Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
trường THPT chuyên Lê hồng phong
năn học 1999 – 2000
Môn toán (Đề chung)
Bài 1(2điểm)
Cho biểu thức: N =
ab
ba
bab
b
bab
a
+
−
−
+
+

với a,b là 2 số dương khác nhau
1)Rút gọn biểu thức N
2)Tính giá trị của biểu thức N khi : a =
526
+
và b =
526
−
Bài 2(2,5 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x
4
– 2mx
2

Đáp án
Bài 1:
Câu 1: : N =
ab
ba
bab
b
bab
a
+
−
−
+
+
=
ab
ba
aba
b
bab
a
+
−
−
+
+
)()(
=
ab
ba

1515
1515
−=
−−−
−++
=
−
+
ab
ba
B ài 2:
C âu1: khi m =
3
,phương trình : x
4
– 2mx
2
+ m
2
– 3 = 0 trở th nh:à
x
4
- 2
3
x = 0

x
2
(x
2

1
= 0 , x
2
=
32
x
3
= -
32
Cõu 2: t t = x
2
, iu kin t

0 .Phng trỡnh ó cho tr thnh:
t
2
2mt + m
2
3 = 0 (1)
Phng trỡnh ó cho cú ỳng 3 nghim phõn bit

phng trỡnh (1) cú 2
nghim trong ú cú mt nghim bng 0 v 1 nghim dng
*)Phng trỡnh (1) nhn t = 0 l nghim

m
2
3 = 0

m =

3
t = 0




=
=
32
0
2
1
t
t
(khụng thớch hp)
Vy m = -
3
khụng tho món loa
Tóm lại phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

m =
3
Bài 3
Câu 1: Phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(2;-3) và có hệ số góc bằng k là:
y = k(x-2) 3
Câu 2: Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;-3) và không song song với trục tung
có dạng:
y = k(x-2) 3 ( k là 1 số bất kỳ)
Hoành độ giao điểm của parabol (p) và đờng thẳng (d) là nghiệm của phơng trình:
-

+ 2 > 0 với mọi k
điều phải chứng minh.
Bài 4:

P
M
Q
A B
O
K
(D)
I
C©u 1:
+)V× MP vµ MQ lµ c¸c tiÕp tun cïng xt ph¸t tõ ®iĨm M => tia MO lµ tia ph©n gi¸c
cđa gãc PMQ (1)
+) Còng v× MP vµ MQ lµ c¸c tiÕp tun cïng xt ph¸t tõ ®iĨm M
 gãc PMO = QMO => cung PI = cung IQ
Ta cã gãc MIP lµ gãc t¹o bëi mét d©y cung vµ tiÕp tun => S® gãc MPI =
2
1
S® cung PI
L¹i cã S® gãc IPQ =
2
1
S® cung QI => gãc MPI = gãc IPQ => PI lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc
MPQ (2)
Tõ (1) vµ (2) => I l giao à điểm của hai đường phân giác tại đỉnh M và đỉnh P của
tam giác MPQ => I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ (đpcm)
Câu2: a) Phân tích:
Giả sử M là điểm trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MPOQ là hình vng =>

2
– OP
2
= 2R
2
– R
2
= R
2
=> MP = R
Tương tự chứng minh được MQ = R => MPOQ là tưa giác có 4 cạnh bằng nhau và
có 1 góc vuông => MPOQ là hình vuông 0,25đ
d) Biện luận
Vì đường thẳng (d) và đường tròn (O, R
2
) cắt nhau tại 2 điểm
=> bài toán có hai nghiệm hình 0,25đ
Câu 3: (1đ)
+Đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ là đường tròn đường kính MO 0,25đ
+Từ O kể đường thẳng vuông góc đến đường thẳng (d) tại K => góc MKO = 1v
=> K nằm trên đường tròn đường kính MO 0,25đ
=> đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua 2 điểm cố đònh O và K 0,25đ
=> tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ chạy trên đường trung trực (
∆
)
của đoạn OK 0,25đ

Đề thi tuyển sinh vao 10 PTTH
năm học 1999 – 2000
Môn toán

34
1
2
11
yx
yx
Bài 3 (2 điểm)
Tìm giá trị của a để phương trình :
(a
2
– a – 3)x
2
+ (a + 2)x – 3a
2
= 0
nhận x = 2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của phương trình?
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A . trên cạnh AB lấy điểm D không trùng
với đỉnh A và đỉnh B. Đường tròn đường kính BD cắt cạnh BC tại E. Đường
thẳng AE cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là G. Đường thẳng CD
cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là F . Gọi S là giao điểm của các
đường thẳng AC và BF. Chứng minh:
1) Đường thẳng AC song song với đường thẳng FG
2) SA. SC = SB. SF
3) Tia ES là phân giác của góc AEF
Bài 5(1 điểm)
Giải phương trình : x
2
+ x + 12
1

x
có nghĩa với mọi x 0,25đ
=> Biểu thức A có nghĩa
⇔
4 – 2x
≠
0
⇔
x
≠
2 0,25đ
Câu b) Ta có A =
)2(2
2
x
x
−
−
0,25đ

⇔








<−=



=
−
+
−=
−
−
5
2
34
1
2
11
yx
yx
Đặt u =
x
1
và v =
2
1
−
y
.Hệ phương trình trên trở thành:




=+

0,25đ
Với v =
7
9
=> y =
9
25
0,25đ
Vậy hệ có nghiệm là :







=
=
9
25
2
7
y
x
0,25đ
Bài 3: Phương trình đã cho nhận x
1
= 2 là nghiệm
⇔
4(a

−
aa
a
0,5đ
+) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là
x
2
= -2 0,25đ
+) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là
x
2
= -
3
8
0,25đ
Bài 4

S
A
C
E
B
F
G
D
Câu 1: Chứng minh AC // FG ( 1 đ)
Tứ giác ACED có : góc A = góc E = 1v 0,25đ
nên nội tiếp được trong một đường tròn
=> ^ACD = ^ AED hay ^ ACD = ^ DEG (1) 0,25đ
Mặt khác 4 điểm D,G, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD

Xét 2 tam giác SAF và SBC có :

∠
S chung ,
∠
SAF =
∠
SBC (cmt)
=> Hai tam giác SAF và SBC đ ồng d ạng 0,5 đ
=>
SC
SF
SB
SA
=
0,25 đ
=> SA.SC = SB.SF 0,25 đ
C âu 3: Chøng minh : Tia ES lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc AEF (1,5 ®)
Ta cã gãc AED = gãc ACF (cmt) (1)
V× tø gi¸c BEDF néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn
=> gãc DEF = gãc DBF (2)
V× tø gi¸c ACBF néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn
=> gãc ACF = gãc ABF (3)
Tõ (1) , (2) vµ (3) => gãc AED = gãc DEF 0,5®
=> ED lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc AEF 0,25®
MỈt kh¸c : CF vµ BA lµ c¸c ®êng cao cđa tam gi¸c SBC
nªn D lµ trùc t©m cđa tam gi¸c nµy => SD
⊥
BC 0,25®
Mµ DE

(x + 1 -
1
+
x
+ 6 )( x + 1 +
1
+
x
- 6 ) = 0 0,25đ
a) Trường hợp : x + 1 -
1
+
x
+ 6 = 0 (a)
Đặt t =
1
+
x
( điều kiện t
≥
0 ) , phương trình (a) trở thành
t
2
– t + 6 = 0 ( vô nghiệm) 0,25đ
b) Trường hợp : x + 1 +
1
+
x
- 6 = 0 (b)
Đặt t =

1
1
1
2
−
+
−
++
+
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
với x > 0 và x
≠
1
1) Rút gọn biểu thức T
2) Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x
≠
1 luôn có T <
3
1
Bài 2 ( 2,5 điểm)
Cho phương trình : x
2

. Xác đònh vò trí của M trên đường tròn (O) để đẳng
thức xảy ra
4) Trên đường trìn (O) lấy điểm N cố đònh .Gọi I là trung điểm của MN và P là
hình chiếu vuông góc của I trên MB . Khi M chuyển động trên đường tròn (O)
thì P chạy trên đường nào ?
ĐÁP ÁN:
Bài 1
Câu 1: T =
1
1
1
1
1
2
−
+
−
++
+
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
=
1

xxx
xx
0,25đ
=
)1)(1(
)1(
++−
−
xxx
xx
0,25đ
=
1
++
xx
x
0,25đ
Câu 2:
Xét
3
1
- T =
3
1
-
1
++
xx
x
=

x
> 0 với mọi x > 0 và x
≠
1 0,25đ
=> T <
3
1
với x > 0 ø và x
≠
1 0,25đ
Bài 2
Câu 1 (1đ) : Giả sử phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
21
xx
=

=> x
1
= x
2
hoặc x
1
= - x
2
0,25đ
a) Nếu x

±

=> phương trình có 2 nghiệm có giá trò tuyệt đối bằng nhau
=> m = 0 là giá trò cần tìm 0,25đ
Câu 2(1,5đ)
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam
giác vuông có cạnh huyền bằng 3
=> x
1
> 0 ; x
2
> 0 và x
1
2
+ x
2
2
= 9 0,25đ
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1

m =
±
2 0,25đ
+Với m = 2 phương trình đã cho trở thành :
x
2
- 4x +
2
7
= 0
Phương trình này có 2 nghiệm là:
x
1
= 2 -
2
1
; x
2
= 2 +
2
1
(thoả mãn)
=> m = 2 là giá trò cần tìm 0,25đ
+ Với m = -2 phương trình đã cho trở thành:
x
2
+ 4x +
2
7
= 0

+)Đường thẳng (d) và parabol y = x
2
có đúng 1 điểm chung
⇔
phương trình (*) có nghiệm duy nhất
⇔

∆
= 0
⇔
9 + 4m = 0
⇔
m = -
4
9
0,25đ
=> phương trình đường thẳng (d) là y = 3x -
4
9
0,25đ
Bài 4:
Câu 1: (0,75đ)
+) Vì AD và AH là các tiếp tuyến của đường tròn (M,MH) cùng xuất phát từ đỉnh A
=> AD = AH (1) 0,25đ
+) Vì BH và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (M, MH) cùng xuất phát từ đỉnh B
=> BC = BH (2) 0,25đ
+) Từ (1) và(2) => AD + BC = AH + BH = AB = 2R = không đổi

A
B

 OM là đường trung bình của hình thang ABCD
 OM // AD 0,25đ
LẠi có AD
⊥
CD => OM
⊥
CD 0,25đ
Mà Om là đường kính của đường tròn (O)
=> CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25đ
Câu 3;(1đ)
Ta có : 4.AD.BC = (AD + BC)
2
- (AD – BC)
2
0,25đ

≤
(AD +BC)
2
= 4R
2
0,25đ
=> AD.BC
≤
R
2
0,25đ
Đẳng thứ xảy ra
⇔
AD = BC

Cho A = (
)1
1
).(1
1
−
−
−
+
+
+
a
aa
a
aa
Với 1
0≥≠ a
a . Rút gọn A
b. Với 1
0
≥≠
a
. Tìm a sao cho A = - a
2

Bài 2: (2 điểm)
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm : M(2 ; 1) và N(5; -
2
1
) và đường thẳng (d):

++++
nn
Đáp Án:
Bài 1:
a) A = (
)1
1
).(1
1
−
−
−
+
+
+
a
aa
a
aa
=






−
−
−

⇔



−=
≥≠
2
01
aA
a

⇔



−=−
≥≠
2
1
01
aa
a

⇔





15
2
15
01
a
a
a⇔
a =
2
15
−

Bài 2:
a) Vì đường thẳng (d) : y = ax + b đi qua 2 điểm M và N nên lần lượt thay x = 2, y = 1
và x = 5 , y = -
2
1
vào phương trình đường thẳng (d), ta có hệ phương trình





+=−
+=
ba
ba

21
a
ba

⇔







−=
+−=
2
1
)
2
1
.(21
a
b

⇔





−=

≤≤
b
)
Tổng hai chữ số của nó la:ø a + b
Theo bài ra ta có phương trình : a+ b =
8
1
ab hay : a+b =
8
1
(10a+ b) (1)
Tích hai chữ số của nó là : a.b
Theo đầu bài ta có phương trình: ab + 13 = ba hay : ab + 13 = 10b + a (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:





+=+
+=+
abab
baba
1013
)10(
8
1

⇔


/
) ta được :
2
7b
.b + 13 = 10b +
2
7b

⇔
7b
2
– 27b + 26 = 0
Có :
∆
= 27
2
– 4.7.26 = 1 =>
∆
= 1 => b
1
=
14
127
+
= 2 (thoả mãn)
b
2
=
14
127

=> góc BPA = góc BME
Mà 2 góc này ở vò trí đồng vò => ME // AP. mà AP
⊥
BC => EM
⊥
BC
c)Ta có F là điểm đối xứng của N qua BC mà N
∈
(O) => F
∈
(O) (Tính chất đối
xứng)
Tam giác AME cân (vì có AB
⊥
ME => HM = HE => AH vừa là đường cao vừa là
trung tuyến) nên AM = AE (1)
Tam giác NAF cân ( vì NF
⊥
AC => KN = KF => AK vừa là đường cao cừa là trung
tuyến) . Nên AN = AF (2)