_______________________________________________Chương 3
Phương trình mạch
điện -
1
 Chương 3
PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN

 KHÁI NIỆM VỀ TOPO

Một số định nghĩa

Định lý về topo mạch

 PHƯƠNG TRÌNH NÚT

Mạch chứa nguồn dòng điện

Mạch chứa nguồn hiệu thế
 PHƯƠNG TRÌNH VÒNG

Mạch chứa nguồn hiệu thế

Mạch chứa nguồn dòng điện

 BIẾN ĐỔI VÀ CHUYỂN VỊ NGUỒN

Biến đổi nguồn

Chuyển vị nguồn
__________________________________________________________________________________________


điện -
2
Trong giản đồ các nhánh và nút được đặt tên hoặc đánh số thứ tự. Nếu các nhánh được
định hướng (thường ta lấy chiều dòng điện trong nhánh định hướng cho giản đồ ), ta có giản
đồ hữu hướng.
(H 3.1b) là giản đồ định hướng tương ứng của mạch (H 3.1a).

Giản đồ con
Tập hợp con của tập hợp các nhánh và nút của giản đồ.

Vòng
Giản đồ con khép kín. Mỗi nút trong một vòng phải nối với hai nhánh trong vòng đó.
Ta gọi tên các vòng bằng tập hợp các nhánh tạo thành vòng hoặc tập hợp các nút thuộc vòng
đó.
Thí dụ:
(H 3.2a): Vòng (4,5,6) hoặc (a,b,o,a).
(H 3.2b): Vòng (1,6,4,3) hoặc ( a,b,o,c,a).

(a) (b)
(H 3.2)


Cây
Giản đồ con chứa tất cả các nút của giản đồ nhưng không chứa vòng.
Một giản đồ có thể có nhiều cây.
Thí dụ:
(H 3.3a): Cây 3,5,6 ;
(H 3.3b): Cây 3,4,5 . . ..

(a) (b)

3.1.2. Định lý về Topo mạch

Nhắc lại, một mạch gồm B nhánh cần 2B phương trình độc lập để giải, trong đó B
phương trình là hệ thức v - i của các nhánh, vậy còn lại B phương trình phải được thiết lập từ
định luật Kirchhoff .

Định lý 1:
Giản đồ có N nút, có (N -1) phương trình độc lập do định luật KCL viết cho (N-1) nút
của giản đồ.
Thật vậy, phương trình viết cho nút thứ N có thể suy từ (N-1) phương trình kia.

Định lý 2
Hiệu thế của các nhánh (tức giữa 2 nút) của giản đồ có thể viết theo (N-1) hiệu thế độc
lập nhờ định luật KVL.
Thật vậy, một cây nối tất cả các nút của giản đồ, giữa hai nút bất kỳ luôn có một
đường nối chỉ gồm các cành của cây, do đó hiệu thế giữa hai nút có thể viết theo hiệu thế của
các cành của cây. Một cây có (N - 1) cành, vậy hi
ệu thế của một nhánh nào của giản đồ cũng
có thể viết theo (N-1) hiệu thế độc lập của các cành.
Trong thí dụ của (H 3.1), cây gồm 3 nhánh 3, 4, 5 đặc biệt quan trọng vì các cành của
nó nối với một nút chung O, O gọi là nút chuẩn. Hiệu thế của các cành là hiệu thế giữa các
nút a, b, c (so với nút chuẩn). Tập hợp (N - 1) hiệu thế này được gọi là hiệu thế nút.
Nếu mạch không có đặc tính nh
ư trên thì ta có thể chọn một nút bất kỳ làm nút chuẩn.

Định lý 3
Ta có L = B - N +1 vòng hay mắt lưới độc lập với nhau, trong đó ta có thể viết phương
trình từ định luật KVL.

Định lý 4

Và tổng số phương trình là:
(N-1) + L = N - 1 + B - N + 1 = B
3.2 Phương trình Nút

3.2.1 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn dòng điện

Trong trường hợp ngoài điện trở ra, mạch chỉ chứa nguồn dòng điện thì viết phương
trình nút cho mạch là biện pháp dễ dàng nhất để giải mạch. Chúng ta luôn có thể viết phương
trình một cách trực quan, tuy nhiên nếu trong mạch có nguồn dòng điện phụ thuộc thì ta cần
có thêm các hệ thức diễn tả quan hệ giữa các nguồn này với các ẩn số của phương trình mới
đủ đi
ều kiện để giải mạch.

Nguồn dòng điện độc lập:
Nếu mọi nguồn trong mạch đều là nguồn dòng điện độc lập, tất cả dòng điện chưa biết
có thể tính theo (N - 1) điện thế nút. Ap dụng định luật KCL tại (N - 1) nút, trừ nút chuẩn, ta
được (N - 1) phương trình độc lập. Giải hệ phương trình này để tìm hiệu thế nút. Từ đó suy ra
các hiệu thế khác.
Thí dụ 3.1:
Tìm hiệu th
ế ngang qua mỗi nguồn dòng điện trong mạch (H 3.6) (H 3.6)

Mạch có 3 nút 1, 2, O; N = 3 vậy N - 1 = 2, ta có 2 phương trình độc lập.
Chọn nút O làm chuẩn, 2 nút còn lại là 1 và 2 . v
1
và v
2


5
2
1
2
1
4
1
21
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ vv
(3)

2
6
1
3
1
2
1
2
1
21
−=

G
jk
= G
kj
(3.3)

Gọi i
j
là tổng đại số các nguồn dòng điện nối với nút j.
Định luật KCL áp dụng cho nút j:

( )
∑
=−
k
jkjjk
G ivv (i
j
> 0 khi đi vào nút j )
Hay
j
kk
kjkjkj
GG ivv =−
∑ ∑
( j ≠ k ) ( 3.4)
G
jk
k
∑

- G
13
v
3
. . . - G
1(.N-1)
v
N-1
= i
1
Nút 2: - G
21
v
1
+ G
22
v
2
- G
23
v
3
. . . - G
2.(N-1)
v
N-1
= i
2
:
:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

⎡
−
−
−−
−−−−−−
−
−
1N
2
1
1N
2
1
11.NN1.2N1.1N
12.N2221
11.N1211
:
:
:
:
:
:
G ...............GG-
:::
:::
:::
G...............GG-
G...............GG
i
i

2
1
++
; G
12
=
2
1

i
1
= 5A và i
2
= - 2A
Hệ phương trình thành:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥

1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
2
1
v
v

Ta được kết quả như trên.

Nguồn dòng điện phụ thuộc :
Phương pháp vẫn như trên nhưng khi viết hệ phương trình nút trị số của nguồn dòng điện này
phải được viết theo hiệu thế nút để giới hạn số ẩn số vẫn là N-1. Trong trường hợp này ma
trận điện dẫn của các nhánh mất tính đối xứng.

Thí dụ: 3.2
Tín hiệu thế ngang qua các nguồn trong mạch (H 3.7).

(H 3.7)


⎞
⎜
⎝
⎛
+
321
21
3
6
1
3
1
2
1
2
1
5
2
1
2
1
4
1
ivv
vv
(1)

Hệ thống có 3 ẩn số, như vậy phải viết i
3
theo v

v
1
= - 20 (V) và v
2
= - 40 (V)
Thí dụ 3.3
Tính v
2
trong mạch (H 3.8).

(H 3.8)
Chọn nút chuẩn O, v
1
& v
2
như trong (H 3.8)
Hệ phương trình nút là:

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
⎟

Ta được :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−−
0
9
10
4
4
2
7
21
21
vv
vv
(3)
Suy ra :
v
2
= - 114 (V)

3.2.2 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế


Nguồn hiệu thế độc lập