Chuyên đề Tiết Nội dung
1.Phân tích đa thức 1-2-3 Các ví dụ - Phương pháp giải
thành nhân tử.(9 tiết) 4-5-6 Luyện tập
7-8-9 Luyện tập
2.Tính chất chia hết
trong N.(11 tiết)
10-11-12 Một số dấu hiệu chia hết – Một ví dụ
minh hoạ
13-14 Một số định lí về phép chia hết - Ví dụ
minh hoạ
15-16 Đồng dư thức - Một số ví dụ minh hoạ
17-18 Phương pháp chứng minh quy nạp - Một
số ví dụ minh hoạ
19-20 Luyện tập
3.Bất đẳng thức -Cực 21-22 Bất đẳng thức Cô si và các Hệ quả
trị .(10 tiết) 23-24 Phương pháp xét hiệu hai vế
25-26 Phương pháp xét hiệu hai vế (tiếp theo)
27-28 Tìm GTLN – GTNN của đa thức dạng
29-30 Tìm GTLN – GTNN của đa thức dạng
4.Một số Bất đẳng
thức thường dùng
31-32 Phương pháp chứng minh dựa vào một số
BĐT cho sẳn
.(6 tiết) 33-34 Luyện tập
35-36 Luyện tập ( tiếp theo)
5.Tứ giác - Một số tứ
giác đặc biệt.(12 tiết)
37-38-39 Các tứ giác đặc biệt: Tính chất – Dấu
hiệu nhận biết
40-41-42 Luyện tập
43-44-45 Luyện tập

95 Một số kinh nghiệm khi làm bài thi
Chuyên đề 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Tiết 1
→
3 :
Các ví dụ và phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a.
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
b.
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
=
xxaaax

12
22
+++−=
+++−=−+++−=
++
nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x
8
+ 3x
4
+ 4.
b. x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
.
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x
8
+ 3x
4

- 2x
3
+ 2x
2
= x
2
(x
4
- x
2
- 2x +2)
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
221
11111
1212
2
2
2
22
2
2
2

cacbba
cbccbababccacabba
babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba
abcbccbaccaabba
−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=
=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
20072062007
24
+++ xxx
( )
( )
( ) ( )
( )( )
20071
1200711
200720072007

−++=
( ) ( )
baabba
+−+=
3
3
.Do đó:
=−++
abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
2
2
3

3
+ c
3
= 3abc.
Giải: Vì a + b + c = 0
( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
3333
3
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22
4 ba
ab
P
−
=
Giải: Biến đổi 4a
2
+ b
2

z
b
y
a
x
z
c
y
b
x
a
thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải:
000
=++⇒=
++







++⇒=++
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b

2
2
−−−−
xxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x - y)a
3
.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x
2
+ 4y

4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
là số chính phương.
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
( ) ( ) ( )
1311
22
+−−+−−+
baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá trị biếu
thức
P =
( ) ( ) ( )

=++
1111
.
Tính Q = (a
25
+ b
25
)(b
3
+ c
3
)(c
2008
- a
2008
).
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.
( )( )
53158
2
++=++

( )( )( )( )
ayxayaxyx
++−−−=
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
( )( )( )
accbba
+++=
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14

222555
222555
222222333
333
2
*;622
3
3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Nhưng:
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzxyxyzzyx
++=++−⇒=++
(**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x
5
+ y


=++
=++
1
1
333
zyx
zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx
+++=−−−++⇒
3
333
3





=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx

2

I.Mt s du hiu chia ht
1. Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125.

1 1 0 0 0
... 2 2 0;2;4;6;8.
n n
a a a a a a

=M M

1 1 0 0
... 5 0;5
n n
a a a a a

=M
1 1 0
... 4
n n
a a a a

M
( hoặc 25)
1 0
4a a M
( hoặc 25)

1 1 0
... 8
n n


M M
4.Dấu hiệu chia hết cho 101

5 4 3 2 1 0
...A a a a a a a=

( ) ( )
1 0 5 4 3 2 7 6
101 ... ... 101A a a a a a a a a + + + +

M M
II.Vớ d
Ví dụ 1: Tìm các chữ số x, y để:
a)
134 4 45x yM
b)
1234 72xyM
Giải:
a) Để
134 4 45x yM
ta phải có
134 4x y
chia hết cho 9 và 5

y = 0 hoặc y = 5
Với y = 0 thì từ
134 40 9x M
ta phải có 1+3+5+x+4
9M 4 9 5x x + =M

125 6 5 125 2
7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1
N y y
N x x x x
=
= + + + + = =
M M
M M
Vậy số cần tìm là 713625
Ví dụ 3 a) Hỏi số
1991
1991 1991
1991...1991
so
A =
1 4 2 4 3
có chia hết cho 101 không?
b) Tìm n để
101
n
A M
Giải:
a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A
1991
có 2 cặp số là 91;19
Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72
M
101 nên
1991
101A M

b) Nếu a bM và b aM thì a = b
c) Nếu
a bM
,
a cM
và (b,c) = 1 thì
a bcM
d) Nếu
ab cM
và (c,b) = 1 thì
a cM
2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
- Nếu



mb
ma


mba
+
- Nếu



mb
ma



B.Vớ d:
1. Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n ta cú:
( )
2411
2
2

+
nn
Gii:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n

= + = + + =

M
Bi tp t luyn:
2. Chng minh rng
a.
4886
23
nnn
++
vi n chn
b.
384910
24

I.Lí thuyết đồng dư :
a) §Þnh nghÜa : Cho sè nguyªn m > 0. NÕu 2 sè nguyªn a, b cho cïng sè d khi chia
cho m th× ta nãi a ®ång d víi b theo m«®un m .
KÝ hiÖu :
(mod )a b m≡
b) TÝnh chÊt
a)
(mod ) (mod )a b m a c b c m≡ ⇒ ± ≡ ±
b)
(mod ) (mod )a b m na nb m⇒M M
c)
(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇒ ≡
d)
(mod ) (mod )a b m ac bc m≡ ⇒ ≡
c) Một số hằng đẳng thức:
•
m m
a b a b− −M
•
n n
a b a b+ +M
(n lẻ)
•
( )
( )
n
a b B a b+ = +
II.Ví dụ:

( )
20022
999

+
4.
( )
183113
123456789

−
5.
( )
1980198219811979
19811979

+−
6.
( )
1203...333
10032

++++
7.
( )
755552222
22225555

+
--------------------------------