¤N TËP M«n to¸n
Biên soạn: Đỗ Cao Long
THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009
A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu Nội dung kiến thức Điểm
I

 Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
 Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị
của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến,
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ
thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ
thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...
3,0
II

 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
 Bài toán tổng hợp.
3,0
III
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối
lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay;
tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
1,0

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt
phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối
của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2,0
V.b
 Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số
phức. Dạng lượng giác của số phức.
 Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng
2



ax bx c
y
px q
và
một số yếu tố liên quan.
 Sự tiếp xúc của hai đường cong.
 Hệ phương trình mũ và lôgarit.
 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích
khối tròn xoay..
1,0
┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 3 4 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
Chuyên đề I:
Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng
dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số.

0fx


và
ngược lại).
Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số
2
4yx

Gợi ý giải:
 Đ/k xác định:
2
40x
2
4 2 2xx     

Tập xác định của hàm số
 
2;2D 
.
 Đạo hàm:
 
2
22
4
2 4 4
x
x
y
xx



y

0
2
0
 Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng
 
2;0
và nghịch biến rtreen khoảng
 
0;2

Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng
 
;ab

hoặc hàm số gián đoạn tại
0
x
thì ta cần tính các giới hạn
lim
xa
y


,
lim
xb

2)
4
1
yx
x


;
3) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan sin , 0
2
x x x

  

b)
1 1 , 0
2
x
xx    
.
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch
biến của hàm số
42
82y x x  
.
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch
biến của hàm số
3

,y f x m



 Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại
0
xx
là
   
00
,0y x f x m


.
Giải phương trình này tìm được m.
 Thử lại (Điều kiện đủ)
Với giá trị của m tìm được, ta tính
 
0
yx

.
- Nếu
 
0
0yx


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0

Gợi ý giải:
Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được
1
yx
xm



 Đ/k xác định
0x m x m    

 Đạo hàm
 
2
11
1yx
xm
xm



   





 
 
2

2 1 3
mm
mm
   



    


 Thử lại (đ/k đủ)
Ta có
   
23
12
10y
x m x m




   



 
3
2
xm


   

nên trường hợp này
hàm số đạt cực đại tại
2x 
(thỏa đề bài)
 Kết luận: Giá trị của m phải tìm là
3m 
.
Dạng 2: Chứng minh hàm số
 
,y f x m
luôn có cực trị với mọi
giá trị của tham số m.
Cách giải:
Chứng tỏ
 
,0fy x m 
luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy
qua các nghiệm đó.
- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ
y

có delta dương;
- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để
tìm m để
y

có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm.
┼- 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼

đổi dấu (có thể lập
bảng xét dấu với hai nghiệm
12
,xx
) khi x đi qua hai nghiệm đó.
 Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m.

Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số
32
69y x x x  
có đồ
thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng
2
y x m m  
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm
cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Câu 2: Tìm m để hàm số
32
2
5
3
y x mx m x

    


có cực trị
tại
1x 

, ta có
2
22mm  
. Giải tìm m.
Câu 2:
7
3
m 
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1x 
.

3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số.
Lý thuyết:
Cho hàm số
 
y f x
có đồ thị
 
C
và
 
00
;M x y
là điểm trên
 
C
. Tiếp tuyến với đồ thị
 
C

- Hoành độ tiếp điểm:
0
x

- Tung độ tiếp điểm:
0
y
{Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng
cách thay
0
x
vào hàm số
 
00
y f x
}
- Hệ số góc
 
0
k f x



Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm
 
00
;M x y
,
hoặc hoành độ
0


- P/trình:
 
 
9 24 2yx    

Hay
24 39yx  

Ở đây cần biết:
┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 9 10 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
0
2x 
,
0
9y 
ở tọa độ của M (đề đã cho).

Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số
1
1
x
y
x





00
;xy
. Theo giả thiết có
0
2x 
.
 Tung độ tiếp điểm:
0
0
0
1
2 1 1
1 2 1 3
x
y
x


  


 Hệ số góc của tiếp tuyến tại
1
2;
2



bằng :
 

1
x
y
x



và tính
đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến
 
0
k y x


 
2y


.

b) Ta có
       
 
2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x




 
00
1 3 1xx   
0
2x  

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại
 
 
00
; 2;3xy 
là:
 
 
2
2
22
21
ky

   


 P/trình tiếp tuyến cần tìm:
 
 
3 2 2yx   
.

.
 Khi t/tuyến song song với
 
d
thì hế số góc của t/tuyến bằng
hệ số góc của
 
d
và bằng
a
kk
b

  
.
 Khi t/tuyến vuông góc với
 
d
thì hế số góc
k
của t/tuyến và
hệ số góc
k

của
 
d
thỏa mãn
.1kk



.
┼- 6Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 11 12 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
- Giải ph/trình này tìm được
0
x

- Thay vào
 
00
y f x
để tính tung độ tiếp điểm
 Viết p/trình t/tuyến.
Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số
2
1
x
y
x


, biết:
a) Hệ số góc của t/tuyến bằng
2
.
b) T/tuyến song song với đường thẳng
 
1

00
;xy
là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại
 
00
;xy
bằng
 
 
0
2
0
2
1
yx
x





Theo giải thiết ta có
 
0
2yx


 
2
0

0
2
2.2
4
1 2 1
x
y
x
  


Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại
 
2;4
là
 
4 2 2yx   
hay
28yx  
.
 Với
0
0x 
, ta có
0
0
0
2
2.0
0

 
d
nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số
góc của
 
d
, bằng
1
2
k 
.
 Gọi
 
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại
 
00
;xy
bằng
 
 
0
2
0
2
1
yx
x


0
3
1
1
2
2
1
1
1
2
2
x
x
x
x









  




 Với


là
13
6
22
yx

   


hay
1 27
24
yx  

 Với
0
1
2
x 
, ta có
0
0
0
1
2.
2
2
2
1


hay
17
24
yx  

 Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là
1 27
24
yx  
;
17
24
yx  

c) Đường thẳng
 
9
:1
2
yx  
có hệ số góc
9
2
k


.
 Gọi k là hệ số góc của t/tuyến. Biết t/tuyến vuông góc với
 

x



tại
điểm thuộc đồ thị có hoành độ
0
3x 
.
Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) hàm số
3
32y x x  
tại điểm A(2;4).
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):
Cho hàm số
1
2
x
y
x



, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của
(C) với trục tung.
Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):
Cho hàm số

Lý thuyết:
Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số
 
y f x
để biện luận theo m số
nghiệm của phương trình
 
f x m
.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
 
C
của hàm số
3
3y x x
. Dựa vào đồ thị
 
C
, biện luận theo m số nghiệm
của phương trình
3
3 1 0x x m   
(1).
Gợi ý giải:
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
 
C
(2 điểm)
Học sinh tự làm.  Đồ thị (xem hình)
┼- 8Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼

và
 
C
.
 Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau:
* Với
1 2 1
1 2 3
mm
mm
    



  

, ta thấy
 
d
và
 
C
không có
điểm chung. Suy ra (2) vô nghiệm
* Với
1 2 1
1 2 3
mm
mm
    


  

, ta thấy
 
d
cắt
 
C
tại ba điểm
phân biệt. Suy ra (2) có 3 nghiệm phân biệt.
 Kết luận:
* Với
1m 
hoặc
3m 
, p/trình (1) vô nghiệm.
* Với
1m 
hoặc
3m 
, p.trình (1) có hai nghiệm.
* Với
13m  
, p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng
 
d
:


  

(1)
Quy đồng khử mẫu đưa về p/trình bậc hai dạng
 
2
,0f x m Ax Bx C   
với
0
d
cx d x
c
    

Tính
2
4B AC  

 Đến đây cần chứng tỏ
0
với mọi m và
,
d
fm
c





Gợi ý – Giải:
┼- 9Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 17 18 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
 P/trình hoành độ giao điểm của
 
d
và
 
C
là

3
2
1
x
xm
x



(1)
    
3 2 1 , 1 0x x m x x      

 
2
2 1 3 0x m x m     
,
 

tại hai điểm phân biệt với mọi
giá trị của m.
Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị
 
m
C
của
hàm số
 
32
31y x m x m    
cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ
2x 
.
 Phân tích bài toán:
- Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ
0y 
.
- Vậy
 
m
C
cắt trục hoành tại điểm
   
; 2;0xy 
.
- Điểm này thuộc
 
m


 Vậy
5
3
m 
là giá trị cần tìm.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban):
Cho hàm số
32
2 3 1y x x  
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
32
2 3 1x x m  

Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB):
Cho hàm số
32
3y x x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
32
30x x m  

Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban):
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
32

 Chia tử cho mẫu ta có
4
1
1
y
x



Xét điểm
 
;xy
thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có
4
1
1
y
x


.
 Với
x 
ta có
4
1
1
y
x
  

, ta có
1y 

1 2 3xx     
, ta có
3y 

1 1 0xx   
, ta có
3y 

1 1 2xx     
, ta có
5y 

 Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là:
 
3;0
,
         
5;2 , 1; 1 , 3;3 , 0; 3 , 2;5    

Bài tập:
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số
22
2
x
y
x




Và
 
lim
d
x
c
y


 
để suy ra tiệm cận đứng là đ/t
a
x
c

;
lim
x
a
y
c


, suy ra tiệm cận ngang là đ/t
a
y
c


.
 Tính đạo hàm
 
y f x



Giải phương trình
 
0fx


và tìm các nghiệm
0
x
thuộc
đoạn
 
;ab
(các nghiệm nằm ngoài đoạn này không lấy )
 Tính
   
 
0
,,f a f b f x

 So sánh các số trên và kết luận.
 
     
 

 Đạo hàm
2
21
2
y
x

  


2
2
21
0 0 4 2
2
y x x
x

         

Trên đoạn
 
1;3x 
ta lấy
2x 
.
 Ta có
 
2 1 7
11

Bài tập
Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của
hàm số
 
2cosf x x x
trên đoạn
0;
2




.
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của
hàm số
42
21y x x  
trên đoạn
 
0;2
.
Câu 3 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tìm GTLN, GTNN của hàm số
21
3
x
y
x






;
   
.
yx
x x y y
a a a

x
xy
y
a
a
a


;
1
x
x
a
a


.
Ghi nhớ công thức khử cơ số:
   
   
f x g x

, khi đó
 
2
22xx
t a a
.
Ta có p/trình
 
2
. . 0, 0mt nt p t   
(2)
 Giải p/trình (2), tìm nghiệm
0t 

 Giải p/trình
log
x
a
a t x t  

 Kết luận, nghiệm của (1)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
1)
21
3 4.3 1 0
xx
  

2)
   

,
 
0t 

Giải p/trình này được
1
1;
3
tt
(thỏa mãn đ/k
0t 
)
 Với
1t 
, ta có
0
3 1 3 3 0
xx
x    

- Với
1
3
t 
, ta có
1
1
3 3 3 1
3
xx

2
2
3 2 2 2 1 2 1
x
xx
t
   
     
   
   

 P/trình đã cho trở thành
2
2 1 0tt  
,
 
0t 

Giải p/trình này ta được
1t 
(nhận);
1
0
2
t   
(loại)
 Với
1t 
, ta có
 

x
x
a
t
a



Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm
0t 
. Rồi tìm x.
 Kết luận.
Ví dụ : Giải các phương trình sau
1)
1
6 6 5 0
xx
  

2)
1
1
1
5 26 0
5
x
x


  

6. 5 0t
t
  
,
 
0t 

2
5 6 0tt   
.