Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức bằng cách đa về dạng A
x


0 hoặc A
x


0
a, Cơ sở lý luận
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = A
x
/ A
x


0 thì GTNN của A
x
= 0

Nếu M = A
x
/ A
x



Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M
x
= - 5x
2
4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có M
x
= - 5x
2
4x + 1 = -5 ( x +
5
2
)
2
+
5
9

Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +
5
2
)
2


0 . Vậy M
x



A
x
=
x
xx
3
1615
2
++
Vói x là các số thực dơng .
Lời giải: Ta có A
x
=
x
xx
3
1615
2
++
=
3
23
3
)4(
2
+

x
x
với mọi x >0 thì

xx
với x thuộc tập hợp số thực.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
1
Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lời giải:Ta có M
x
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
= 3 +
2)1(
1
2
++
x
. Vì
2)1(
1
2
++
x

xyyx
xyyxy
với x, y là các số thực.
Lời giải:Ta có F
x,y
=
22
1)(
2442
222
+++
++
xyyx
xyyxy
=
)2)(1(
1
24
4
++
+
xy
y
vì y
4
+1

0 với mọi giá trị
của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y
4

2
1
với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý.
III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng
bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có:
a + b
ab2

đạt đợc dấu = khi a=b .
a + b+ c
abc3

đạt đợc dấu = khi a=b = c .
2. Các ví dụ :
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
x
=
x
x 28
2
+
với x > 0.
Lời giải:Ta có A
x
=
x
x 28
2

= 8 với x =
2
1
.
Ví dụ 7 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B
x
= 16x
3
- x
6
với x thuộc tập hợp các số thực dơng .
Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có
B
x
= 16x
3
- x
6
= x
3
(16- x
3
) . Ta có x
3
> 0 , còn 16 x
3
> 0 khi 16 > x
3

khi x
3
= 16- x
3
=> x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của B
x
= 64 , với x=2.
IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn
phụ :
Ví dụ 8 :
Với giá trị nào của x thì biểu thức
P
x
=
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: Ta có : P
x
=
52
3568056164
2
234

là hai đại lợng
luôn dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và
y
256
ta có :
4y +
y
256
6416.2.2
256
.42
==
y
y
. Dấu = xẩy ra khi 4y =
y
256
=> y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của P
x
= 64.
Ví dụ 9 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Q
x
= (x
2
- 2x + 2)(4x- 2x
2
+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực.

2
2
hoặc x= 1 -
2
2
.Vậy GTLN của Q
x
= 4,5 với x = 1+
2
2
hoặc x= 1 -
2
2
.
Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
H
x
= (8 + x
2
+ x )(20 x
2
x) với x là các số thực tuỳ ý .
Lời giải: Ta có : * 8+ x
2
+ x =( x+
2
1
)
2

Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
(8+ x
2
+ x )+( 20 x
2
x)
)20)(8(2
22
xxxx
++
14
)20)(8(
22
xxxx
++
=> 196

(8 + x
2
+ x )(20 x
2
x) .Dấu = xẩy
ra khi 8+ x
2
+ x =20 x
2
x => x= 2 hoặc x= -3.
Hay H
x

+ (p-1)
2
+ 2 .
Ta thấy (X+5)
2


0 ; (p-1)
2


0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.
Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3
Ví dụ 12 :
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x
2
+ 26y
2
10xy +14x 76y + 59. đạt giá trị nhỏ
nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Ta có F = x
2
+ 26y
2
10xy +14x 76y + 59 = ( x-5y)
2
+ (y-3)
2
+14(x-5y)+50.

2
-
24yz +8z
2
) + (8x
2
16xz + 8z
2
) + 2x
2
+ 5 hay
P = 9(x+2y)
2
+ 2(3y 2z)
2
+ 8(x- z )
2
+ 2x
2
+ 5 .Ta thấy (x+2y)
2


0 ;
(3y 2z)
2

0; (x- z )
2


+ a
2
2
+......+a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
.......b
n
2
)
Dấu bằng xẩy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
......
2
2
1



3.(x
2
+ y
2
+ z
2
) . Từ đó ta có :
P = x
2
+ y
2
+ z
2


3
1995
3
)(
22
=
++ zyx
( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).
Vậy GTNN của P =
3
1995
2
dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =

2
}( x
2
+ y
2
+ z
2
) .
Hay Q
2


{ 2
2
+ 4
2
+ (
5
)
2
}( x
2
+ y
2
+ z
2
) vì x
2
+ y
2

;
5
52

z =
5
513
;
5
513

VII. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho biểu thức : Q =
544
3
2
+
xx
. Tìm GTLN của Q.
Bài 2: Biểu thức : P =
2
12
2
+
+
x
x
có giá trị lớn nhất không ?
Hãy chứng tỏ khẳng định của mình.
Bài 3: Cho biểu thức : A =

4
2
1 x
x
+
. Hãy tìm GTLN của A.
Bài 7: Cho biểu thức: Y =
x
xx )8)(2(
++
. Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y.
Bài 8: Cho biểu thức: Y =
1
122
23

+
x
xxx
. Tìm GTNN cua Y.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
5