m
2
+ + m
k
kt qu.
4. Mu lp, mu khụng lp 5.3. Chnh hp (mu khụng lp, cú th t)
nh ngha: Chnh hp chp k ca n phn t
(k n)
l
mt nhúm (b) cú th t gm phn k t khỏc nhau chn
t n phn t ủó cho. S chnh hp chp k ca n phn t
ký hiu l
k
n
A
.
k
n
n!
A n(n 1)...(n k 1)
(n k)!
= + =

.

5.4. T hp (mu khụng lp, khụng cú th t)
nh ngha: T hp chp k ca n phn t
(k n)
l
mt nhúm (b) khụng phõn bit th t gm k phn t
khỏc nhau chn t n phn t ủó cho.
S t hp chp k ca n phn t ký hiu l


ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang 2
Chng 1. CC KHI NIM C BN CA XC SUT

Đ1. BIN C NGU NHIấN
1.1. Phộp th v bin c
Phộp th l vic thc hin 1 thớ nghim hay quan sỏt
mt hin tng no ủú ủ xem cú xy ra hay khụng.
Hin tng cú xy ra hay khụng trong phộp th ủc gi
l bin c ngu nhiờn.
Bin c ngu nhiờn thng ủc ký hiu A, B, C
VD 1. + Tung ủng tin lờn l mt phộp th, bin c l
mt sp xut hin hay mt nga xut hin.
+ Chn ngu nhiờn mt s sn phm t mt lụ hng ủ
kim tra l phộp th, bin c l chn ủc sn phm
tt hay chn ủc ph phm.
+ Gieo mt s ht lỳa l phộp th, bin c l ht lỳa ny
mm hay ht lỳa khụng ny mm.

1.2. Cỏc loi bin c
a) Khụng gian mu v bin c s cp
Trong mt phộp th, tp hp tt c cỏc kt qu cú th
xy ra ủc gi l khụng gian mu ký hiu l

.
Mi phn t

khụng th phõn nh thnh hai bin

T mt nhúm cú 6 nam v 4 n chn ra 5 ngi.
Khi ủú, bin c chn ủc 5 ngi n l khụng th,
bin c chn ủc ớt nht 1 nam l chc chn.

c) S trng hp ủng kh nng
Hai hay nhiu bin c trong mt phộp th cú kh nng
xy ra nh nhau ủc gi l ủng kh nng.
Trong mt phộp th m mi bin c s cp ủu ủng
kh nng thỡ s phn t ca khụng gian mu ủc gi
l s trng hp ủng kh nng ca phộp th.
VD 4.
Gi ngu nhiờn mt hc sinh trong lp ủ kim tra thỡ
mi hc sinh trong lp ủu cú kh nng b gi nh nhau.
d) Cỏc phộp toỏn
Tng ca A v B l C, ký hiu
C A B=
hay
C = A + B, xy ra khi ớt nht 1 trong hai bin c A, B
xy ra.
VD 5. Bn hai viờn ủn vo 1 tm bia. Gi A
1
: viờn th
nht trỳng bia, A
2
: viờn th hai trỳng bia v
C: bia b trỳng ủn thỡ
1 2
C A A
=


Phn bự ca A, ký hiu:
{ }
A \ A A
= =
.
VD 8.
Bn ln lt 2 viờn ủn vo 1 tm bia.
Gi A
i
: cú i viờn ủn trỳng bia (i = 0, 1, 2),
B: cú khụng quỏ 1 viờn ủn trỳng bia.
Khi ủú
2
B A=
,
0 2
A A
v
1 2
A A
.
1.3. Quan h gia cỏc bin c
a) Bin c xung khc
Hai bin c v B ủc gi l xung khc nu chỳng
khụng ủng thi xy ra trong mt phộp th.

H cỏc bin c A
1
, A
2

.
2) Phi cú ớt nht 1 bin c trong h xy ra,
ngha l
1 2 n
A A ... A =
.
VD 11.
H {A, B, C} trong VD 9 l ủy ủ.
Chỳ ý. H
{ }
A, A
l ủy ủ vi bin c A tựy ý.

ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK

Trang 3
§2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1. ðịnh nghĩa xác suất dạng cổ điển
• Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả
năng, trong đó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A
xuất hiện thì xác suất của A là:
m
P(A)
n
= =
Số biến cố thuận lợi cho A
Số tất cả các biến cố có thể
.
VD 1. Một hộp chứa 10 sản phẩm trong đó có 3 phế

Ω
là độ dài, diện tích, thể
tích (ứng với
Ω
là đường cong, miền phẳng, khối).
Gọi A là biến cố điểm
M S∈ ⊂ Ω
.
Ta có
P(A) =
Ω
độ đo S
độ đo
.
VD 6. Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội
tiếp tam giác đều cạnh 2 cm.

VD 7. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm theo
quy ước như sau:
– Mỗi người độc lập đi đến điểm hẹn trong khoảng từ 7
đến 8 giờ.
– Mỗi người đến điểm hẹn nếu khơng gặp người kia thì
đợi 30 phút hoặc đến 8 giờ thì khơng đợi nữa.
Tìm xác suất để hai người gặp nhau.
2.4. Tính chất của xác suất
1)
0 P(A) 1≤ ≤
, với mọi biến cố A;
2)
P( ) 0∅ =

i i i j
i 1 i 1 i j
n 1
i j k 1 2 n
i j k
P A P(A ) P(A A )
P(A A A )+...+( 1) P(A A ...A )
= = <
−
< <
 




= −






 
+ −
∑ ∑
∑
∪
.

c) Biến cố đối lập

biến cố khác.
• Tính chất: 1)
( )
0 P A B 1≤ ≤
;
2)
( )
P B B 1=
; 3)
( )
( )
P A B 1 P A B= −
;

4) nếu A
1
và A
2
xung khắc thì:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
P A A B P A B P A B= +∪
.
VD 3. Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng.
Người thứ nhất đã bốc 1 vé khơng trúng thưởng. Tính
xác suất để người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng (mỗi
người chỉ bốc 1 vé).
b) Cơng thức nhân
• A và B là 2 biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay khơng
cũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược

2, 3 v 4 ln lt l 90%, 80%, 85% v 70%.
Tớnh xỏc sut cu th nộm ủc búng vo r.

3.3. Cụng thc xỏc sut ủy ủ v Bayes.
a) Cụng thc xỏc sut ủy ủ
Cho h cỏc bin c {A
i
} (i = 1, 2,, n) ủy ủ v B l
bin c bt k trong phộp th, ta cú:
( )
( ) ( )
n
i i
i 1
1 1 n n
P(B) P(A ) B A
P(A )P B A ... P(A )P B A
=
=
= + +

.

VD 7. Mt ủỏm ủụng cú s ủn ụng bng na s ủn b.
Xỏc sut ủ ủn ụng b bnh tim l 0,06 v ủn b l
0,0036. Chn ngu nhiờn 1 ngi t ủỏm ủụng, tớnh xỏc
sut ủ ngi ny b bnh tim. b) Cụng thc Bayes

nng 50kg cha 1,5% ht lộp. Trn c 3 bao li ri bc
ngu nhiờn 1 ht thỡ ủc ht lộp.
Tớnh xỏc sut ủ ht lộp ny l ca bao th ba.

VD 10. Ba kin hng ủu cú 20 sn phm vi s sn
phm tt tng ng l 12, 15, 18. Ly ngu nhiờn 1 kin
hng (gi s 3 kin hng cú cựng kh nng) ri t kin
ủú ly tựy ý ra 1 sn phm.
a) Tớnh xỏc sut ủ sn phm chn ra l tt.
b) Gi s sn phm chn ra l tt, tớnh xỏc sut ủ sn
phm ủú thuc kin hng th hai. Chng II. BIN (I LNG) NGU NHIấN

Đ1. BIN NGU NHIấN V LUT PHN PHI XC SUT
1.1. Khỏi nim v phõn loi bin ngu nhiờn
a) Khỏi nim
Mt bin s ủc gi l ngu nhiờn nu trong kt qu
ca phộp th nú s nhn mt v ch mt trong cỏc giỏ
tr cú th cú ca nú tựy thuc vo s tỏc ủng ca cỏc
nhõn t ngu nhiờn.
Cỏc bin ngu nhiờn ủc ký hiu: X, Y, Z, cũn cỏc
giỏ tr ca chỳng l x, y, z,
VD 1.
Khi tin hnh gieo n ht ủu ta cha th bit cú bao
nhiờu ht s ny mm, s ht ny mm cú th l 0, 1, ,
n. Kt thỳc phộp th gieo ht thỡ ta bit chc chn cú bao
nhiờu ht ny mm. Gi X l s ht ny mm thỡ l X
bin ngu nhiờn v X = {0, 1, 2, , n}.

p P(X x )= =
.
Ta cú phõn phi xỏc sut (dng bng)
X x
1
x
2
x
n
P p
1
p
2
p
n Trong ủú:

i
p 0
;
n
i
i 1
p 1
=
=

;
VD 5. Xỏc sut ủ 1 ngi thi ủt mi khi thi ly bng
lỏi xe l 0,3. Ngi ủú thi cho ủn khi ủt mi thụi.
Gi X l s ln ngi ủú d thi.
Tỡm phõn phi xỏc sut ca X v tớnh xỏc sut ủ ngi
ủú phi thi khụng ớt hn 2 ln.
b) Trng hp liờn tc
Cho bin ngu nhiờn liờn tc X. Hm f(x),
x

ủc gi l hm mt ủ xỏc sut ca X nu tha:
1)
f(x) 0, x
; 2)
f(x)dx 1
+

=

;
3)
b
a
P(a X b) f(x)dx< < =

(a < b).

Chỳ ý
1) Nhiu khi ngi ta dựng ký hiu f



thỡ f(x) l hm mt ủ xỏc sut ca 1 bnn no ủú.
VD 6. Chng t
3
4x , x (0; 1)
f(x)
0, x (0; 1)


=



l hm mt ủ
xỏc sut ca bin ngu nhiờn X.
VD 7. Cho bnn X cú hm mt ủ xỏc sut:
2
0, x 1
f(x)
k
, x 1
x
<


=





.
Vi bin ngu nhiờn liờn tc X:
x
F(x) f(t)dt

=

. Gi s
1 2 n
x x ... x< < <
, ta cú hm phõn phi xỏc
sut ca X:

1
1 1 2
1 2 2 3
1 2 n 1 n 1
0 x x
p x x x
p p x x x
F(x)
...........................................................
p p ... p x x x


<



neỏu
Tớnh cht:
1)
0 F(x) 1, x
;
2) F(x) khụng gim.
3)
F( ) 0; F( ) 1 = + =
;
4)
P(a X b) F(b) F(a) < =
.
Liờn h vi phõn phi xỏc sut
1) X ri rc: p
i
= F(x
i+1
) F(x
i
);
2) X liờn tc: F(x) liờn tc ti x v F (x) f(x)

= .
VD 8. Mt phõn xng cú 2 mỏy hot ủng ủc lp.
Xỏc sut trong 1 ngy lm vic cỏc mỏy ủú hng tng








=








.
Tỡm a v hm phõn phi xỏc sut F(x). VD 11.
Thi gian ch phc v ca khỏch hng l bnn
X(phỳt) liờn tc cú hm ppxs
4

nhiu bnn khỏc ủó bit lut phõn phi.

Bi toỏn. Cho hm
(x)
v bnn ri rc X cú phõn phi
xỏc sut cho trc. Tỡm phõn phi xỏc sut ca
(x)
.
a) Trng hp 1 bin
VD 12. Lp bng phõn phi xỏc sut ca
2
Y (X) X 2= = +
, bit:
X 1 0 1 2
P 0,1 0,3 0,4 0,2 b) Trng hp nhiu bin
VD 13. Cho bng:
Y
X

1

0

1
1 0,1 0,15 0,05
2 0,3 0,2 0,2


Y
X
y
1
y
2
y
j
y
n
P
X
x
1

x
2

.
x
i

.
x
m

p
11
p
12


p
1
p
2
...
p
i

p
m

P
Y
q
1
q
2
q
j
q
n
1
P
ij
= P(X = x
i
, Y = y
j
) (i = 1,,m; j = 1,,n) l xỏc sut

1
p
2
p
i
p
m

n n
ij i j i i
j 1 j 1
p p(X x , Y y ) p(X x ) p
= =
= = = = = =

.
Phõn phi xỏc sut biờn ca Y
Y y
1
y
2
y
i
y
n

P
Y
q
1


40
10 0,2 0,04 0,01 0
20 0,1 0,36 0,09 0
30 0 0,05 0,1 0
40 0 0 0 0,05

a) Tỡm phõn phi biờn ca X, ca Y.
b) Xột xem X v Y cú ủc lp khụng ?
c) Tỡm phõn phi xỏc sut ca Z = X + Y.
Đ2. CC C TRNG S (THAM S C TRNG) CA BIN NGU NHIấN

Nhng thụng tin cụ ủng phn ỏnh tng phn v bin
ngu nhiờn giỳp ta so sỏnh gia cỏc ủi lng vi nhau
ủc gi l cỏc ủc trng s.
Cú ba loi ủc trng s:

Cỏc ủc trng s cho xu hng trung tõm ca bnn:
K vng toỏn, Trung v, Mod,

Cỏc ủc trng s cho ủ phõn tỏn ca bnn:
Phng sai, lch chun, H s bin thiờn,

Cỏc ủc trng s cho dng phõn phi xỏc sut.

2.1. K vng toỏn
2.1.1. nh ngha

ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK

Trang 7b) Biến ngẫu nhiên liên tục
• Bnn X có hàm mật độ là f(x) thì:
EX x.f(x)dx
+∞
−∞
=
∫
.
VD 2. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật
độ xác suất
2
3
(x 2x), x (0; 1)
f(x)
4
0, x (0; 1)



+ ∈

=




∈

=



∉


. Tính thời gian trung bình
chờ mua hàng của 1 khách hàng.
VD 4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
2
ax bx , x (0; 1)
f(x)
0, x (0; 1)


+ ∈

=


∉


.
Cho biết EX = 0,6 hãy tính
1
P X

bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất (khả
năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết
kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải
trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả
100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả
cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu
đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10%
thuế doanh thu.
Hỏi viện C có nên nhận thiết kế hay khơng?
2.1.3. Tính chất của EX
1) E(C) = C với C là hằng số.
2) E(CX) = C.EX.
3) E(X
±
Y) = EX
±
EY, với X và Y là hai biến ngẫu
nhiên.
4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y là hai bnn độc lập.
5) Nếu
Y (X)
= ϕ
thì:
i i
i
(x )p ,
EY

X –1 0 1 2
P 0,1 0,3 0,35 0,25
VD 8. Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:
2
2
, x [1; 2]
f(x)
x
0, x [1; 2]



∈


=



∉



.
a) Tính EX.
b) Tính kỳ vọng của
5
2
Y X
X




−







 


=

 








−





0, x 1



− ≤

=



>


.
Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X
2
.
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang 82.2.2. Ý nghĩa của VarX
• Do X – EX là ñộ lệch giữa giá trị của X so với trung
bình của nó nên phương sai là trung bình của bình
phương ñộ lệch ñó. Phương sai dùng ñể ño mức ñộ phân
tán của X quanh kỳ vọng. Nghĩa là: phương sai nhỏ thì

2
.VarX;
(CX) C . Xσ = σ
.
3) Nếu a và b là hằng số thì Var(aX + b) = a
2
.VarX.
4) Nếu X và Y ñộc lập thì:
Var(X Y) VarX VarY± = +
;
2 2
(X Y) (X) (Y)σ ± = σ + σ
.
2.3. Trung vị và Mod
2.3.1. Trung vị
• Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu medX, là số m
thỏa
1
P(X m)
2
< ≤
và
1
P(X m)
2
> ≤
.

– Nếu X rời rạc thì medX = x
i


0,25 0,15 0,30 0,30
VD 15. Cho hàm
5
4
, x 1
f(x)
x
0, x 1



≥


=



<



.
a) Chứng tỏ f(x) là hàm mật ñộ xác suất của biến ngẫu
nhiên X.
b) Tìm medX.
2.3.2. Mod
• ModX là giá trị x
0

§3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

3.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
3.1.1. Phân phối siêu bội
• Xét tập có N phần tử, trong ñó có N
A
phần tử có tính
chất A. Từ tập ñó lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử
có tính chất A thì X có phân phối siêu bội.
Ký hiệu:
A
X H(N, N , n)∈
hay
A
X H(N, N ,n)
∼
.

a) ðịnh nghĩa
• Phân phối siêu bội là phân phối của biến ngẫu nhiên rời
rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tương ứng là:
A A
k n k
N N N
k
n
N
C C
p P(X k)
C