ChươngII: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯƠNG GIÁC TỔNG QUÁT
I. Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Dạng 1: Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng 1 hoặc dạng 2
Ví dụ 1. Giải phương trình: cos3xcos
3
x + sin3xsin
3
x =
4
2
( 1 )
( 1 )
⇔
cos3x(3cosx + cos3x) + sin3x(3sinx – sin3x) =
2

⇔
3(cos3xcosx + sin3xsinx) + cos
2
3x – sin
2
3x =
2

⇔
3cos2x + 4cos
3
2x – 3cos2x =
2


Z
∈
)
Ví dụ 2. Giải phương trình: 3sin4x -
3
cos12x = 1 + 4sin
3
4x ( 2)
( 2 )
⇔
3sin4x – 4sin
3
4x -
3
cos12x = 1
⇔
sin12x -
3
cos12x = 1

⇔

2
1
sin12x -
2
3
cos12x =
2
1








+=−
+=−
π
ππ
π
ππ
2
6
5
3
12
2
63
12
kx
kx
( k
∈
Z )
Ví dụ3. Giải phương trình:
x
xx
sin8

sinx = 4sinxsin2x
⇔
cosx +
3
sinx = 2(cosx – cos3x)

⇔
cosx -
3
sinx = 2cos3x
⇔

2
1
cosx -
2
3
sinx = cos3x

⇔






+−−=
++=
π
π

Z ), thỏa điều kiện ( a )
Lưu ý: Với bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, ta có thẻ kiểm tra điều kiện bằng
một trong ba cách sau:
+ Thay các giá trị x vừa tìm được vào điều kiện để kiểm tra thỏa hay không.
+ Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng
giác. Ta sẽ bỏ ngọn cung tiềm được khi nó trùng với ngọn cung điều kiện.
+ So với các điều kiện trong quá trình giải.
Ví dụ4. Giải phương trình:
xx
x
xx
sincos3
sin21
3cos3sin
+=
+
+
( 4 )
Điều kiện: sin2x
2
1
−≠
Ta có: sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin
3
x + 4cos
3
x – 3 cosx
= 3(sinx – cosx) – 4(sin
3
x – cos

Điều kiện:



≠
≠
013cos
08sin x
( 5 )
⇒
sin3xcos8x = sin8xcos13x
⇔
sin11x – sin5x = sin21x – sin5x

⇔
sin21x = sin11x
⇔




+−=
+=
π
π
21121
21121
kxx
kxx


≠

⇔
k không chia hết cho 5
⇔
k = 5m ( m
∈
Z )
Cos13x = cos
5
13
π
k

≠
0 khi k
≠
5m ( m
∈
Z )
+ Với x =
1632
ππ
k
+
, ta có:
Sin8x = sin




Zk
∈∀
Vậy nghiệm của ( 5 ) là:






+=
≠=
1632
)5(
5
ππ
π
kx
mkkx
( k
∈
Z )
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1: sin5x – cos3x =
3
(sin3x – cos5x)
Bài2:
2
sin4x – sin3x = cos3x
Bài3: cos





++






+
ππ
Bài7: 2tanx + cotx =
x2sin
2
12
+−
Bài8: tan2x – tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x
Bài9:
1
9cos
sin5cot
=
x
xx
Bài10:
1
3sin
5tan7cos

π
2
3
kx
+±=
( k
∈
Z )
Ví dụ2. Giải phương trình: cos
2
4x = cos
2
x ( 2 )
( 2 )
⇔
2cos
2
2x – 1 =
2
1
(1 + sos2x)
⇔
4cos
2
2x – cos2x – 3 = 0

⇔




kx
4
3
arccos
2
1
( k
∈
Z )
Ví dụ. Giải phương trình:
2
2cos2cot
4sin2cot32cos
=
−
++
xx
xxx
( 3 )
Điều kiện:



≠−
≠
02cos2cot
02sin
xx
x


≠
≠
02cos
02sin
x
x

⇔
sin4x
≠
0
Với điều kiện trên ta có:
(3)
⇔
cos2x +3cot2x + sin4x = 2(cot2x – cos2x)

⇔
3cos2x + cot2x + sin4x = 0

⇔
cos2x(3 +
x2sin
1
+ 2sin2x ) = 0

⇔
2sin
2
2x + 3sin2x + 1 = 0


π
π
π
π
kx
kx
kx
12
7
12
2
( k
∈
Z )
Giao với điều kiện ta được nghiệm của ( 3 ) là:






+=
+−=
π
π
π
π
kx
kx
12

x(1 – cos2x) = 0

⇔




=
=
2
1
2cos
0cos
x
x

⇔







+±=
+=
π
π
π
π

0sin

⇔

02sin
≠
x
Với điều kiện trên ta có:
( 5 )
⇔

3tan2
cotsin
tansincottan
22
2222
=+
+
+
x
xx
xxxx

⇔

3tan2
cotsin
)sin(cottan
22
222

+−=
+=
π
π
π
kx
kx
3arctan
4
( k
∈
Z ), thỏa điều kiện.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1:
023sin)31(22cos2
=−+−+
xx
Bài2:
2tan
3
32
cos
1
2
=+
x
x
Bài3: 3sin
4

x
x
x
x
Bài5: (2sinx – 1)(cos2x + 3sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
Bài6: tanx – cotx + 3cot
2
2x = 5
Bài7:
8
2sin
6
cot3tan4
cotsin
sintan1
2
+=++






+
+
x
xx
xx

=
( 1 )
( 1 )
⇔

)2cos1(
2
1
1
3
2
cos2
2
x
x
+=−

⇔







=−
3
2
3cos3
3

=






−






−
xx

⇔

01
3
2
cos1
3
4
cos2
=




4
cos
x
x

⇔





=
+±=
π
ππ
kx
kx
3
2
3
4
( k
∈
Z )
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2cosxcos2xcos3x = 7cos2x + 4 ( 2 )
( 2 )
⇔
cos2x(cos4x + cos2x) – 7cos2x – 4 = 0

⇔

Z )
Ví dụ4. Giải phương trình: cos
4
x – cos2x + 2sin
6
x = 0 ( 3 )
( 3 )
⇔

0
2
2cos1
22cos
2
2cos1
32
=






−
+−






=
=
22cos
12cos
x
x

⇔
cos2x = 1
⇔

π
kx
=
( k
∈
Z )
Ví dụ 5. Giải phương trình:
5
4
cos3
5
3
cos21
2
xx
=+
( 4 )
( 4 )
⇔

23
=+−−+
xxx

⇔

05
5
2
cos3
5
2
cos6
5
2
cos4
23
=+−−
xxx

⇔

05
5
2
cos2
5
2
cos41
5

+
=
−
=
=
4
211
5
2
cos
4
211
5
2
cos
1
5
2
cos
x
x
x

⇔







4
211
arccos
2
5
5
kx
kx
( k
∈
Z )
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1: 2cos3x + 2cosx + 1 = 0
Bài2: 9sin3x + 12cos2x – 27sinx – 8 = 0
Bài3: 2sinxcos2xsin3x + 3cos2x = 2
Bài4: cos4x = cos
2
3x + sin
2
x
Bài5:
2
3
cos
4
1
2
5
cos

33
=+
+
+
x
xx
xx
Bài7: cos9x – 5cos6x +6 = 0
Bài8: cos4x = cos
2
3x
Bài9:
xx sin2
4
sin
3
=






−
π
Bài10:
xx
x
xx
22






−=
=
5
1
cos
2
1
cos
2
2
x
x

⇔

2
1
cos
2
=
x

⇔
02cos
=

3
t
. Khi đó ta có:
( 2 )
⇔

8
1
2
1
2
1
44
=






−+






+
tt
Ta nhận thấy: (a + b)

+ (a – b)
4
= 2a
4
+ 12a
2
b
2
+ 2b
4
Do đó ( 2 )
⇔
2t
4
+ 3t
2
= 0
⇔
t = 0
⇔
2
1
cos
=
x

⇔

π
π

1
sin
2
2x)
2
-
8
1
sin
4
2x
= 1 – sin
2
2x +
8
1
sin
4
2x
Do đó ( 3 )
⇔
8(1 – sin
2
2x +
8
1
sin
4
2x) = (1 – 2sin
2

∈
Z )
Ví dụ 4. Giải phương trình: sin5x = 5sinx ( 4 )
( 4 )
⇔
sin5x – sinx = 4sinx
⇔
2cos3xsin2x = 4sinx

⇔
2(4cos
3
x – 3cosx)2sinxcosx = 4sinx
⇔
sinx(4cos
4
x – 3cos
2
x - 1) = 0

⇔
sinx(4cos
2
x + 1)(cos
2
x – 1) =0
⇔
cos
2
x = 1 v sinx = 0

2
4x +
4
1

⇔
4(sin
6
x + cos
6
x) – 3(sin
4
x + cos
4
x) = cos
2
4x +
4
1

⇔
4(1 -
4
3
sin
2
2x) – 3(1 -
2
1
sin







=
=
8
1
sin
2
1
sin
2
2
x
x

⇔





=
=
4
3
4cos

4
x = 4
Bài2: 8sin
4
x + 8(1 – sinx)
4
= 1
Bài3: Sin
8
x + cos
8
x =
138
97
Bài4:
4
5
4
cos
4
sincos
444
=






−+

Bài9: sin
8
x + 15cos
8
x = 16(sin
10
x + cos
10
x)
Bài10:
1
sin2sin
sin3sin
2
tancos
cotcos1
44
44
=
+
−
+
+
xx
xx
xx
xx
Dạng5: Biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp.
Ví dụ 1. Giải phương trình: cosx + sinx – 4cos
3

4
( k
∈
Z )
Ví dụ 2. Giải phương trình: 4sin
3
x + 3cos
3
x = 3sinx + sin
2
xcosx ( 2 )
Ta nhận thấy sinx = 0 không phải là nghiệm của ( 2 )
Do vậy chia hai vế của ( 2 ) cho sin
3
x ta được:
4 + 3cot
3
x = 3(1 + cot
2
x) + cotx

⇔
3cot
3
x – 3cot
2
x – cotx + 1 = 0
⇔
(cotx – 1)(3cot
2

π
π
kx
kx
3
4
( k
∈
Z )
Ví dụ 3. Giải phương trình: 2cos
3
x – 3sin2xsinx = 4sinx – 2sin3x ( 3 )
( 3 )
⇔
2cos
3
x – 6sin
2
xcosx = 4sinx – 2(3sinx – 4sin
3
x)

⇔
2cos
3
x – 6sin
2
xcosx + 2sinx – 8sin
3
x = 0 ( 3

1cot
x
x

⇔







+±=
+−=
π
π
π
π
kx
kx
6
4
( k
∈
Z )
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1: 3sinx – cosx = 4cos
3
x

32
cot321
+=+
Bài5:
x
xx
2sin
2
tan33tan2
2
+=+
Bài6: 1 + 5sin2x = 6tanx
Bài7: 3cos2x + 5sin2x = 4cotx + 1
Bài8:
xx 3cos
3
sin8
3
=






+
π
Bài9:
1
)tan1)(tan1(cos2





−=
=
2
1
cos
02sin
x
x

⇔







+±=
=
π
π
π
2
3
2
2