SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ II KHỐI 11
NĂM HỌC 2019 - 2020
Mơn: Tốn

A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. Lý thuyết
1. Giới hạn
a, Giới hạn dãy số.
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim = 0 ; lim k = 0 (k ∈ ¢ + )
n →+∞ n
n →+∞ n
n
lim q = 0 ( q < 1) ; lim C = C

GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
k
+
lim n = +∞ lim n = +∞ (k ∈ ¢ )
lim q n = +∞ (q > 1)
2. Định lí:
1
a) Nếu lim un = +∞ thì lim = 0
un

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un = a thì a ≥ 0 và
lim un = a
c) Nếu un ≤ vn , ∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q 2 + ... = 1 ( q < 1)
1− q

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a thì
khi a > 0
 +∞
lim ( un .vn ) = 
khi a < 0
 −∞
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:
0 ∞
, , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vơ
0 ∞
định.

b, Giới hạn hàm số.
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số)
x → x0

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
 +∞ khi k = 2n

thì: xlim
→ x0
lim [ f ( x) − g ( x) ] = L − M

x → x0

lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M

x → x0

f ( x) L
=
(nếu M ≠ 0)
x → x0 g ( x )
M
b) Nếu f ( x ) ≥ 0 và lim f ( x) = L
lim

x → x0

x → x0

thì L ≥ 0 và xlim
→x

lim f ( x) = L

f ( x) = L

x → x0


lim g ( x )

x → x0

+∞
−∞
+∞
−∞

lim f ( x).g ( x )

x → x0

+∞
−∞
−∞
+∞

* Quy tắc 2:
f ( x) = L ≠ 0 và lim g ( x ) = 0 thì:
Nếu xlim
→ x0
x → x0


lim f ( x) = L

Dấu của
g ( x)

f ( x) = f ( x0 )
* Hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số y = f ( x ) liên tục tại x0 ⇔ xlim
→ x0

Để xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f ( x0 ) .

f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim+ f ( x) , lim− f ( x ) )
B2: Tính xlim
→ x0
x → x0
x → x0
f ( x) với f ( x0 ) và rút ra kết luận.
B3: So sánh xlim
→ x0

* Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số y = f ( x ) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
* Hàm số liên tục trên một đoạn [ a; b ] :

f ( x) = f (a ), lim− f ( x) = f (b)
Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( a; b ) và xlim
→a+
x →b
• Hàm số đa thức liên tục trên ¡ .
• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
• Giả sử các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục tại điểm x0 . Khi đó:
+, Các hàm số y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) .g ( x ) liên tục tại x0 .
+, Hàm số y =

f ( x)

( u ) ' = n.u
n

n −1

.u '

'

u'
1
 ÷=− 2
u
u
u'
u '=
2 u

'

1
1
 ÷=− 2
x
 x
1
x '=
2 x

( )



y = f ′ ( x0 ) . ( x − x0 ) + f ( x0 )
c, Đạo hàm cấp cao:
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f ′′ = ( f ′ ) ′ .

(

)

- Đạo hàm cấp n của hàm số: f ( n ) = f ( n −1) ′ .
II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
n3 − 2n bằng:
Câu 1: lim
1 − 3n 2
1
A. −
3
Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

n3 + 4n − 5 bằng:
lim 3
3n + n 2 + 7
1


(

C.

B. −∞

A. 1
Câu 5:

C. −∞

B. +∞

)

1
4

D.

2
3

D.

1
2

C. +∞

3

3n − 4.2n +1 − 3 bằng:
Câu 8:
3.2n + 4n
A. +∞
B. 1
C. 0
n
n −1
2 + 5 . Khi đó limu bằng:
n
Câu 9: Cho un =
5n
7
1
A. 0
B.
C.
5
5
Câu 10: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
n
n
n
A. ( 0, 999 ) .
B. ( −1, 01) .
C. ( 1, 01) .

D. P = 2 .

n
5n + 5
4n + 5n +1
n − 5n 2

D. −∞

D. 1
D. ( −2, 001) .
n

D. lim

2n3 − 3
−2n 2 − 1

D. un =

1− n
5n + 5


1
1
1
Câu 13: Cho dãy số ( un ) với un = 1.3 + 3.5 + ... + ( 2n − 1) ( 2n + 1) . Khi đó lim un bằng:
1
1
A.
B.

3
D. lim  ÷ = 0, n ∈ N
5

( −1)
1 1 1
Câu 16: Tổng của cấp số nhân vơ hạn − ; ; − ;...; n−1 ;... có giá trị là bao nhiêu?
3 6 12
3.2
1
5
2
2
A. − .
B. − .
C. − .
D. − .
2
6
3
9
1 1 1 1
 1 1
Câu 17: Tổng S =  − ÷+  − ÷+ ... +  n − n ÷+ ... có giá trị là:
 2 3  4 9
2 3 
2
3
1
A. 1

C. 1.

D.

C. 1

D. −

C. –1

D. 0

2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

x 2 − 2 x + 3) bằng
(
Câu 19: Giá trị của lim
x →1
A. 0.
B. 2 .
2 x 2 − 3 x + 1 bằng
Giá
trị
của
lim
Câu 20:
x →1
x2 −1
1
A. 0.


7
3

Câu 24: xlim
→−1

(

x +1

x2 + 3 − 2

bằng

2
.
3

5
4

)

C.

3

2 −1


B. 1

C.

B. 1

C. −∞

D. +∞

B. +∞

C. 0

D. 4

B. –1

C. 3

D. −∞

C. −2

D. −∞

C. −10

D. −6



A. 6

B. 10

x + 1 . Chọn giá trị đúng của lim f ( x ) ?
x →+∞
2 x + x2 − 3
1
2
A. 0
B.
C.
D. +∞
2
2
6 x 2 + 3x + 5 x
Biết
lim
= a + b ( a, b ∈ ¢ ) . Tính giá trị biểu thức P = a 2 + b2 .
Câu 31:
2
x →+∞
4x +1 − x
A. P = 40 .
B. P = 13 .
C. P = 61 .
D. P = 41 .
Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = x.



x →−3

b
c

= a+

( a, b, c ∈ ¥ ; b < 8) . Tính giá trị biểu thức P = a + b + c .

B. P = 6 .

*

C. P = 2 .

D. P = 7 .

C. 0

D. 1

1 − x3 bằng
3x 2 + x

A. +∞
lim−

=a+


Câu 38: xlim
→+∞ 5 x 4 + 3 x + 1

1
3

D. +∞

C. lim

1
= +∞
x→0 x

D. xlim
→0+

C. 2

D. −2

C.

1
=+∞
x


4
3

 ax − 1
A. 2
B. 3

D. 0

D. f ( x) =

x
.
x−2

khi x ≥ 2
f ( x ) tồn tại, giá trị của a là:
. Để lim
x →2
khi x < 2
C. 4
D. 1

3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 41: Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 1 ?
A. f ( x ) = 2 − x .
B. f x = 3 x − 7 . C. f ( x ) = 2 x .
D. f ( x ) = x + 1 .
( )
2
x +1
2x −1
x +1

 x4 + x
 x 2 + x khi x ≠ 0 ; x ≠ −1

Hàm
số
f
x
=
khi x = −1
(
)
3
Câu 45:
1
khi x = 0



C. ( −∞;3 ) .

D. ( 2; 4 ) .

A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [ −1;0]
B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0
C. Liên tục tại mọi điểm x ∈ ¡
D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = −1
 − x cos x khi x < 0
 2
 x
Hàm

 3x + 2 − 2
khi x > 2

x
−
2
. Xác định a để hàm số liên tục tại x = 2 .
Câu 48: Cho hàm số f ( x ) = 
 ax + 1
khi x ≤ 2

4
A. a = 0
B. a = 3
C. a = 2
D. a = 1


 2x + 3 + 3
khi x ≥ −1

m
Tìm
để
hàm
số
liên tục trên ¡ .
f
x
=

4
2
Câu 52: Cho phương trình 2 x − 5 x + x + 1 = 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng ( −2;1)
B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( 0; 2 )
C. Phương trình (1) khơng có nghiệm trong khoảng ( −2;0 )
D. Phương trình (1) khơng có nghiệm trong khoảng ( −1;1)
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
3
Câu 53: Số gia của hàm số f ( x ) = x − 2 x + 1 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia ∆x = 1 bằng bao nhiêu?
A. −17
B. 5
C. 17
D. −5
2
Câu 54: Số gia của hàm số y = x − 1 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia ∆x = 0,1 bằng bao nhiêu?
A. − 0, 01 .
B. 0, 21 .
C. 0,99 .
D. 0, 41 .
2
Câu 55: Số gia của hàm số f ( x ) = x − 4 x + 1 ứng với x và ∆x là:

A. ∆x ( ∆x + 2 x − 4 ) .

B. 2 x + ∆x.
C. ∆x. ( 2 x − 4∆x ) .
∆y
2
ứng với x0 = 2 và ∆x là

2
Câu 59: Cho hàm số f ( x ) = x − x − 3 x . Giá trị f ′ ( −1) bằng bao nhiêu?

D. 2 x − 4∆x.

D. ∆x + 4 .
D. 35

D. Không tồn tại

A. −2 .
B. −1 .
C. 0 .
D. 2 .
2
Câu 60: Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc
của chất điểm tại thời điểm t0 = 3 bằng
A. 5 m s .
B. 4 m s .
C. 6 m s .
D. 9 m s .
5
2
Câu 61: Đạo hàm của hàm số y = x − 2 x + 3 là:
A. 4 x 4 − 2 x .

B. x 4 − 4 x .
1
Câu 62: Hàm số nào sau đây có y ' = 2 x + 2 ?
x

2
4
4
4
A. 10 x + 2 + 5 .
B. 10x − 2 .
C. 10x + 2 .
D. 10x + 2 .
x
x
x
x
7
Đạo
hàm
của
hàm
số
bằng
biểu
thức
nào
sau
đây:
y = −2 x + x
Câu 64:
2
1
1
6

 7 
 7
 7 
 7 
A.  − ;1 .
B.  −1;  .
C.  − ;1 ÷.
D.  − ;1 .
 3 
 3
 3 
 3 
3
Câu 67: Cho hàm số f ( x ) = 2mx − mx . Số x = 1 là nghiệm của bất phương trình f ' ( x ) ≤ 1 khi và chỉ khi:
5
Câu 63: Đạo hàm của hàm số y = 2 x −

A. m ≥ 1

B. m ≤ −1
1
bằng :
Câu 68: Đạo hàm của y = 2
2x + x + 1
− ( 4 x + 1)
− ( 4 x − 1)
2
2
A.
B.

C.
( x + 2) 2
( x + 2) 2
( x + 2) 2
x 2 + x + 3 bằng
Câu 70: Đạo hàm của y = 2
x + x −1
2 ( 2 x + 1)
4 ( 2 x + 1)
4 ( 2 x − 1)
2 .
2 .
2 .
A. − 2
B. − 2
C. − 2
( x + x − 1)
( x + x − 1)
( x + x − 1)
x 2 + 2 x − 3 bằng
Đạo
hàm
của
y
=
Câu 71:
x2 + 2 x −1
2 ( x + 1)
4 ( x + 1)
2


2

D.

2

+ 4 x − 1)

( 2x

D. −

.

2

.

D.

+ x + 1)

2

2

x2 + 8x + 1
( x + 2) 2



.

+ 2 x − 1)

16 ( x + 1)

( 2x

2

+ 4 x − 1)

1 − 3 x + x . Tập nghiệm của bất phương trình ′
f ( x) > 0 là
Câu 73: Cho hàm số f ( x ) =
x −1
A. ¡ \{1}
B. ∅
C. ( 1; +∞ )
D. ¡
2

5
2
Câu 74: Đạo hàm của y = ( x − 2 x ) là :
2

A. 10 x 9 − 28 x 6 + 16 x3



D. −20 x ( 3 − x 2 ) .

B. y ' = 2016 ( x 3 − 2 x 2 )

2015

9

9

là:

( 3x

2

− 4x ) .


3
2
2
C. y ' = 2016 ( x − 2 x ) ( 3x − 4 x ) .

3
2
2
D. y ' = 2016 ( x − 2 x ) ( 3x − 2 x ) .


.

C.

3x 2 − 1

D.

3x − 2 x + 1
2

C. y′ =

C. y ' =

x − 12 x 2
2 x 2 − 4 x3
2 x 2 − 3x

.

1
2 3x − 2 x + 1

D. y′ =

.

D. y ' =


3 3
3

π

Câu 81: Hàm số y = sin  − 2 x ÷ có đạo hàm là:
2

π

π

A. y′ = cos  − 2 x ÷.
B. y′ = −2 cos  − 2 x ÷.
2

2

π

π

C. y′ = − cos  − 2 x ÷.
D. y′ = 2 cos  − 2 x ÷.
2

2

Đạo
hàm

cos 2x
cos 2 x
cos 2 2 x
Câu 84: Hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là:
1
1
1
1
−
+
A. y ′ =
B. y ′ =
sin x
cos x
sin x
cos x
cos x
sin x
cos x
sin x
−
+
C. y ′ =
D. y ′ =
sin x
cos x
sin x
cos x
Câu 85: Hàm số y = cot 2 x có đạo hàm là:
1 + tan 2 2 x

B. y ′ =
C.
2
x
x2
A. y ′ =
Câu 86:

Câu 87:

Câu 88:
Câu 89:

y′ =

tan 2 x +

2x
cos 2 2 x

.

.

−(1 + cot 2 2 x)
cot 2 x

D. tan 2 x +

x

B.
.
C.
.
D.
.
y
=
y
=
y
=
sin 5 2 x
sin 6 2 x
sin 2 2 x
sin 5 2 x
Câu 91: Cho hàm số y = sin 2 + x 2 . Đạo hàm y ′ của hàm số là
2x + 2
x
cos 2 + x 2
cos 2 + x 2
A.
B. −
2
2
2+ x
2+ x
x
( x + 1)
cos 2 + x 2

π
π
π
A. x = + k 2π
B. x = − kπ
C. x = − + k 2π
D. x = − + kπ
3
3
3
3
3
Câu 94: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x − 5 x + 4 tại điểm M (−1;8) là:
A. y = −2 x + 6
B. y = 2 x − 6
C. y = − x + 3
D. y = x − 3
3
2
Câu 95: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = x − x + 2 x − 1 tại điểm có hồnh độ x0 = −2 là
A. y = 18 x + 19 .
B. y = 18 x − 19 .
C. y = 20 x + 4 .
D. y = 20 x − 4 .
3
2
Câu 96: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = x − 2 x + x − 1 tại điểm có hồnh độ x0 = −2 là
A. y = 16 x − 37 .
B. y = 16 x + 37 .
C. y = 8 x − 11 .

3
bằng . Đó là các tiếp tuyến:
4
3
29
3
3
37
3
A. y = x +
hoặc y = x + 3
B. y = x −
hoặc y = x − 3
4
24
4
4
12
4
3
37
3
13
3
29
3
C. y = x +
hoặc y = x +
D. y = x −
hoặc y = x + 3

thị
(C).
Tiếp
tuyến
của
(C)
song
song
với đường thẳng
y = x − 6x + 9x
Câu 102:
d : y = 9 x có phương trình:
A. y = 9 x + 40
B. y = 9 x − 40
C. y = 9 x + 32
D. y = 9 x − 32
x
Câu 103: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = sin x , x ∈ [ 0; 2π ] song song với đường thẳng y = là
2
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .


4
Câu 104: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x + x . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d : x + 5 y = 0
có phương trình là:
A. y = 5 x − 3
B. y = 3x − 5

B. y = 2 x 3 .

C. y = x 3 .

D. y = x 2 .

2 x 2 − 3 x . Đạo hàm cấp hai của hàm số
Cho
hàm
số
y = f ( x ) là
y
=
f
x
=
(
)
Câu 108:
x −1
1
2
−2
2
A. y ′′ = 2 +
2 .
B. y ′′ =
3 .
C. y ′′ =
3 .

5π
π
5π
π
π
A. x = , x =
.
B. x = , x =
.
C. x = 0, x = .
D. x = 0, x = .
2
6
3
6
3
2
B. HÌNH HỌC
I. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
uuur uuur uuur
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD , ta có: AB + AD = AC
uuur uuur uuur uuuu
r
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ , ta có: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
uu
r uur r uuu

uuur
uuuu
r OA − kOB
Ta có: MA = k MB; OM =
1− k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.


r
r
r r r
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , trong đó a và b khơng cùng phương.
r
r r r
r
r
Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃ ! m, n ∈ ¡ : c = ma + nb
r
r
r r r
r
r
r
• Cho ba vectơ a , b , c khơng đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ∃ ! m, n, p ∈ ¡ : x = ma + nb + pc
3. Tích vơ hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
uuur r uuur r
r r ·
·

0
180 − α neu 90 < α ≤ 180
• Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( a¶, b ) = 00

( )

Chú ý: 00 ≤ ( a¶, b ) ≤ 90 0
3. Hai đường thẳng vng góc
• a ⊥ b ( aả, b ) = 900
r
r
rr
ã Gi s u l VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a ⊥ b ⇔ u .v = 0 .
• Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
III. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa
d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng
 a, b ⊂ ( P ), a ∩ b = O
⇒ d ⊥ ( P)

 d ⊥ a, d ⊥ b
3. Tính chất

• Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
 a // b
a ≠ b
⇒ ( P) ⊥ b
⇒ a // b

 a ⊥ ( P)
⇒ ( (·P ), (Q) ) = ( aả, b )
ã
b

(
Q
)


a ( P ), a ⊥ c
• Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c . Từ I ∈ c , dựng 
⇒( (·P ), (Q) ) = ( a¶, b )
b
⊂
(
Q
),
b
⊥
c

0
0
·
Chú ý: 0 ≤ ( ( P), (Q) ) ≤ 90

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác ( H ) trong ( P ) , S ′ là diện tích của hình chiếu ( H ′ ) của ( H ) trên
( Q ) , ϕ = ( (·P), (Q ) ) . Khi đó: S ′ = S .cosϕ


2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.


Cho mặt phẳng ( α ) và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( α ) . Khi

đó: d ( M , ( α ) ) = MH
3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng.

Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( α ) song song với nhau.

Khi đó d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) , M ∈ ∆ , M bất kì.
- Nếu ∆ cắt (α ) hoặc ∆ nằm trong (α ) thì d (∆, (α )) = 0 .
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) song song với nhau. Khi đó:

d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M ,( β ) ) = d ( N,( α ) ) , M ∈( α ) , N ∈( β ) .

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b . Độ dài đoạn vng góc chung MN của a và b được gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b .

II. BÀI TẬP
1. PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHƠNG
GIAN

Câu 1:

Qua phép chiếu song song, tính chất nào khơng được bảo tồn ?

Hình chiếu của hình chữ nhật khơng thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình chữ nhật
D. Hình thoi
Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định các điểm M , N tương ứng trên các đoạn AC ', B ' D '
sao cho MN song song với BA ' và tính tỉ số
A. 2

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

B. 3

Câu 10:

D. 1

2. VECTO TRONG KHÔNG GIAN
r
r r r
r r
Cho ba vectơ ar , br, cr không đồng phẳng. Xét các vectơ rx = 2ar − br; u
y = −4a + 2b; z = −3b − 2c .
Chọn khẳng định
u
r r đúng?

uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
A. MP = c + d + b
B. MP = c + b − d C. MP = d + c − b D. MP = d + b − c
2
2
2
2
Chọn mệnh đề sai:
uuur uuur uuur uuuu
r
A. AB + AD + AA ' = AC ' với ABCD. A′B′C ′D′ là hình hộp
uuur uuur uuur
B. AB + BC = AC
uuur uuur uuur
C. AB + AD = AC với ABCD là hình bình hành
uuur uuur uuur
D. AB − AC = BC
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để

(

Câu 9:

MA
.
MC '
C. 4


uu
r uuur uuu2r r
C. OA + OC = OB + OD
D. OA + OB + OC + OD = 0
Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích
Câu 11:
uuuu
r
uuur uuur
hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AC + BD

(

)

1
1
B. k =
C. k = 3
D. k = 2
2
3
Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
Câu 12:
uuur uuu
r uuur uuur r
2
uuu
r uuur
AD

2
Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a. Ta có
Câu 14: uuu
r uuur
AB.EG bằng:
D. a2 2
a 2
a 3
2
uu
r r uuur r uuur r gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong
Cho tứ diện ABCD . Đặt u
AB = a, AC = b, AD = c,
Câu 15:
các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur r r r
A. AG = a + b + c
B. AG = a + b + c C. AG = a + b + c D. AG = a + b + c
3
2
4
Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
1 1 1 1
Câu 16:
uuur 1 uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu

A. 600
B. 450
C. 1200
D. 900
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC
·
·
·
= BAD
= 600 , CAD
= 900 . Gọi I và J lần lượt là
Câu 19:
uu
r
uuur
trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ?
A. 450
B. 900
C. 600
D. 1200
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Câu 20:
A. Nếu a và b cùng vng góc với c thì a//b
B. Nếu a//b và c ⊥ a thì c ⊥ b
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a//b
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp (α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ·
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
·
·

C. 300
D. 600
Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai
Câu 25:
đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
A. a2

B.

C.

2

(

(
(

)
)

)

2

(

(
(


D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vng góc với nhau.
uuur uuuu
r
Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị u
B1M .BD1 là:
1 1 1 1
1 2
3 2
3 2
a
B. a 2
C. a
D. a
2
4
2
Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm CD, α là góc giữa AC và BM. Chọn

A.
Câu 28:

khẳng định đúng?
1
3
3
A. cos α =
B. cos α =
C. cos α =
D. α = 600
3

3
4. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Câu 31:

Cho hình chóp SABC có SA⊥(ABC). Gọi H, K lần
lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề
nào sai trong các mệnh đề sau?
A. BC ⊥ (SAH).
B. HK ⊥ (SBC).
C. BC ⊥ (SAB).
D. SH, AK và BC đồng quy.

Câu 32:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy. Gọi
E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SC ⊥ ( AED )
B. SC ⊥ ( AFB )

Câu 33:

C. AC ⊥ ( SBD )
D. SC ⊥ ( AEF ) .
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vng góc với đáy. Hỏi BC vng góc
với mặt phẳng nào sau đây:
A. (SAC)
B. (SBD)

C. (SAB)


5
2
A. 5
B. 3
C.
D. 5
Câu 37:

Câu 38:

Câu 39:

Câu 40:

Câu 41:
Câu 42:

Câu 43:

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B, SA ^ (ABC). Gọi (P) là mặt phẳng qua
A và vng góc với SC,cắt SC ở E và cắt SB ở F. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là:
A. Hình thang vng
B. Tam giác đều
C. Tam giác cân
D. Tam giác vng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S lên (ABC)
trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa
SA và (ABC).


góc giữa SC và mp(ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
3
A. α = 300
B. cos α =
C. α = 450
D. α = 600
3
Cho a, b, c là các đường thẳng trong khơng gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c.
B. Nếu a vng góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b.
C. Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a.


Câu 45:

D. Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vng góc với mặt phẳng (a, c).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên
mp(ABC). Xét các mệnh đề sau:
I. Vì OA ⊥ OB và OA ⊥ OC nên OC ⊥ (OAB).
II. Do AB ⊂ (OAB) nên AB ⊥ OC. (1)
III. Có OH ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OH.(2)
IV. Từ (1) và (2) ⇒AB ⊥ (OCH).
Trong các mệnh đề trên, các mệnh đề đúng là:
A. I, II, III, IV.
B. I, II, III.
C. II, III, IV.

Câu 46:


Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO⊥(ABCD).

1
. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD).
2
A. 750
B. 450
C. 300
D. 600
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 6a , các cạnh bên bằng 8a . Gọi γ là góc
Câu 49:
giữa SB và (ABC). Tính cos γ .
2
B. 3
C. 1
D. 3
A.
3
3
2
4
5. HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

·
Biết tan SOB
=

Câu 50:

Câu 51:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD, AB= a , BC=

, SB ⊥ (ABCD), SC= 2a .

Gọi α là góc giữa mặt phẳng (SAD) và (ABCD). Khi đó sin α bằng
6
A. 2

Câu 54:

a 2

B.

2

2
C. 3

6
D. 3

Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD. A′B ′C ′D′ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng
(ABCD) và (ABC’) có số đo bằng 600. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:
A. 2a
B. 3a
C. a 3
D. a 2



Câu 57:
giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) thì cos β bằng
14
B. 14
C. 14
3
2
7
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng ABCD cạnh

A.
Câu 58:

21
7
a 3 , SD ⊥ đáy, SD= 2a . Khi đó sin của

D.

góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và mp(ABCD) bằng

Câu 59:

Câu 60:

Câu 61:

Câu 62:

Câu 63:

B. a 2
C.
D. a 2
2
2
2
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng ABCD cạnh a , SA ⊥ đáy, SD= 2a . Khi đó góc giữa
hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M
có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với (P) và (Q)?
A. 2
B. 3
C. 1
D. vơ số
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vng ABCD (vng ở A và B), SA ⊥ (ABCD), AD=
3a ,BC= a ,AC= 2a ,SA= a 5 .Gọi β là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). Khi đó cos β

bằng
6
B. 3
C. 6
D. 2 3
4
2
2
3

5
Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vng góc với nhau và AC = AD = BC =

A.
Câu 66:

5

B.

BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính IJ theo a và x?

2 ( a 2 + x2 )
2 ( a 2 − x2 )
a2 − x2
a2 + x2
B. IJ =
C. IJ =
D. IJ =
2
2
2
2
6. KHOẢNG CÁCH
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Khi đó khoảng cách từ A đến mp(BCD) bằng

A. IJ =

Câu 67:


2
3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng ABCD cạnh

D. a 6
3
,SA ⊥ (ABCD), SA= a 3 . Tính
a 2

khoảng cách từ B đến mp(SCD)

Câu 71:

A. a 5
B. a 30
C. a 5
6
5
3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=

3a
2
, BC= 2a , SC ⊥ mặt phẳng đáy,
D.

a 2

SB= 2a 3 . Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB)
a 3

2
a 5
2a 3
A.
B.
C. a
D. a
10
5
2
3
Cho hình thang vng ABCD vng ở A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với
(ABCD) lấy điểm S với SD = a 2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và ( SAB).
a
2a
a 3
A. a 2
B.
C.
D.
2
3
3
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA 1= 3a. Khoảng
1

1

1


C.
D.
3
3
2
3
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ ABC đều cạnh 2a , các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy góc
600. Tính d(S,(ABC))=?
2a
C. a 3
D. a
3
Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:

A. 2a
Câu 78:

B.

a
a
a 2
a 3
B.
C.
D.
2
3
2
3

Câu 81:
a 2 . Tính d(A,(SBC))=?
A.

2a
B. a 13
C. 3a 22
D. 2a 3
3
7
11
3
Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau và OA = OB = OC = a.
A.

Câu 82:

Câu 83:

Câu 84:

Khoảng cách giữa OA và BC bằng bao nhiêu?
a
a
a 3
A.
B.
C. a
D.
2


D.

5a 6
6

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng cân tại A , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC )
và BC = 4 2 cm . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là
A. 4 2 cm .
B. 2 2 cm .
C. 4 cm .

D. 2 cm .