Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Thi Nguyên - Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội

Thi Nguyên - Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu……………………………………………………………...
2
Chƣơng 1: ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH…………………………
3
1.1. Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn…………………….
3
1.1.1. Đẳng thức..............................................................................
3
1.1.2. Phƣơng trình..........................................................................
3
1.2. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số...................................................
4
1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến.................................................
4
1.2.2. Hàm số ..................................................................................
4

Kết luận…………………………………………………………………
43
Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………………..
44

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
LỜ I NÓ I ĐẦ U

“Phƣơng trình” là một vần đề quan trọng trong chƣơng trình toán phổ
thông, xung quanh khái niệm “ Phƣơng trình” có rất nhiều vấn đề đáng quan tâm.
Đƣơng nhiên, vấn đề đƣợc quan tâm nhất vẫ n là các k thut gii phương trnh .
Tuy nhiên, vì quá quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên chúng ta (SGK và
những ngƣời giáo viên toán) thƣờng không chú ý tới các vấn đề khác: định nghĩa
phương trnh, đường lối chung để gii một phương trnh. Với các em học sinh,
tình trạng trên dẫn đến một hệ quả tất yếu: chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Rất
nhiều học sinh không trả lời đƣợc các câu hỏi đại loại nhƣ: “1=2 là đẳng thức
hay là phƣơng trình?”; “Mục đích của việc đặt điều kiện trong khi giải phƣơng
trình?” ….
Chính vì lẽ đó, em chọn cho mình đề tài luận văn:
“ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình”
Luận văn nhằm phân tích 2 cách định nghĩa phƣơng trình trong chƣơng
trình Toán phổ thông để từ đó đƣa ra nhận xét nên sử dụng cách định nghĩa nào
thuận lợi cho việc giải phƣơng trình ở phổ thông. Hình thành các phƣơng pháp
tổng quát giải phƣơng trình quen thuộc từ bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều
kiện. Phân tích vai trò của bƣớc đặt điều kiện khi giải phƣơng trình và đặt điều
kiện nhƣ thế nào cho đơn giản và thuận lợi.
Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễ n Minh Hà đã tậ n tì nh hƣớ ng dẫ n ,
chỉ bảo em trong quá trình viết luận văn. Đồng thời em cũng xin đƣợc cảm ơn

Việc biết một đẳng thức đúng hay sai nói chung là không đơn giản, bởi vì
sẽ có những biểu thức rất phức tạp nên để xét sự bằng nhau của chúng hoàn toàn
không dễ dàng.
Nhƣ vậy câu hỏi “1 = 2 là phƣơng trình hay đẳng thức?” đã đƣợc trả lời.
Câu trả lời là: “1 = 2” là đẳng thức (đẳng thức sai) và cũng là phƣơng trình
(phƣơng trình vô nghiệm).
1.1.2. Phƣơng trình
Hai biểu thức có chứa các đại lƣợng chƣa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi
một dấu bằng đƣợc gọi là phƣơng trình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của phƣơng
trình.
Những giá trị của ẩn làm cho phƣơng trình trở thành đẳng thức đúng đƣợc
gọi là nghiệm của phƣơng trình.
Dƣới đây là một vài ví dụ.
2 = 2 (phƣơng trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm).
1 = 2 (phƣơng trình vô nghiệm).
5x + 1 = 5 (phƣơng trình (ẩn x) có duy nhất nghiệm x =
4
5
).
3x
2
+xy
3
= 5zy +z
4
(phƣơng trình ba ẩn x, y, z phƣơng trình này có nhiều

.
Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” đƣợc gọi là phƣơng trình một ẩn, x gọi là
ẩn số, D đƣợc gọi là tập xác định của phƣơng trình. Số x
0
thuộc D đƣợc gọi là
nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nếu “f(x
0
) = g(x
0
)” là mệnh đề đúng.
1.3. Nhận xét
Với các em học sinh phổ thông, định nghĩa nào trong hai định nghĩa trên là
hợp lí? Ta hãy cùng phân tích để tìm câu trả lời.
Trong lịch sử toán học, khái niệm “Phƣơng trình” có trƣớc khái niệm
“Hàm số”. Nói cách khác, không có khái niệm hàm số, loài ngƣời đã biết định
nghĩa phƣơng trình (một cách chặt chẽ) bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Tất cả các loại phƣơng trình đƣợc đề cập đến trong chƣơng trình Toán phổ
đều có thể định nghĩa bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Định nghĩa bằng khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp các phƣơng trình.
Ví dụ, phƣơng trình f(x) = g(x), trong đó
2
2 1 1
3 2 1
x khi x
f(x)
x x khi x




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
Chƣơng 2
ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH
2.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện
Bài toán tm đối tượng tho mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả
chúng ta. Về hình thức, nó đƣợc phát biểu nhƣ sau.
Tìm tất cả các đối tƣợng
A( ).a

Kí hiệu
A( )a
biểu thị đối tƣợng A có tính chất
.a

Cùng với kí hiệu
A( ),a
ta còn dùng kí hiệu

phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán
tìm kiếm đối tượng tho mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phƣơng pháp nào trong
hai phƣơng pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi ngƣời giải toán phải có kĩ
năng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Phƣơng pháp 3: đoán nhn và khẳng định*.
Bƣớc 1: đoán nhn*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng
{ }
A( ) .ÐaT

Bƣớc 2: khẳng định*.
A A( ).Ï Þ aT

A A( ).Î Þ aT

Chú ý:
Nếu sử dụng phƣơng pháp đoán nhn và khẳng định thì ta phải có công
đoạn đoán nhn tập hợp
T
trƣớc khi tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh
A A( ).Î Þ aT

Nhƣ vậy, phƣơng pháp đoán nhn và khẳng định không tự nhiên bằng
phƣơng pháp biến đổi hệ qu và thử lại.
Vì lí do trên, phương pháp đoán nhn và khẳng định ít đƣợc sử dụng hơn
phƣơng pháp biến đổi hệ qu và thử lại.
Cần phải nói thêm rằng, để giải bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện,
về phƣơng diện lôgic, song hành với các phƣơng pháp 1, 3 còn có hai phƣơng

Ví dụ 2.2.1.1. Biến đổi hệ qu và thử lại.
Giải phƣơng trình sau.

1632  xx
(1).
Lời giải.

Bƣớc 1: biến đổi hệ qu.
Giả sử x
0
là nghiệm của (1). Ta thấy:

00
x 3 16 2x- = -
là đẳng thức đúng

2
00
x 3 (16 2x )Þ - = -2
0 0 0
x 3 256 2x 4xÞ - = - +2
00
4x 65x 256 0Þ - + =


x
4
=
thay vào vế trái phƣơng trình (1):
37 37
2. 3 16
44
  
nên
37
4

không là nghiệm của phƣơng trình.
Kết luận.
Phƣơng trình (1) có nghiệm là 7.
Ví dụ 2.2.1.2 Biến đổi tương đương.
Giải phƣơng trình sau.

x 1 x(x 3)- = - -
(1).
Lời giải.
Cách 1.
Ta thấy: x
0
là nghiệm của (1)
0 0 0
x 1 x (x 3)Û - = - -
là đẳng thức đúng
0 0 0
0

ê
-<
ï
î
ë0
0
2
0
0
2
0
0
x 2x 1 0
x1
lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
x 4x 1 0
x1
é
í
ï
- - =
ï
ê
ì
ê
ï
³

lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
x 2 3
x 2 3
x1
é
í
é
ï
=+
ï
ê
ê
ï
ê
ï
ê
ï
ê
ì
=-
ê
ë
ï
ê
ï
ê
ï
³
ï
ï

î
ë

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11

0
0
0
x 1 2
x 2 3 lµ tuyÓn ba ®¼ng thøc®óng.
x 2 3
é
=+
ê
ê
Û = - +
ê
ê
ê
= - -
ê
ë

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là
1 2.; 2 3; 2 3.+ - + - -

Cách 2.

ë
là tuyển hai đẳng thức đúng
Kết hợp với điều kiện
0
x 1 0,
ta thấy:
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0
x 1 2Û = +
là đẳng thức đúng.
Trƣờng hợp 2.
0
x 1 0.

Ta thấy:
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0 0 0
(x 1) x (x 3)Û - - = - -
là đẳng thức đúng

0
2
0
x 4x 1 0Û + + =

é
= - +
ê
Û
ê
= - -
ê
ë
là tuyển hai đẳng thức đúng
Kết luận.
Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là
1 2,+

2 3, 2 3.   

Nhận xét.
Để phân biệt cách 1 và cách 2, ngƣời ta nói cách 1 là biến đổi tương
đương, cách 2 là biến đổi tương đương trong điều kiện.
Ví dụ 2.2.1.3. đoán nhn và khẳng định.
Giải phƣơng trình sau trong
0( , ).2
10
xxx
x


(1).

x
< 1
x
=1 và x
2
< x, do đó x – x
2
> 0, suy ra
2
0
10 10 1
xx

, điều đó có nghĩa là
2
10


x x x
x
.
Vậy (1) không có nghiệm khi 0 < x < 1.
Kết luận. x = 1 là nghiệm của phƣơng trình (1)
Ví dụ 2.2.1.4. đoán nhn và khẳng định.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13

( )

Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) bằng tập nghiệm của phƣơng
trình f(x) = g(x) thì ta nói phƣơng trình f(x) = g(x) và phƣơng trình F(x) = G(x)
là hai phƣơng trình tƣơng đƣơng.
Để biểu thị f(x) = g(x) và f(x) = g(x) tƣơng đƣơng, ta viết:
f(x) = g(x)

F(x) = G(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Đƣơng nhiên f(x) = g(x)

F(x) = G(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x)

F(x)
= G(x) và F(x) = G(x)

f(x) = g(x).
Hãy chú ý tới sự hoàn hảo của kí hiệu, dấu

bao gồm hai dấu:

và

.
Nhờ các khái niệm phƣơng trình hệ quả và phƣơng trình tƣơng đƣơng, lời
giải của các ví dụ 2.2.1.1 và 2.2.1.2 đƣợc thể hiện đơn giản hơn.
Ví dụ 2.2.2.1. (giải lại bằng khái niệm phƣơng trình hệ quả).
Giải phƣơng trình sau.


ê
=
ê
ë

Bƣớc 2, thử lại.
Khi x = 7, vế trái của (1) =
2.7 7 3 16  
= vế phải của (1). Do đó 7 là
nghiệm của phƣơng trình (1).
Khi
37
x
4
=
vế trái của (1) =
37 37
2. 3 16
44
  
= vế phải của (1). Do đó
37
4
không là nghiệm của phƣơng trình.
Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là 7.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Lời giải.

- - = - -
ï
ê
ï
ì
ê
ï
-<
ê
ï
î
ë2
2
x 2x 1 0
x1
x 4x 1 0
x1
é
í
ï
- - =
ï
ê
ì
ê
ï
³

=+
ï
ê
ê
ï
ê
ï
ê
ì
ê
=-
ê
ë
ï
ê
ï
ï
ê
³
ï
î
ê
Û
ê
í
é
ï
ê
= - +
ï

ê
ê
ê
= - -
ê
ë

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là
1 2.; 2 3; 2 3.+ - + - -

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Cách 2.
Trƣờng hợp 1.
x 1 0.

Ta thấy: x 1 x(x 3)
x 1 x(x 3)
- = - -
Û - = - -2
x 2x 1 0Û - - =

x 2 3
x 2 3
é
= - +
ê
Û
ê
= - -
ê
ë

Kết hợp với điều kiện
x 1 0,
ta thấy
x 2 3, x 2 3= - + = - -
là các
nghiệm của (1).
Kết luận.
Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là
1 2,+

2 3, 2 3.   

Nhận xét.
Cách 1 vẫn đƣợc gọi là biến đổi tương đương, cách 2 vẫn đƣợc gọi là biến
đổi tương đương trong điều kiện.