PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2009-2010
Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : (1,5đ) Phân tích thành nhân tử : x
3
– 19x -30
Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : n
3
- n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
Câu 3 : (1,5đ) cho
ABC
∆
vuông tại B,BH
⊥
AC (H
∈
AC),M là trung điểm của BH .Gọi K là
điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM
⊥
KH.
Câu 4 : (1,5đ) Cho
ABC∆
vuông tại A. Chứng minh :
·
2

Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n>1 không phải là
số chính phương.
Câu 11 : (2đ ) Cho
ABC∆
(
AB AC≠
).vẽ phân giác AD (
D BC∈
).Ở miền ngoài tam giác vẽ tia
Cx sao cho
·
·
BCx BAD=
và tia Cx cắt tia AD tại I. Chứng minh : AI.AD.DC = AC
2
.DB
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 15 và a – 74 là các số chính phương.
----------- HẾT ----------

HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................

M
3 0,5đ
=> A
M
6 0,5đ
Câu 3 : (1,5đ) Cho
ABC∆
vuông tại B,BH
⊥
AC (H
∈
AC),M là trung điểm của BH .Gọi K
là điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM
⊥
KH.
Gọi N là trung điểm của HC,chứng minh MN
⊥
AB 0,5đ
Chứng minh M là trực tâm
ABN∆
=>AM
⊥
BN 0,5đ
Chứng minh KH//BN=>AM
⊥
KH 0,5đ

Câu 4 : (1,5đ) Cho
ABC
∆

·
2
ABC AC
tg
AB BC
=
+
0,5đN
M
K
H
B
A
C
D
A
C
B
Câu 5 : (1,5đ) Chứng minh rằng
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
ay bx a b x y ax by
− = + + − +
Vế phải :

bc bc bc
+ + = + +
+ + + + + + + +
+ + + +
0,5đ

1
1 1 1
1
1 1
b c
bc
bc b
c
c bc b
= + +
+ +
+ + + +

1
1 1
1
b c
bc
b bc bc b
bc b
bc b
= + +
+ + + +
+ +

( )
2
2
' 'O C OO R r= − −
=>
( )
2
2
'AB OO R r= − −
0,5đ
OO’> R+r => OO’
2
>(R+r)
2
=>
( ) ( )
2 2
AB R r R r> + − −
0,5đ
=>
4 2AB Rr AB Rr> ⇔ >
0,5đ
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng 9n + 2 và 12n + 3 (
n N∈
) là hai số nguyên tố cùng
nhau.
Gọi d là ước chung lớn nhất của 9n + 2 và 12n + 3 ;
d N∈
=>
(9n 2) d (36n 8) d

5 3 29 12 5− − −
( )
2
29 12 5 2 5 3− = −

5 3 2 5 3 5 6 2 5P⇒ = − − + = − −
0,75đ
( )
2
6 2 5 5 1− = −

5 5 1P⇒ = − +
0,5đ
⇒
P = 1 0,25đ
Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n>1 khơng
phải là số chính phương.
n
6
– n

2
( n+1 )
2
.( n
2
–2n+2) 0,5đ
Với n
∈
N, n >1 thì n
2
-2n+2 = (n - 1)
2
+ 1 > ( n – 1 )
2
và n
2
– 2n + 2 = n
2
– 2(n - 1) < n
2

Vậy ( n – 1)
2
< n
2
– 2n + 2 < n
2

⇒
n


AC
AB
DC
DB
=
(doAD là phân giác cuả Â)

⇒
DB.AC = AB.DC (1) 0,75đ
Chứng minh
∆
ADB ~
∆
ACI
⇒
AI
AB
AC
AD
=⇒
AD.AI = AB.AC (2)
0,75đ
chia từng vế cuả (2) cho(1)ta được:

DCAB
ACAB

(m – n)(m + n) = 89 0,25đ
Vì 89 là số ngun tố và m – n < m + n nên
m n 1
m n 89
− =


+ =

⇔
m 45
n 44
=


=

0,75đ
a +15 = 45
2

⇒
a = 2010 0,25đ
----------- HẾT ----------
Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
D
I
A
B
C