BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
− − − − − − − − −
ĐẶNG ĐÌNH HANH
PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC
ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
− − − − − − − − −
ĐẶNG ĐÌNH HANH
PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC
ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN TIẾN QUANG
Hà Nội - 2011
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với
các đồng tác giả. Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí
của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, các kết quả được trình
bày trong trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất
kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Đặng Đình Hanh
LỜI CẢM ƠN

1.1.2 Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành . . . . . . . . 32
1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số . . . . . . . 35
2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN-
HÀM TỬ 37
2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử . . . . . . . 37
2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của
vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild . . . . . . . . . . 45
2.1.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Đối ngẫu của Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù . . . . . . . . . 66
3 ANN-PHẠM TRÙ BỆN 72
3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện . . . . . . 76
3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza . . 79
3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ

nhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [28], N.
Saavedra Rivano [54]). Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi
mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xem
A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall [16]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [55]), hay
nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], hoặc 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần đây. Các
Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H
3
(G, A) (xem
[55]). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta
thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù) [55], hay nhóm phạm trù
đối xứng [5] hoặc 2-nhóm đối xứng [12, 19].
Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street, như là
sự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm. Tâm của một phạm trù
monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor
phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng. Sau
đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm
4
trù [6] và nhóm phạm trù phân bậc [17]. Trong [11], A. Davydov đã nghiên cứu
về tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và
đã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến các
phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toán
đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S. Majid [32, 33].
Trong [20], A. Joyal và R. Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi
phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S. Eilenberg và S. Mac
Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben H
3
ab
(G, A)
[13, 14]). Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard)
đã được phân lớp bởi H. X. Sính [55].

T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn
toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử
thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane H
3
MaL
(R, M) (xem [38]). Trường hợp chính
quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện c
X,X
= id đối với mọi vật X) đã
được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla H
3
Sh
(R, M) (xem [2]). Từ các kết
quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài
toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính
quy [1]. Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories
trong luận án của M. Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPC
của V. Schmitt [49].
Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạm
trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối
liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào?
Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau
một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong
[12, 19]. Năm 2010, các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã
định nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành
[19].
Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn
có những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán
tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp
tổng quát, mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp

một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng
Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết
quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm
trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung
thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một
Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4).
Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp
Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-
phạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết
quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21]. Trên cơ sở
xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân
7
phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:
phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳng
định được A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [16].
Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng
của mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) (Mệnh đề
4.1.6, Mệnh đề 4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp
các Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định
lý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). Những
kết quả này cùng kiểu với những kết quả về sự phân lớp các nhóm phạm trù
bện phân bậc, và một trường hợp riêng của nó là phạm trù Picard phân bậc, đã
được A. Cegarra và E. Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]).
VI. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc
monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall, N.
T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili,
V. Schmitt, M. Dupont, ... luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho
lớp phạm trù này. Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann-
phạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc

chính là tâm của một Ann-phạm trù được trình
bày trong [44]. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm Ann-phạm
trù và vành phạm trù với kết quả đạt được là: mỗi Ann-phạm trù đều là một
vành phạm trù; ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề thì
sẽ trở thành một Ann-phạm trù.
Chương 3: Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [44], bao gồm
bốn mục. Mục 3.1 trình bày về khái niệm Ann-phạm trù bện, Ann-phạm trù đối
xứng và những ví dụ về hai lớp phạm trù này. Trong những ví dụ đó, đáng lưu
ý là ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, một trường hợp riêng của phép xây
dựng đối ngẫu của cặp (A, id
A
) đã được trình bày ở chương 2, với kết quả đạt
được là: tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung
không đối xứng. Mục 3.2 xét tính không độc lập của một số tiên đề có liên quan
đến ràng buộc phân phối bên phải trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện.
Các mục 3.3 và 3.4 thiết lập các mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với
các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng đã biết, đó là phạm trù
có tính phân phối của M. L. Laplaza và phạm trù tựa vành của A. Fr¨ohlich và
C. T. C. Wall. Nhờ xét các mối liên hệ này, mục 3.3 chỉ ra sự phụ thuộc của
bốn tiên đề trong hệ tiên đề của phạm trù có tính phân phối, đồng thời suy
ra được định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù đối xứng. Mục 3.4 chứng tỏ rằng
hai hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành là tương đương.
Chương 4: Phân lớp đối đồng điều của các Ann-phạm trù bện. Chương
này được viết dựa theo [46] và được chia thành ba mục. Trong mục đầu tiên
chúng tôi trình bày về một số tính chất của Ann-hàm tử bện và chứng minh
9
định lý chuyển cấu trúc cho lớp Ann-phạm trù bện, từ đó chúng tôi tiến hành
xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn của một Ann-phạm trù bện bất kỳ. Trong
mục 4.2, chúng tôi giải quyết bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện.
Kết quả chính của chương này nằm trong mục 4.3. Dựa trên các kết quả về

(1, l, r) ràng buộc đơn vị của phép nhân
id
X
mũi tên đồng nhất của vật X
L(R) ràng buộc phân phối bên trái (phải)
(F,

F ,
ˆ
F ) hàm tử monoidal
id
C
hàm tử đồng nhất của phạm trù C
(F,
˘
F ,

F , F
∗
) Ann-hàm tử
(H,
˘
H,

H), (G,
˘
G,

G) các Ann-hàm tử (bện) chính tắc
u : F → F

n
MacL
nhóm đối đồng điều thứ n
của vành theo nghĩa Mac Lane
Z
n
Hoch
nhóm các n-đối chu trình của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
B
n
Hoch
nhóm các n-đối bờ của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
H
n
Hoch
nhóm đối đồng điều thứ n của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
12
BẢNG THUẬT NGỮ
Dịch Thuật ngữ
phạm trù category
phạm trù monoidal monoidal category
phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category
tenxơ phạm trù bện braided tensor category
nhóm phạm trù categorical group
nhóm phạm trù đối xứng symmetric cat-group
nhóm phạm trù phân bậc graded categorical group
phạm trù Picard phân bậc graded Picard category

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHƯƠNG, MỤC
IV.1
III.1
I.1
II.2
II.1
IV.2
III.2
I.2
III.3
I.3
II.3
IV.3
III.4
I.4
✲
✲
✲
✲
✲
✲
✲
✛
✛
❄
❄
❄
✚
✚
✚


















✐
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩

được gọi là một ⊗−phạm trù và thường được ký hiệu (C, ⊗).
Định nghĩa 1.1.2. Cho C là một ⊗-phạm trù, và A là một vật của C. Ta gọi A
là vật chính quy nếu các hàm tử F = − ⊗ A và G = A ⊗ − từ C vào C là những
tương đương phạm trù.
Định nghĩa 1.1.3 (A-phạm trù). Một A-phạm trù C là một ⊗-phạm trù C
cùng với một đẳng cấu tự nhiên
a
X,Y,Z
: A ⊗ (B ⊗ C)
∼
−→ (A ⊗ B) ⊗ C, A, B, C ∈ Ob(C),
16
thỏa mãn biểu đồ giao hoán (còn gọi là tiên đề ngũ giác) sau
A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D)) (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D))
A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D) ((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D
(A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D
✲
a
❄
id ⊗a
❄
a
❍
❍
❍
❍
❍
❍❥
a
✟

✲
a
A,1,B
❍
❍
❍❥
id ⊗l
B
✟
✟
✟✙
r
A
⊗id
(1.2)
Bộ ba (1, l, r) được gọi là một ràng buộc đơn vị.
Phạm trù monoidal C được ký hiệu là (C, ⊗, a, (1, l, r)). Để đơn giản ta có thể
ký hiệu phạm trù monoidal C là (C, ⊗).
Chú ý 1.1.5.
1) Ràng buộc đơn vị được gọi là chặt chẽ nếu các đẳng cấu l, r đều là đồng
nhất.
2) Một phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) được gọi là phạm trù monoidal chặt
chẽ nếu các ràng buộc a, l, r đều là đồng nhất.
17
Mệnh đề 1.1.6 ([26, G. M. Kelly]). Trong phạm trù monoidal, tính giao hoán
của biểu đồ (1.2) tương đương với tính giao hoán của hai biểu đồ sau
1 ⊗ (A ⊗ B) (1 ⊗ A) ⊗ B A ⊗ (B ⊗ 1) (A ⊗ B) ⊗ 1
A ⊗ B A ⊗ B
✲
a

nhất và luật ⊗.
Định lý này thường được gọi là định lý khớp.
1.1.3 Hàm tử monoidal
Định nghĩa 1.1.8. Cho hai phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) và
(C

, ⊗

, a

, (1

, l

, r

)). Một hàm tử monoidal hay một AU-hàm tử từ C đến C

bao
gồm:
1. một hàm tử F : C → C

,
2. một họ đẳng cấu

F
A,B
: F (A ⊗ B) → F A ⊗ F B tự nhiên với A, B,
3. một đẳng cấu
ˆ

✲
r
F A
✻
id ⊗
ˆ
F
✻
F (r
A
)
✛

F
A,1
(1.4)
1 ⊗ F A
F A
F 1 ⊗ F A
F (1 ⊗ A)
✲
l
F A
✻
ˆ
F ⊗id
✻
F (l
A
)


) : C

→ C

.
Hợp thành của hai hàm tử trên là một hàm tử monoidal (F

F,

F

F ,

F

F ) từ C đến
C

, trong đó F

F là hợp thành của hai hàm tử theo nghĩa thông thường, và các
đẳng cấu

F

F
A,B
: F


❍
❍
❍
❍
❍❥
F

(

F
A,B
)
✟
✟
✟
✟
✟✯

F

F A,F B
F

F 1 1

F

1

✲

giao hoán.
F (A ⊗ B)
F A ⊗ F B
K(A ⊗ B)
KA ⊗ KB
✲

F
A,B
❄
u
A⊗B
❄
u
A
⊗u
B
✲

K
A,B
(1.6)
F 1 K1
1

✲
u
1
❅
❅❘

tương đương monoidal và C, D là hai phạm trù monoidal tương đương.
Bổ đề 1.1.13 ([55, H.X.Sinh]). Cho (F,
˘
F ), (K,
˘
K) : C → C

là những ⊗-hàm tử
tương thích với các ràng buộc đơn vị và
ˆ
F : F 1 → 1

,
ˆ
K : K1 → 1

là những đẳng
cấu tương ứng. Khi đó nếu u : F → K là một ⊗-mũi tên sao cho u
1
là một đẳng
cấu thì biểu đồ sau giao hoán
F 1 K1
1

✲
u
1
❅
❅❘
ˆ

✲
a
−1
❄
id ⊗c
✲
c
✲
a
−1
(1.8)
A ⊗ (B ⊗ C) A ⊗ (C ⊗ B) (A ⊗ C) ⊗ B
(A ⊗ B) ⊗ C C ⊗ (A ⊗ B) (C ⊗ A) ⊗ B
✲
id ⊗c
❄
a
✲
a
❄
c⊗id
✲
c
✲
a
(1.9)
Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c)
bao gồm một phạm trù monoidal C và một bện c.
Hơn nữa, nếu
c

v
A,B,C,D
✲
id
A
⊗a
B,C,D
❄
id
A
⊗(c
B,C
⊗id
D
)
✛
a
A,C,B⊗D
✛
id
A
⊗a
−1
C,B,D
(1.11)
Đẳng cấu v được gọi là ràng buộc kết hợp-giao hoán của phạm trù monoidal
đối xứng C.
Định nghĩa 1.1.17 (Hàm tử monoidal bện (đối xứng)). Cho C và D là hai
phạm trù monoidal bện (đối xứng). Một ⊗-hàm tử (F,


là một A-hàm tử và thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.12) thì nó được gọi là một
AC-hàm tử.
1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù
Các khái niệm và các kết quả trình bày trong tiểu mục này là theo Hoàng Xuân
Sính [55].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (C, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal. Vật X
của C được gọi là vật khả đảo nếu tồn tại các vật X

, X

của C sao cho X

⊗X  1,
X ⊗ X

 1.
Nhận xét 1.2.2. Nếu X

⊗ X
x

 1, X ⊗ X

x

 1 thì X

 X

.

Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết
hợp.
Một phạm trù Picard còn được gọi là một nhóm phạm trù đối xứng [5] hay
một 2-nhóm đối xứng [12, 19].
Chú ý rằng trong một P ic-phạm trù, ràng buộc giao hoán bao giờ cũng tương
thích với ràng buộc đơn vị.
Định nghĩa 1.2.8. Một AC-hàm tử giữa hai P ic-phạm trù được gọi là một
P ic-hàm tử.
1.3 Ann-phạm trù
Các khái niệm, các kết quả và các ví dụ trong mục này là của Nguyễn Tiến
Quang [2, 38].
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù
Định nghĩa 1.3.1. Một Ann-phạm trù gồm:
(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;
(ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a
+
, c
+
, g, d, sao cho
(A, ⊕, a
+
, c
+
, (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng;
(iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho
(A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal;