TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 1


P

b) Tính chất
·
()()()
()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcđồngqui
PRbabc
QRc
ì
¹¹
ï
ï
é
Ç=
Þ
í
ê
Ç=
ë
ï
Ç=
ï
ỵ
PP

·

ì
¹
Þ
í
ỵ
P
PP

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: d // (P)
Û
d
Ç
(P) =
Ỉ

b) Tính chất

·

(),'()
()
'
dPdP
dP
dd
ì
ËÌ
Þ
í

í
ỵ
P
PP

3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: (P) // (Q)
Û
(P)
Ç
(Q) =
Ỉ

b) Tính chất

·

(),
()()
(),()
Pab
abMPQ
aQbQ
ì
É
ï
Ç=Þ
í
ï
ỵ

ï
Ç=Þ
í
ï
Ç=
ỵ
P
P

4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

·
Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)

·
Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

·
Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh ()dP
P
, ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một
đường thẳng d
¢
nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

bc
ab
ac
ì
¤¤
Þ^
í
^
ỵ

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: d
^
(P)
Û
d
^
a,
"
a
Ì
(P)
b) Tính chất
· Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng:
,(),
()
,
abPabO
dP
dadb


·
PQ
aQ
aP
()()
()
()
ì
Þ^
í
^
ỵ
P
·
PQ
PQ
PaQa
()()
())
(),()
ì
¹
Þ(
í
^^
ỵ
P

·

· Đònh lí ba đường vuông góc
Cho (),()aPbP^Ì, a¢ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ^ a Û b ^ a¢
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: (P)
^
(Q)
Û

·
( )
0
90PQ(),()=
b) Tính chất
· Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()
()()
()
Pa
PQ
aQ
ì
É
Þ^
í
^
ỵ

·
()(),()()
()

PQa
PRaR
QR
ì
Ç=
ï
^Þ^
í
ï
^
ỵ

4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh da^ , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

·
Chứng minh góc giữa a và d bằng 90
0
.

·
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.

·
Chứng minh db^ mà ba
P
.
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Trần Só Tùng Khối đa diện


·
Chứng minh d = (Q)
Ç
(R) với (Q)
^
(P) và (R)
^
(P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a
^
(Q).

·
Chứng minh
·
( )
0
(),()90PQ= 1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' Þ

·
( )
,()dP £ 90
0

c) Góc giữa hai mặt phẳng
·
( )
¶
( )
()
(),(),
()
aP
PQab
bQ
ì
^
Þ=
í
^
ỵ

· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Ỵ c, dựng
(),
(),
aPac
bQbc
ì
Ì^

trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 4
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

·
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

·
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

·
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia. 1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
·
222
ABACBC+= ·
22
ABBCBHACBCCH.,.== ·
222
111

242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=-=-=-
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
·
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
=== · CabBcaAbcS sin
2
1
sin.
2
1
sin
2
1
===
·

hbaS .
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
SACBD.=

IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 5
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:

Vabc=
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:

1
3
đáy
VSh.=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ:

'''
..
'''
=
* Bổ sung
· Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
· Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh
với diện tích các đáy. Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng a (45
0
< a < 90
0
). Tính thể tích hình chóp.
HD: Tính h =
1
2
atan
a

Þ
Va
3
1
tan
6
=a
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh

HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của
PQ, QR, RP. Chú ý: V
APQR
= 4V
ABCD
=
1
6
APAQAR..

Þ
Vabcbcacab
222222222
2
()()()
12
=+-+-+-
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^
(ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SASMSNSA

2
. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với
mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy
các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2 , SA
^ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và
AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể
tích khối chóp A.BCNM.
Bài 13. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2
đường thẳng AA’ và B’C’.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 7
HD:
3
1
24
a
V ;cos
j
==
Bài 14. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và

MN và AC.
HD:
2
4
a
d =
Bài 18. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
·
·
0
90ABCBAD==, BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD), 2aSA = . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến (SCD).
HD:
3
a
d =
Bài 19. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
HD:
3
3
12
a
V =
Bài 20. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD = , SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.

1
. Chứng minh MB ^ MA
1
và tính
khoảng cách d từ A đến (A
1
BM).
HD:
5
3
a
d =
Bài 23. (Dự bò 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc
·
( )
0
60SBCABC(),()=, ABC và SBC
là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD:
3
13
a
d =
Bài 24. (Dự bò 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^
(ABCD). AB = a, 2aSA = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SD. Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
HD:
3
2
27

minh MN là đường vuông góc chung của AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện
MA
1
BC
1
.
HD:
3
2
12
a
V =
Bài 27. (Dự bò 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M
là trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ^ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B
1

3
a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCMN.
HD:
3
103
27
Va=
Bài 30. (Dự bò 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60BAD = , SA ^ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối
chóp S.AB'C'D'.
HD:
3
3
18
a
V =
Bài 31. (Dự bò 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác
đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tana và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
HD:
222
3
6
aba
V

Bài 34. (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ^ (ABC). Tam giác ABC có
BA = BC = a, góc ABC bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 35. (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 10 Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và
·
ASB
a
= .
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
b) Chứng minh đường cao của hình chóp bằng
2
1
22
a
cot
a
-
c) Tính thể tích khối chóp.

·
·
SBABSD;
ab
==
c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin
(sinsin)
cossin
cossin
b
ab
ab
ab
++
-
-

V =
3
22
3

V
V
¢¢
=
Þ
V
SAB
¢
C
¢
D
¢

=
3
16
45
a

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A¢, B¢, C¢, D¢. Chứng minh:

SASCSBSD
SASCSBSD
+=+
¢¢¢¢

HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Bài 6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ^ BC.

3
3
a

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên
là a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h tan
tan
a
a
-
; V =
3
2
4
31
h
(tan)
a
-


Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một
góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
ab
-
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
22
3
asin.sin
(cossin)
ab
ab
-

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF).
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.

a
.
HD: a)
·
CBI
¢¢
với I
¢
là trung điểm của A
¢
B
¢

Bài 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
32
1h tan
a
- , S
xq
=
22
41h tan
a
-
.
Bài 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến
mặt bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a.
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a,

2
6

Bài 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2
mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng
trụ.
HD: S
xq
= 4h
2
1 cos
cos
a
a
-
.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 13
Bài 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp
với mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢.
a) Chứng minh
·
AJI = a.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
43
a

()+
Bài 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhò diện có số đo a (0 < a < 90
0
).
a) Chứng minh:
·
AAB
¢
= a.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác đònh thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanb = 2 tana.
HD: b) V =
1
2
a
3
sin
a
c) S
xq
= a
2
(1 + sin
a
+
2

0
).
Tính j biết a + j = 90
0
.
HD: a) V =
33
2
2
31
d tan
tan
j
j
-
b) tan
a
=
2
1
31tan
j
-
;
j
= arctan
2
2

Bài 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a.

ACC¢A¢, BDD¢B¢ là S
1
, S
2
.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết
·
BAD
¢
= 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD: a) S
xq
= 2
22
12
SS+ b) V =
12
22
4
21
2
2
SS
SS
.
-

Bài 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.

b
= 30
0
(dùng Côsi).
Bài 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,
µ
A = 60
0
. Chân
đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của
đáy. Cho BB¢ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3
3
4
a
; S
xq
= a
2
15 .
Bài 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD = 60
0
;

= a
2
tan
a
c)
a
= arctan
173
4
- Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 2


Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 15
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Đònh nghóa
· Mặt cầu:
{ }
SORMOMR(;)== · Khối cầu:
{ }
VORMOMR(;)=£
2. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính
22
rRd=-.
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán
kính bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (
D
đgl tiếp tuyến của (S)).
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.

2
4SR
p
=
2
xq
SRh
p
=
2
tpxqđáy
SSS=+
xq
SRl
p
=
tpxqđáy
SSS=+
Thể tích
3
4
3
VR
p
=
2
VRh
p
=
2

điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp
xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3aCD = .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên
và đáy bằng 60
0
. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường
trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh SMKSOA
DD:
( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng 3RIS =
Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một
góc 60
0
.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

OO¢AB bằng 8 cm
3
. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một góc
0
60 .
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao
và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy
điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Bài 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ
hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc
30
0
. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’
của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng
thiết diện.
Bài 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên
hai đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi
( )
22
4hahR><+ .
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Khối tròn xoay Trần Só Tùng
Trang 18
Bài 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm

2Rh = . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn
tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ
số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
b) Gọi
( )
a
là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục
OO’ và mặt phẳng
( )
a
.
c) Chứng minh rằng
( )
a
là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
2
2
R
.

VẤN ĐỀ 1: Mặt nón – Hình nón – Khối nón

Bài 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể
tích khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích
khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Trần Só Tùng Khối tròn xoay

Bài 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A’B’C’D’.
Bài 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một
tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể
tích của khối nón.
Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên
và mặt đáy là
a
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC,
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và
a
.
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và
·
SAB
a
= (
a
> 45
0
).
Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình
vuông ABCD.
Bài 12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là
a
.
a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.

để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác đònh x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đôi một vuông góc với nhau.
Bài 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố đònh. tính
diện tích của mặt cầu đó.
b) Co SA = 3a . Tính diện tích của tứ giác APQR.
Bài 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta
lấy hai điểm A, A¢ đối xứng qua I và IA = IA¢ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ
tại J và không song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J và JB = JB¢ = b.
a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm trên đường
thẳng IJ.
b) Xác đònh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B theo a, b, c.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)
vuông góc với nhau và
·
0
90BDC = . Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD.
Bài 9. Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến

và S
tp
của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Bài 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao 3R . A và B là 2 điểm trên 2 đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30 .
a) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tương ứng.
Bài 14. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh
liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy hình trụ
một góc
0
45 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Bài 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích khối nón tương ứng.
Bài 16. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn
OS, đặt OM = x (0 < x < h).
a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác đònh x sao cho V
đạt giá trò lớn nhất.
Bài 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy.


Khối tròn xoay Trần Só Tùng
Trang 22 Bài 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC)
và SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt
·
ACM = a, hạ SH vuông góc
với đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trò lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD: a) Q tích điểm H là một cung tròn. MaxV
SAHC
=
3
12
a b) AK =
2
1
asin
sin
a
a
+
,


HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
a
a
+
b) S
MNPQ
=
( )
2
41axxa–sin
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
ỉư
ç÷
ç÷
èø
2
0 < x <
2
và AC = AD = BC = BD = 1.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và
CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trò lớn
nhất đó.
HD: b) V =

xy()+ , (x, y) =
2
a
a;
ỉư
ç÷
èø
hoặc
2
a
a;
ỉư
ç÷
èø
.
ÔN TẬP TỔNG HP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 23
Bài 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S.
Gọi a là góc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABCD theo a và a.
b) Xác đònh đường vuông góc chung của SA và CD. Tính độ dài đường vuông góc
chung đó theo a và a.
HD: a) V =
3
6
a
tan

3
2
Rh2Rh–
Bài 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh
AB và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a. M là điểm thay
đổi trên cạnh AB, hạ EH ^ CM. Đặt BM = x.
a) Chứng minh điểm H di động trên một đường tròn. Tính độ dài IH.
b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE. Tính độ dài JM và tìm giá trò nhỏ nhất của JM.
HD: a) IH =
22
2
4
axa
ax
-
+
b) JM =
2
2
5
24
aa
x
ỉư
-+
ç÷
èø
,
MinJM =
5

HD: b) V =
3
3
12
a
, d =
3
2
a
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số 3
AM
MD
= . Hãy tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (AB’C).