BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN KIM THU THẢO

NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN
CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG
CỦA MẠNG TINH THỂ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

======

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Để
có được bài luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất tới các quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và
truyền đạt cho tôi những NGUYỄN
kiến thức KIM
khoa THU
học trong
suốt quá trình học học tập
THẢO


Lời cảm ơn
Hà Nội, 2018


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên cho tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Hà
Loan đã định hướng và hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin cảm ơn phịng Sau đại học, và thầy cô giáo khoa Vật lý
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong thời gian nghiên cứu,
học tập và làm luận văn.
Lời cuối cho tơi cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, khích
lệ và tạo điều kiện để tơi học tập và hồn thành luận văn giúp đỡ, khích lệ và
tạo điều kiện để tơi học tập và hồn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018.
Học viên
Nguyễn Kim Thu Thảo.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ: “Nhiệt độ suy biến của dao động
biến dạng của mạng tinh thể” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thị
Hà Loan, hồn thành bởi sự nhận thức của tơi và không trùng khớp các luận
văn khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018.
Học viên
Nguyễn Kim Thu Thảo.


MỤC LỤC

2.1.2. Dao động biến dạng của mạng tinh thể. ................................................ 16
2.1.3. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại. .. 17
2.2.

Phổ năng lượng của dao động biến dạng của mạng tinh thể một

chiều. ............................................................................................................... 18
2.2.1. Phổ năng lượng của dao động mang tinh thể biến dạng q cho chuỗi
nguyên tử cùng loại. ........................................................................................ 18
2.2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi
nguyên tử khác loại ......................................................................................... 19
Chương III. NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG
CỦA MẠNG TINH THỂ. ............................................................................... 21
3.1. Nhiệt độ Anhxtanh. .................................................................................. 21
3.2. Nhiệt độ Đêbai. ........................................................................................ 23
3.3. Nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh thể................. 26
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chất rắn là 1 hệ các nguyên tử, phân tử nằm sát nhau sắp xếp có tính thống
kê. Để nghiên cứu tính chất nhiệt của vật rắn thì lý thuyết Đêbai là phù hợp đã
tính được nhiệt dung phù hợp với thực nghiệm ở nhiệt độ cao và thấp. Nếu
mở rộng hình thức luận dao động điều hịa thành dao động biến dạng thì ta
cần đi xác định nhiệt độ suy biến của dao động mạng tinh thể. Để giải quyết
vấn đề đó, ta coi dao động như 1 hệ dao động biến dạng và dùng phương pháp

Chƣơng 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA DAO ĐỘNG
MẠNG TINH THỂ.
1.1. Dao động mạng tinh thể
1.1.1 Dao động tử điều hịa
Ta dùng mơ hình dao động tử lượng tử.
Các toán tử sinh a  , hủy a của dao động điều hòa thỏa mãn:

 a, a    1

(1.1)

Toán tử số dao động N :
N  aa

(1.2)

Ta thấy:
[N,a] =

aa

a a

(1.3)

= a
[N,

]=



n n '   nn '

(1.7)

1.1.2 Dao động mạng tinh thể
Với a là hằng số mạng tinh thể, M là khối lượng mỗi nguyên tử.
Ta có tọa độ của nguyên tử thứ n:

Và độ dịch chuyển là:
(t) u( ,t)
Năng lượng toàn phần của hệ là:
E

(t) +

Khi lượng tử hóa:
H
Giữa

và

(t) +

(1.8)

có:

Ta thấy các tốn tử


(1.11)

Tương tự nhân 2 vế của (1.10) với

rồi lấy tổng
(1.12)

Ta có:
[

] = iћ

[

]=0

[

]=0

Mặt khác thay (1.9) và (1.10) vào (1.8) ta được:
=
Thay:

(1.13)


6

1.2. Phonon âm

2m 
1
a 
 p  im x 
2m 
a

(1.16)

Từ (1.14) và (1.15) ta có :
H


2

 aa



Suy ra phổ năng lượng là En 

 a a 


2

(1.17)

 2n  1 .



]=0

Từ (1.18) và (1.19) ta được:

Hay ta có:

Suy ra (1.13):

(1.20)


8

(1.21)
Theo (1.20) ta có:
+1
(1.22)

Đưa vào tốn tử số dao động

:

=
Hệ thức tốn tử

(1.23)

có dạng:
[


9

Ở đây

là trạng thái chân khơng:
=1

(1.27)

=0
Từ (1.20) và (1.26) có thể chứng minh được rằng:
=

(1.28)

=

(1.29)

Ta giải phương trình:

Hay thay H từ (1.21) vào (1.29) ta thu được:

=
(

)

(1.30)

(1.32)

2

Thế (1.32 ) vào (1.31) ta có:


 E 
Z   exp  n 
 kT 
n 0


10

 h  
 h 
 exp 
  exp  
 2kT  n0
 kT 

Vì

h
h
 0 nên 
 1 , ta có:
kT
kT

n
 kT 

Ta có:
Được tính:




1




(1.33)
1

 n  w k  n    h k  n  
2
2
k





Thay (1.34 ) vào (1.33) ta có:

1 


 exp  kT  
n 0

Suy ra tổng thống kê Z là:

1
1 e



h k
kT

(1.34)


11

 h 
exp  k 
 2kT 
Z
 h 
1  exp  k 
 kT 

4. Năng lƣợng trung bình.
1.4.1. Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa.
  
exp  n 

2




Thay (1.36) vào (1.35) ta được:

1 

h  n   

1

2 


h  n   exp  


2
kT

n 1






 

n exp  


kT
n 1




1


 h  h
2

1 

h  n   



2 

exp  


kT
n 1



  k 
 n 
exp  k 

nk 1
 kT 

Trong đó:

 n  w k  nk    h k  nk  
2
2








k

nk

1







1 

h k  nk   



2 

exp 


kT
nk 1









1 

h k  nk   


2 








 

h k

2

h k
 h 
exp  k   1
 kT 

(1.38)


13

1.5. Nhiệt độ suy biến.
1.5.1. Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa.
Tổng trạng thái đối với một dao động tử được xác định bằng:

 E 
 h  
 h 
Z   exp  n   exp 

Năng lượng trung bình của một dao động tử là


 E 
exp  n 
2
 kT   kT Z
  n 1
Z T
 E 
exp  n 

 kT 
n 1

E

n

 

Ở nhiệt độ rất thấp
tiến tới

h

2

h
 h 



(1.40)


14

Năng lượng trung bình của một mạng tinh thể là:
 

Ở nhiệt độ rất thấp
tiến tới

h k

2

h k
 h 
exp  k   1
 kT 

h k
h
 1 hay T  k  tsb (nhiệt độ suy biến) thì  sẽ
kT
kT

h k
, tức là năng lượng ở mức thấp nhất.


`

(2.3)

 Nˆ , aˆ    aˆ 



Ta thấy khi q  1 thì:

 aˆ 

 n

n

Và

 p, x   i

q

N

q



 (q  1)  N q

 N 

q

  N  1q



(2.6)


16

Với q=1 phổ năng lượng của dao động từ điều hòa biến dạng trở
En 

thành:


2

 2n  1

2.1.2. Dao động biến dạng của mạng tinh thể.
2.1.2.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử cùng loại.
Ta có phương trình Hamiltonian của dao động là:

ˆk2
p
1


ˆk 
p
m


1
1

(2.8)

Suy ra:
1
ˆ   1  1 p
ˆ k p
ˆ k  m 2  k  uˆ k uˆk 
H


2
 2M

k

(2.9)

(2.9) được biểu diễn thành:

ˆ   1
H

(2.11)

Nếu ta thay phương trình từ (2.10) rồi xét hàm Hamiltonian cho bởi:
 1

1
1
1
Hˆ   (1) (
pˆ  k pˆ k  M112 (k )uˆ k uˆk )  (
pˆ  k pˆ k  M 222 (k )uˆ k uˆk ) 
(2.12)
2
2M 2
2
k
 2M1


Ta có:

 pˆ  k pˆ k  

uˆ k uˆk 

2M11

 qˆ k qˆk  

vˆ k vˆk 

Như vậy:

(2.13)


18

 pˆ k uˆk   i

aˆk(1) , aˆ(1)k  

(2.14)

 qˆ k vˆk   i

aˆk(2) , aˆ(2)k  

Ta có:

(aˆk(1) ) nk (aˆ(1)k  ) n k (aˆk(2) ) nk (aˆk(2) ) nk
(1)

n 

(1)

(2)

(2)


q n k  q  n k
 q  n k ) n
1
qq

(2.15)


19

 aˆk aˆ k n   n k  1 q n

(2.16)

 k  

Vậy ta có : En n    
1



2

k

n k  1q   nk q 


(2.17)



ˆ 1 ˆ 1

a k a k







ˆ 1

 

aˆ k aˆ k

Như vậy :

n k
1

ˆ 1

n k
1

k

k

q

q

1

 qa k a k a k
1




 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1
2
2
2 2 
a k a k  a k a k  2 aˆ kaˆ k  aˆ k aˆ k  n  En n
2
2


 1 

n k
1

0 q




N  k
1

0

 aˆ 
1

k

n k 1
1

0

2
nk 

0