Giải PT-BPT-HPT bằng phương pháp hàm số
A. LÝ THUYẾT
Định lí 1: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của
pt trên D : không nhiều hơn một và khi và chỉ khi với mọi
.
Chứng minh:
Giả sử phương trình có nghiệm , tức là . Do f đồng biến nên
* suy ra nên pt vô nghiệm
* suy ra nên pt vô nghiệm
Vậy pt có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:
* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: . Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa
phương trình về dạng hoặc ( trong đó ) và ta
chứng minh được là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: ta có ngay giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất
nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số luôn ngb (hoặc
luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử là một nghiệm của pt: , tức là .Ta giả sử f đồng biến
còn g nghịch biến.
*Nếu suy ra dẫn đến pt vô nghiệm khi
.
*Nếu suy ra dẫn đến pt vô nghiệm khi
. Vậy pt có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp pt và ta có thể biến đổi về dạng , trong đó f và g khác
tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi

3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên
nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là
và , do vậy nếu đặt thì
phương trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên
tục và có :
nên f(t) luôn đồng biến. Do đó:
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
, do vậy nếu đặt
, khi đó phương trình trở
thành:
, trong đó với
t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy
.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
.
.
Giải:
1) Ta thấy pt có hai nghiệm và . Ta chứng minh phương trình đã cho có không
quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số
có có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến
g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì
(vì khi đó theo đ/l 3 suy ra
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .
2) Đk: .
, trong đó là
hàm liên tục và đồng biến.
Do đó:
Xét hàm số , ta có:

Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số Ta dễ dàng chứng minh được là hàm
nghịch biến và .
Do đó Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là:
.
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra là hàm đồng biến
Mặt khác:
Do vậy Bpt
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu th“ ta có thể đặt hoặc
Ví dụ 1 :
Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành :
)( ) = 0
Kết hợp với điều kiện của t suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
Ví dụ 2 :
Lời giải : ĐK :
Khi đó VP > 0 .
Nếu
Nếu .
Đặt , với ta có :
) ( ) = 0
Vậy nghiệm của phương tr“nh là
Ví dụ 3 :
Lời giải : ĐK :

Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
Kết hợp với điều kiện suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :