Đề CƯƠNG ÔN THI TốT NGHIệP Môn toán
Năm học 2008-2009
Biên soạn: Nhóm giáo viên bộ môn Toán Tr ờng THPT Lang Chánh
Ph n th nh t: CU TRC THI NGHIP THPT NM 2009
I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu Ni dung kin thc im
I
Kho sỏt, v th ca hm s.
Cỏc bi toỏn liờn quan n ng dng ca o hm v th ca hm s: Chiu
bin thiờn ca hm s. Cc tr. Tip tuyn, tim cn (ng v ngang) ca
th ca hm s. Tỡm trờn th nhng im cú tớnh cht cho trc; tng giao
gia hai th (mt trong hai th l ng thng);...
3,0
II
Hm s, phng trỡnh, bt phng trỡnh m v lụgarit.
Giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s.
Tỡm nguyờn hm, tớnh tớch phõn.
Bi toỏn tng hp.
3,0
III
Hỡnh hc khụng gian (tng hp): Tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh nún trũn
xoay, hỡnh tr trũn xoay; tớnh th tớch khi lng tr, khi chúp, khi nún trũn
xoay, khi tr trũn xoay; tớnh din tớch mt cu v th tớch khi cu.
1,0
II. PHN RIấNG (3,0 im)
Thớ sinh hc chng trỡnh no thỡ ch c lm phn dnh riờng cho chng trỡnh ú
(phn 1 hoc phn 2).
1. Theo chng trỡnh Chun:
Cõu Ni dung kin thc im
IV.a
Phng phỏp to trong trong khụng gian:

+
ax bx c
y
px q
v mt s yu t liờn
quan.
S tip xỳc ca hai ng cong.
H phng trỡnh m v lụgarit.
ng dng ca tớch phõn: Tớnh din tớch hỡnh phng, th tớch khi trũn xoay.
1,0
phần chung cho tất cả các thí sinh
CHủ Đề khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
2
và các bài toán liên quan
i. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Dạng 1
: Hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (
0a
)
1.1. Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.
3
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y

= 3ax

0
)
L u ý
: Nếu qua x
0
mà y

đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại x
0
, ngợc lại x
0
không là cực trị
của hàm số.
* Tìm các giới hạn:
{
}
{
}
3 2 3
2 3
3 2 3
2 3
lim ( ) lim (1 )
,
,
lim ( ) lim (1 )
,
,
x x
x x

số điểm sau các bớc sau:
- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ.
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên
hệ trục toạ độ.
1.2. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x
3
+ 3x
2
4
1.3. Hớng dẫn
4
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y

= -3x
2
+ 6x
y

= 0

x = 0, x = 2
Xét dấu y

(bảng xét dấu này học sinh có thể làm ngoài giấy nháp)
x -

0 2 +


3
3 4
lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )
x x
x x
= = +
* Bảng biến thiên.
x -

0 2 +

y - 0 + 0 -
y
+


-

- 4
0
4
2
-2
-4
-6
-5 5
3-1
2
O
3. Vẽ đồ thị:

3x + 5
7. y = x
3
3x
2
8. y = x
3
+ 3x
2
2
9. y = x
3
6x
2
+ 9
2. Dạng 2
: Hàm trùng phơng y = ax
4
+ bx
2
+ c (
0a
)
2.1. Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.
2.2. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 2
2.3. Hớng dẫn

+ + + = + + =




* Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị:
- Khi vẽ đồ thị hàm số bậc bốn học sinh củng cần lơu ý một số điểm nh vẽ đồ thị hàm bậc
ba.
nếu a<0
nếu a>0
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y

= 4x
3
- 4x = 4x(x
2
- 1)
y

= 0

x = 0, x = 1, x = -1
Bảng xét dấu y

x -

-1 0 1 +

}
4 2 4
2 4
2 2
lim ( 2 2) lim (1 )
x x
x x x
x x

+ + = + =+
* Bảng biến thiên
x -

-1 0 1 +

y

- 0 + 0 - 0 +
y
+

+

3. Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
2.4. Bài tập tự giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. y = -x
4
+ 8x

+2
2. y = -x
4
2x
2
+ 3
3. y =
4 2
1 3
2 2
x x+
5. y =
4
2
3
2 2
x
x +
6. y =
4 2
1 3
3
2 2
x x +
8. y = x
4
+ x
2
+ 1
9. y =

c

2. Sự biến thiên
* Ta có
2
( )
ad cb
y
cx d


=
+
- Nếu ad cb > 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng (
;
d
c

) và (
;
d
c
+
)
- Nếu ad cb < 0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng (
;
d

a
c
làm tiệm cận ngang.
,
lim
,
,
lim
,
d
x
c
d
x
c
ax b
cx d
ax b
cx d

+ ữ
ữ



1
\
2
R

2. Sự biến thiên
* Ta có
( )
2
5
0,
2 1
y x D
x

= <
+
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng
1
( ; )
2

và (
1
;
2
+

* Bảng biến thiên
x
-

-
1
2
+

y

- -
y
-
1
2
3. Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục Ox: (2; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
-
-
+
6
4
2
-2
-4
-5 5
O
-

x
x

+
4. y =
3
1
x
x
+

5. y =
1 2
2 4
x
x


6. y =
5
1
x
x


7. y =
2 3
2
x
x

4.3. Hớng dẫn:
4.4 Bài tập tự giải:
1. Cho hàm số y = x
3
+ 4x
2
+ 4x
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
9
Bài toán này thờng đi kèm theo sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vì thế để
sử dụng đợc đồ thị hàm số vừa vẽ trớc hết ta biến đổi phơng trình (1) tơng đơng: f(x) = g(m).
Khi đó số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đờng
thẳng y = g(m).
Dựa và đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phơng trình (1).
a/ Việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đ được trình bày (xem bài 1.2).ã
b/ Phương trình (1) tương đương: -x
3
+ 3x
2
- 4 = m(2).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x
3
+ 3x
2
- 4 và đường thẳng y = m (luôn song song hoặc trùng với
trục Ox).
Dựa vào đồ thị (hình 4.3) ta có:
* Khi m<-4 hoặc m>0: Phương trình (1) vô nghiệm
* Khi m = 0 hoặc m = -4: Phương trình (1) có hai nghiệm
* Khi -4<m<0: Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

3
3x + 5 +
3
m
= 0(1)
3. Cho hàm số y =
4
2
3
2 2
x
x +
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình
4
2
1
2
x
x +
+ m = 0(1)
4. Cho hàm số y =
4 2
1 3
3
2 2
x x +
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình
4 2

Nh vậy để xét sự tơng giao của đờng thẳng và đồ thị hàm số ta giảI và biện luận phơng
trình (1).
Dựa và số nghiệm của phơng trình (1) ta kết luận về sự tơng giao của đờng thẳng y = px +
q với đồ thị hàm số y = f(x).
Ta có phơng trình hoành độ giao điểm:
3
1
x
x
+
+
= 2x+m (1).
Đờng thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m khi và chỉ khi phơng trình (1) luôn có
hai nghiệm phâm biệt với mọi m.
Thật vậy
3
1
x
x
+
+
= 2x+m
3 (2 )( 1)
1
x x m x
x
+ = + +




5.4. Bài tập tự giải.
1. Cho hàm số y =
1
1
x
x
+

(C). CMR đờng thẳng 2x-y+m=0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
thuộc 2 nhánh của (C.)
2. Tìm m để đờng thẳng y = x +m cắt đồ thị (C): y =
3
1
x
x
+

tại hai diểm phân biệt.
3. Cho hàm số y =
3 2
1
x
x


.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đờng thẳng y = mx+2 cắt đồ thị
hàm số đ cho tại hai điểm phân biệt.ã
6. Dạng 6: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm M(x
0
, y

= f

(x
0
)(x-x
0
) (1)
* Ta có y

= f

(x) = 3x-3

f

(1) = 0 thay vào (1) ta đợc PTTT cần tìm là: y = 3
6.4 Bài tập tự giải:
1. Cho hàm số y =
4 2
2 3x x + +
. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 3)
2. Cho hàm số y =
4
2
3
2 2
x
x +
Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1, 0)
3. Cho hàm số y =


Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox
7.Dạng 7 Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đờng thẳng x = a,
x = b, trục Ox.
7.1. Cách giải:
7.2 Ví dụ: Cho hàm số y = x
3
- 4x.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số với các đờng x = -1, x = 2
7.3 Hớng dẫn.
a/ Bạn đọc tự giải, đồ thị (hình 7.3)
12
* Ta có diện tích
( )
b
a
S f x dx=

.
Để tính S ta phảI phá dấu trị tuyệt đối của biểu thức dới dấu tích phân, muốn vậy ta làm nh sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x), từ đó ta có thể phá dấu trị tuyệt đối.
Cách 2: Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì
( ) ( )f x f x=
Ngợc lại, nếu đồ thị nămg phía dới trục hoành thì
( ) ( )f x f x=
.
Sau khi phá dấu trị tuyệt đối ta tính tích phân bình thờng, kết quả đó chính là diện tích cần tìm.
b. Cách 1

0 2
3 3
1 0
4 4 4 ( 4 ) ( 4 )
( 4 ) ( 4 )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx


= = + =
=


Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.
Cách 2: Từ đồ thị của hàm số (hình 7.3), ta có:
Trên khoảng (-1; 0) đồ thị nằm phía trên trục hoành và trên khoảng (0; 2) đồ thị nằm phía dới trục
hoành, nên ta có:
2 0 2 0 2
3 3 3 3 3
1 1 0 1 0
0 2
3 3
1 0
4 4 4 ( 4 ) ( 4 )
( 4 ) ( 4 )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx


= = + =

+ 3x
2
2 và các đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox
3. y = x
3
6x
2
+ 9 và các đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
4. y =
4 2
2 3x x + +
và các đờng thẳng x = 0, x = 1, trục Ox
5. y =
4
2
3
2 2
x
x +
và các đờng thẳng x = -1, x = 1, trục Ox
6. y =
4 2
1 3
3
2 2
x x +
và các đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
8. Dạng 8: Tìm Điều kiện của tham số m để đồ thị hàm bậc ba y = ax
3
+ bx

+ 2bx + c
Hàm số luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi

0,y x R



0
0
y
y
m
a







>


cần tìm
Hàm số luôn nghịch biến trên R khi và chỉ khi
0,y x R



0

x
a
a b x log b 0 a 1, b 0
Ví dụ 3
x
= 5
⇔
x = log
3
5
3.2 Phương trình mũ thường gặp
a. Phương pháp đưa về cùng một cơ số.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⇔ = < ≠
f x g x
a a f x g x 0 a 1
Ví dụ:
3
2 8 2 2 3
x x
x= ⇔ = ⇔ =
Bài tập: Giải các phương trình sau
1)
 
=
 
 
x
1

0 1 n
n
1
a 1, a a, a a 0
a
1.2
+ −
= =
m
m n m n m n
n
a
a .a a , a
a
1.3
( ) ( )
= =
m n
n m m.n
a a a
1.4
( )
 
= =
 
 
n
n
n
n n

 
⇒ > ⇒ <
 
> >
 
x t x t
a 1 0 a 1
x t ; x t
a a a a
Đặt
=
x
t a
(t > 0) {chọn cơ số a thích hợp}
Ví dụ: Giải pt :
4 3.2 2 0
x x
− + =

Giải .
Biến đổi pt
4 3.2 2 0
x x
− + =

2 2
(2 ) 3.2 2 0 (2 ) 3.2 2 0
x x x x
⇔ − + = ⇔ − + =
(1) .

Đáp số : Nghiệm của phương trình là x=0 , x=1 .
Bài tập: Giải các phương trình
1)
+ = +
x x x
8.3 3.2 24 6
2)
+ + +
+ = +
x 1 x 4 x 2
4 2 2 16
3)
+ +
− + =
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
4)
− + −
− =
2 2
x x 2 x x
2 2 3
5)
991010
22
11
=−
−+
xx
c) Phương pháp lấy lôragit (cơ số thích hợp) hai vế.

1 1
log 3 log
1 log 2 0 log 2 1
log 2 3
x x x x x x
x x
PT
x x x x
x
x x
x
x x
= ⇔ = ⇔ =
⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
−
 

= = − =
+ = = −
 


Bài tập: Giải các phương trình
1)

4
10
ln
1
x
x
x
=
B. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Kiến thức cơ bản
Cho
0, 1a a> ≠
;
1 2
0, 0, 0x x x> > >
.
1) Đònh nghóa
16
log
b
a
x b x a= ⇔ =
Chú ý:
( ) ( )
( ) ( )
a
log x
x
a
1 x a x 0

b
a
x x x x
x
x x
x
x x R
x
x b
a
Chú ý:
1 1
log ; log log , 0
log
α
α
α
= = ≠
a a
a
b
b x x
a
3) Phương pháp giải
a) Đưa về cùng một cơ số
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

2
12
=+++
xx

⇔

0)12(log)3(log
22
=+−+
xx

⇔

)12(log)3(log
22
+=+
xx

⇔
x + 3 = 2x + 1

⇔
x = 2
Chú ý: Khi không sử dụng công thức tương đương nhớ đặt điều kiện để hàm số
lôgarit có nghóa (cơ số phải lớn hơn 0 và khác 1, biểu thức lấy lôgarit phải dương).
Bài tập Giải các phương trình

( )
2

Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đổi phương trình đã cho thành một phương
trình đại số.
Áp dụng:
Giải pt :
13log2)12(log
123
+=+
+
x
x
Giải
ĐK:
1
2
1
≠<−
x
13log2)12(log
123
+=+
+
x
x

⇔

01
)12(log
2
)12(log

=
3
1
⇔
x =
3
1
−
t = 2
⇒
log
3
(2x - 1) = 2
⇔
2x + 1 3
2
= 9
⇔
x = 4
Bài tập: Giải các phương trình sau
1).
3
log log 9 3
x
x + =
. 2).
2
2
2
log 3.log 2 0x x− + =

+ 3.3
x
> 6
x
-1 . x < 2 (chun 1 sang tr¸i vµ chia hai vÕ cho 6
x
)
18
3) 8
x
+ 18
x
2.27
X
x 0
2. Đa về cùng cơ số
1) 2.14
x
+ 3.49
x
4
x
0 x log
2/7
3 (chia hai vế cho 49
x
và đặt t = (2/7)
x
)
2) 2


+
xx
-1<x < 0
4)
1
2
3
1
3
2









xx
xx
x 2
5) 3
x + 1
2
2x + 1
- 12
x/2
< 0 x > 0(chia cho 3

x
x
x
x 1,-2 x<-1
Chủ đề Nguyên hàm-tích phân
A.nguyên hàm
I. Kiến thức cơ bản
19
1, Định nghĩa nguyên hàm:
F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu:
F'(x)=f(x),
( )
;x a b
3, Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (u=u(x))
dx x C= +

1
( 1)
1
x
x dx C




+
= +
+


cot
sin
dx
gx C
x
= +

du u C= +

1
( 1)
1
u
u dx C




+
= +
+

ln ( 0)
du
u C x
u
= +

u u
e du e C= +

1. Dạng 1 . áp dụng công thức biến đổi
1.2 Ví dụ
20
2, Tính chất của nguyên hàm:
1.
( )
'
( ) ( )f x dx f x=

2.
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a=

3.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =

4.
( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ( ))f t dt F t C f u x u x dx F u x C= + = +

.
1.
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a=

2.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =

a)
( )


2
3
3
2
23
b)








dx
x
x
2
cos
2
sin3
=


dx
x
dxx
2
cos
1

C
xxx
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
2
1
3
1
3
1
2
1
4
1
1
2
1
1
3
2
1
4

c, f(x)=
4
3 2
5sin x
x x
+ +
d, f(x)=
4 3
2
3 2 5x x
x
+
(x

0),
2. Dạng 2. áp dụng nguyên hàm đổi biến số dạng 1
2.1. Dạng I =

+
dxbax
n
)(
2.1.1 Cách giảI tổng quát
Đặt u =
bax
+
2.1.2 Ví dụ Tìm I =
( )

+

6
.
5
1
5
1
6
5
=
( ) ( )
C
x
C
x
+
+
=+
+
30
35
6
35
.
5
1
66
2.1.3 Bài tập tự giải
Tìm các nguyên hàm sau
a,
( )

n
2.2.1 Cách giải
21
Đặt u = ax+b
2.2.2 Ví dụ Tìm I =

+
dxx
3
32
Ta có :
dxx
3
32
+
=
)32()32(
2
1
)32()32(
2
1
3
1
3
1
++=

++
xdxdxxx

1
2.2.3 Bài tập tự giải
Tìm các nguyên hàm sau
a,


dxx
3
5
b,

+
dxx
5
43
c,


dxx
4
32
d,


dxx
3
53
2.3 Dạng 3 I =

+

+=+==+
++

5252
2
1
2
1
2
1
)52(
2
1
2.3.3 Bài tập tự giải
Tìm các nguyên hàm sau
a,


dxe
x 32
b,

+
dxe
x 73
c,


dxe
x35

)23(
1
3
1
)23(
1
555
+
+
=

+
+
=
+
xd
x
dxx
x
dx
x
Đặt u = 3x + 2 ta đợc :
C
x
C
u
C
u
du
u

Tìm các nguyên hàm sau
a,


dx
x
5
)24(
1
b,

+
dx
x
3
)37(
1
c,


dx
x
5
)23(
1
d,

+
dx
x

3.5 Dạng 4: I =

+
xdxbax ln)(
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv =
xdxln
3.6 Dạng 5: I =

xdxx
n
ln
Phơng pháp:Đặt u =
n
x
, dv =
xdxln
3.7 Ví dụ Tìm: I =

+
dxex
x
)12(
Giải
Đặt



=
+=
dvdxe

Tìm các nguyên hàm sau
a,
( )


xdxx sin2
; b,


xdxx cos)23(
;
23
c,
dxxx

+
ln)53(
; d,


dxex
x
)53(
; e,
dxxx

ln
3
B. tích phân
I. kiến thức cơ bản

f x dx G t=

.
1.
( ) 0
a
a
f x dx =

2.
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx=

3.
( ) ( )
b b
a a
af x dx a f x dx=

; a R
4.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx =

5.

sin

dx
x
x
tgxdxI
Đặt t = cosx

dt = - sinxdx

sinxdx = - dt
Cận đổi: x = 0

t = 1; x =
4



t =
2
2
Khi đó I =
2
2
ln
1
2
2
ln
1

=
1
ln1
3)

=
2
0
3
cossin

xdxxI
;
4)

=
2
0
sin
cos

xdxeI
x
; 5)

+=
6
0
cossin41


xvdvxdx
dxduxu
3cos
3
1
3sin
2
I
( )

=
6
0
3cos
3
1
0
6
3cos2
3
1


xdxxx
9
7
0
6
3sin
9