Đại số
CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0

A
2. Hằng đẳng thức:
AA
=
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA ..
=

)0;0(

BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0(
>

A .
=

)0(
>
B
8. Trục căn thức ở mẫu:
BA
BAC
BA
C

=

)(
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32
+
x
2)
2
2
x
3)
3
4
+
x

2)
4532055
+
3)
18584322
+
4)
485274123
+
5)
277512
+
6)
16227182
+
7)
54452203
+
8)
222)22(
+
9)
15
1
15
1
+


10)


16)
24362)2332(
2
++
17)
22
)32()21(
++
18)
22
)13()23(
+
19)
22
)25()35(
+
20)
)319)(319(
+
21)
)2()12(4
2
+
xxx
22)
57
57
57
57

+
-
1528

5)
(
)
625
+
+
1528

6)
83
5
223
5
324324
+


++
Gii phng trỡnh:
1)
512
=
x
2)
35
=

9)
64
2
=
x
10)
06)1(4
2
=
x
11)
21
3
=+
x
12)
223
3
=
x
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A = (1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx

+
+

52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+


a
a
a
a
aa

2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=
2
1

7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 12 : cho biểu thức Q=

2
2
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x


+
+

1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P=
( )



(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
----------------------------------
CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
3
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy
+=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy
+=
là hàm số bậc nhất là:
0

a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất

Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b.
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
a
b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
:
+ Cắt nhau: (d
1
) cắt (d
2
)

',
; bbaa
==
.
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 m) x + 2 (d
1
)
V y = 2 x m (d
2
)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
a/ (d
1
)//(d
2
)

{
1
2
1
2
23
=




4
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
atg
=

Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (


0
180
)
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
.63632
00
===

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
.63
0
=

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có:
.11763)180(632)180(
00000
====

1
thì điểm M không
thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1

,
x + b
,
giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d
1
) hoặc (d
2
)
ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực
tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
5
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d
1
luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d
1
//d
3
thì d
1
vuông góc d

(x
0
+1) -(x
0
+y
0
+5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x
0
+ 1 =0
x
0
+y
0
+5 = 0 suy ra : x
0
=-1
Y
0
= - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d
2
) và (d
3
)

:
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)

1
) v (d
2
)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca
hai ng thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay
nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0

v y = (2 - m)x + 4 ;
)2(

m
. Tỡm iu kin ca m hai ng
thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt im trờn trc
tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =

) v (d
2
) Tớnh chu vi v
din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2

0;0

ba
thì đờng thẳng (d) là đồ thị của
hàm số bậc nhất:
b
c
x
b
a
y
+=
.
Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:



=+
=+
)2.(
)1.(
,,,
cybxa
cbyax
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')

=++
yy
+ Bớc 2: Thế phơng trình
(**)
vào phơng trình hai của hệ ta có:



=++
+=
32)21(3
21
yy
yx
b) Giải hệ :
7





=
=




=
+=


+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên phơng trình
kia)
L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để
đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.






=+
=+
538
24
yx
yx






=+
=
42 yx

5 4 1
x y
x y
+ =


=




3 7
2 0
x y
x y
=


+ =


4 2
3 2 4
x y
x y
+ =



=+
=
311110
7112
yx
yx






=
=+
72
33
yx
yx






=
=+
032
852
yx

564
1132
yx
yx




=
=+
32
123
yx
yx





=
=+
6156
252
yx
yx






5
411
yx
yx










=



=

+

1
1
3
2
2
2
1
1


=
=+
432
3
yx
yx
d)



=+
=+
975
432
yx
yx
e)



=++
=+
0386
243
yx
yx
f)



8
511
yx
yx
b)







=

+
=


01
2y
1
x
3
2
2y
2
x
1
c)



=
=+
7
53
yx
yxm
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
9
Bài 5 : Cho hệ phơng trình



+=+
=

xx
CHủ đề 4: hình học

I. hệ thức trong tam giác vuông:
Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:
+
,2,2
.;. cacbab
==
+
222
cba
+=

+
,,2
.cbh
=
+
,,
cba
+=

+
cbha ..
=
+
,,2
111
cbh

Cos
H
D
Sin
====
;;;
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu
0
90
=+

Thì:


SinCos
CosSin
=
=



TgCotg
CotgTg
=
=
2/Với

nhn thỡ 0 < sin


10

SinCacSinBab ..;.
==

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:

CosBacCosCab ..;.
==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:

TgCbcTgBcb ..;.
==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:

CotgBbcCotgCcb ..;.
==
Bài Tập áp dụng:
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Bit b = 4 cm, c = 3 cm. Gii tam giỏc ABC
Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b

= 7, c

= 3. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3a: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3b: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?

. Gii tam
giỏc ABC?
Bi14: Tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5.
Gii tam giỏc ABC?
Bi15: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5. Gúc C = 30
0
. Gii tam
giỏc ABC?
II. Đ ờng tròn:
.Sự xác định đ

ờng tròn:

Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc
+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc
+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai
trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .
Tính chất đối xứng:



Không có điểm chung

d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng
thẳng; R là bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn

Có 1 điểm chung

d < R.
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn

Có 2 điểm chung

d = R.
Tiếp tuyến của đ

ờng tròn:

1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó
2. Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)
11
3.DÊu hiƯu nhhËn biÕt tiÕp tun: §êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh cđa mét ®êng trßn lµ tiÕp
tun cđa ®êng trßn ®ã.
Bµi TËp tỉng hỵp häc kú I:
Bµi 1 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC ) kỴ ®êng cao AH c¾t ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c t¹i D
a/ Chứng minh: AD lµ ®êng kÝnh

AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF
2
– FN
2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn
( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và
By tại C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 90
0
b) Chứng minh: AC.BD = R
2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vò trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn
(O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc
với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN = R
2
d/ Tìm vò trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến
xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a/ Chứng minh rằng MC = MD.
12
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trò không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn.
13

(a=..;b=..;c=)
Ta có: =.=..>0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm . ; ..
5) Giải phơng trình: x
4
- 7x
2
+10 = 0(*)
Đặt x
2
= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
- 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==..
Với y
1
=; y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
1

=(loại)
y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
2
==>
x
=..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x
2
- 50 = 0 c)54x
2
= 27x e)y+
y
-6=0
b)
2
4
53
2
2
=
+
x

4
- 5x
2
- 6 = 0
2) x
4
+ 7x
2
- 8 = 0
3) x
4
+ 9x
2
+ 2 = 0
4)
1
1
2
1
2
2
+
+=

x
x
x
6)
( ) ( )
03222

+
+
x
x
x
x
bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x
2
+ mx - m
2
-12 = 0 (1)
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2 thì:
5.2
2
+m.2 -m
2
-12=0
8+m.2 -m
2
=0
m
2
-2m - 8 = 0(*)
Giải (*)Ta có: '=..=..> 0 =>
'

=

+)Với m
2
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m
2
= Nên 2 + x
2
=.. x
2
=.=..
Vậy

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b
2

3x+1=0 x=
=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.(1)
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: === m
2
- 4m + 12
= m
2
- 2(.).m +(..)
2
-.. +12 = ( - .)
2
+.
Nhận thấy: ( m - .)
2
0 Với mọi m 3 ( m - .)
2
+ 8 .>0 Với mọi m 3
Hay >0 Với mọi m 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m 3 (2)
Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x
2
+(m+1)x+m=0 b) x
2
-mx + m - 4 = 0
c) -3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x

2
-2 5 = 0 e) (m
2
+ 4 m
+4)x
2
+ mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình : (m+3)x
2
- m(m+5)x + 2m
2
= 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
bài mẫu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m =..lúc đó phơng trình(*) trở thành:
.x+1=0 x=
=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: '==..= -m +4
-Khi '>0 hay -m+4 >0 m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x
1

a) 3 và 5 b) 3-
5
và 3 +
5
c) 3-
2
và 3 +
2
d)
223
1

và
223
1
+
e)
ba
+
1
và
ba

1
với a b
bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1-
5
và 1 +
5
Giải: Đặt x