Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

1

ĐỀ TÀI:
Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH
Năm học 2009-2010

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG
TỔ HÀNH CHÁNH www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

2
MỤC LỤC I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Một số kết quả đạt được

lượng giải ít hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh nhà.
Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chuyên đề này là
việc cần thiết trong tình hình hiện nay.Được sự ủng hộ của các thầy cô trong tổ Toán
trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện viết chuyên đề :” Một số Bất đẳng
thức nâng cao”.
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng một số bất đẳng
thức nâng cao mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Bất đẳng thức Côsi mở
rộng , Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng , Bất đẳng thức Jensen , Bất đẳng thức
Tsêbưsep , Bất đẳng thức Schwarz ,… .Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết
vận dụng vào việc giải các bài toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học
và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài toán mới.
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trình bày nội dung các bất đẳng thức nâng cao sau đó chứng minh và hướng
dẫn giải các bài tập áp dụng
Tùy theo từng nội dung của Bất đẳng thức có sự liên hệ với các bất đẳng thức
còn lại trong đó có sử dụng nhiều đến phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức
mà trong các kỳ thi học sinh giỏi toán thường hay gặp.
Vì đây là chuyên đề nâng cao về bất đẳng thức nên chúng tôi không trình bày
các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , coi như học sinh chuyên Toán phải nắm để
làm cơ sở cho việc học chuyên đề này.
Rèn luyện tư duy toán thông qua giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức
và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm
với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang.
4. Phương pháp nghiên cứu
-Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt

ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep)
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI M
Ở RỘNG
Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOP
XKI MỞ RỘNG
Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (S
VACXO)
Chương VII: M
ỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI
Chương VIII: S
Ử DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT
ĐĂNG THỨC.
Trong mỗi chương sau phần trình bày Bất đẳng thứ
c là phần chứng minh và
các bài tập áp dụng.
Dù cố gắng nhiều như
ng đề tài không tránh khỏi sai sót , rất mong nhận được
sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà.
Sau đây và trình bày phần n
ội dung của đề tài.
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

6
Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
I.1.Định lý 1:
Cho hàm số y = f(x) có
với
//

f
tăng trên (a;b) nên
//
() ()
f
dfc<
/
() () ( ) ()
f
xfc xcfc⇒−>− (do x < c)
iii/Tương tự với x > c ta cũng có
/
() () ( ) ()
f
xfc xcfc−>−
Vậy
/
() ()( ) (), (;)
f
xfcxcfc xab≥−+∀∈
Chú ý : Nếu
//
() 0 (;)
f
xxa<∀∈ b thì (1) đổi chiều ( đồ thị ( C) lồi trên (a;b))
I.2.Định lý 2:(BĐT Jensen)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b)
a/ Nếu với
//
() 0fx> ( ; )

αααα α
+++ ≤ + ++
(2)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
12

n
x
xx===

b/ Nếu với
//
() 0fx< ( ; )
x
ab∀∈ thì (2) đổi chiều.
Chứng minh:
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

7
ba/ Đặt .Theo định lí 1 ta có
1
(;)
n
ii
i
cxa
α
=
=∈

α
αα
===
≥−+
∑∑∑
α
=
∑

Vì
1
n
ii
i
cx
α
=
=
∑
và nên
1
1
n
i
i
α
=
=
∑
//

12
1

n
n
αα α
==== thì BĐT (2) thành :
12 1 2
( ) ( ) ( )
()
nn
ff f
f
nn
α
αααα
+++ + ++
≤
α
(3)
Chú ý : Bằng quy nạp ta CM được nếu (3) đúng với n=2 thì (3) đúng với mọi n tự nhiên
lớn hơn 2
I.3.BĐT Jensen dạng tổng quát ;
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b)
a/ Nếu với
//
() 0fx> ( ; )
x
ab∀∈ thì
( ; ) , 1,2, ,

8
b/ Nếu với
//
() 0fx< ( ; )
x
ab∀∈ thì (4) đổi chiều.
Chứng minh: Áp dụng BĐT Jensen với
,
i
i
k
i
α
β
α
=
∀
∑

I.4. Chứng minh các BĐT cổ điển bằng cách áp dụng BĐT Jensen:
a/BĐT CôSi : Cho n số dương ta có
12
, , ,
n
aa a
12
12n

ln ln
nn n
n
n
n
n
f
afa fa aa a a a a aa a
f
nnn
aa a
aa a
n
+++ +++ +++ +++
≤⇒ ≤
+++
⇒≤
n
Vậy
12
12n
n
n
aa a
aa a
n
+++

n
nn
nn
nn n n
xx x
xx x
xx x x x x
αα α
αα α
αα α αα α
αα α αα αα α α
+++
⎛⎞
+++
≤
⎜⎟
+++ +++
⎝⎠
⇔ + ++ ≤ + ++ + ++
2

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

9
Đặt
i
i
i
a

aa a
xx x
bb b
=
== ⇔ = ==

c/BĐT Holder
Cho ; p > 0 , q > 0 và
0; 0 ( 1,2, , )
ii
ab i>>= n
11
1
pq
+
=
.Ta có :
11
111
nnn
p
q
pq
ii i i
iii
ab a b
===
⎛⎞⎛
≤
⎜⎟⎜

=− ∀>
Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có:
12
12
12
11 2 2
12 12
11
1
11 2 2 1 2 1 2
( ) ( )
n
n
p
pp p
n
nn
nn
pp p
pp
nn n n
xx x
xx x
xx x x x x
αα α
αα α
αα α αα α

;
qq
iii ii
bxab
α
−
==
11
111
nnn
p
q
pq
ii i i
iii
ab a b
===
⎛⎞⎛
≤
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
∑∑∑
⎞
⎟
⎠

I.5.Bài tập áp dụng :
Bài 1
:Cho
0, 1

−
=
−∀>

Áp dụng BĐT Jensen ta có :
()
r
r
iiii
x
fx x x
f
nn n
⎛⎞ ⎛⎞
≤⇒≤
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∑∑ ∑ ∑
n

Chú ý : Nếu 0 < r < 1 thì BĐT đổi chiều
Bài 2: Cho
0, 0; ,
i
x
pq pqN>≥> ∈
.CMR:
11
nn
qp

ii i i
yy x x
nnnn
== = =
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
≤⇒ ≤
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∑∑∑∑
11
nn
qp
ii
qp
ii
xx
nn
==
≤
∑
∑

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

11
Tổng quát :

Bài 3: Cho .CMR:
0
i
a >
()
1
12
1
1
1
1
n
n
i
i
n
n
a
aa a
=
≥
+
+
∑

Hướng dẫn: Ta có
12
12
1
(ln ln ln )

ne n n
e
+++
⇔≥ ⇔≥
+
+
∑∑∑

Xét hàm số
1
()
1
x
fx
e
=
+
và
ln 0
ii
xa=>
Bài 4: Cho .CMR:
,, 0abc>
2
()()() ( )
3
abc
abc
bc ca ab abc
++

ln( ) ln[ ( )]
3
abc bca cab a b c
abc abc
abc abc
++ ++ + ++
⇔≤++−
++ ++
≤++

(vì
2
2222
()3( )(
3
ab bc ca
a b c ab bc ca a b c
abc
++
≤++⇔ ++≤++
++
)
≥
)
Bài 5: Cho .CMR:
1
0, 1, 1
n
ii
i

Bài 6:Cho .CMR: , , 0, 1abc a b c> ++=
444
16
()()()
27
ab bc ca+++++≥
HD: Xét hàm số
4
() ( ), (0;1)fx a b c x x=++− ∈
Bài 7:Cho tam giác nhọn ABC.CMR:
2(sin sin sin ) (tan tan tan ) 6 3ABC ABC++ + ++ ≥
HD: Xét hàm số ( ) 2sin tan ,
f
xxx=+ (0; )
x
π
∈

Bài 8:Cho tam giác ABC và .CMR: 2k ≥
sin sin sin 3 3
cos cos cos 2 1
ABC
kAkBkCk
++≤
+
++ +

HD:
sin
() , (0; )

23
() 0, 0
(1)
x
fx x
x
−
=
<∀>
+

Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có:
() () () ( )
bcaabb
fa fb fc f
abc abc abc abc
cca
+
+
++≤
++ ++ ++ ++

ln 1 3
()(())()ln2
9
34
4
Sabbcca
f f abc f
abc

q
xy
=

HD: Xét hàm số () ln , 0
f
xxx=>
Bài 11: Cho (i=1,2,…,n).CMR:
,
ii
ab> 0
12 12 1 1
( ) ( )
nnn
nn n
aa a bb b a b a b+≤++
n

HD:
12 1 1 2 2
12 12 1 1
12 1 2
12 1 2
12 1 2

( ) ( ) 1 1(1)(1) (1)


⇔+ ≤ ++++++
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠

Xét hàm số , () ln(1 ), 0
x
fx e x=+ >
()
ii
x
fx
f
nn
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑
, ln
i
i
i
b
x
a
=

=+ với x > -1
Ta có
/1//
() (1 ) ; () ( 1)(1 )fx x f x x
αα
ααα
−−
=+ = −+
2
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

14
Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(0;1) là 1yx
α
=
+
a/ Nếu 0
α
< hoặc 1
α
> thì
//
()
f
x > 0 với mọi x > -1
⇒
(1 ) 1 , 1xxx
α
α

:CMR:
33 3
(1) (2),
nn n
nn n n
++ +
++ <+ ∀∈N
Giải: Ta có :
33
33 3
2
(1) (2) 1
11
nn
nn n
nn
nn n
nn
+
+
++ +
+
⎛⎞ ⎛ ⎞
++ <+ ⇔ +<
⎜⎟ ⎜ ⎟
++
⎝⎠ ⎝ ⎠

Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
33

1
1
1(1)
11
n
nn
nn
n
nn nn
nn
−
−
⎛⎞
>+⇔>+ ⇔ >
⎜⎟
+
+
⎝⎠

Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
11
11
111
nn
nn
nnn
⎛⎞⎛ ⎞
=− >− =
⎜⎟⎜ ⎟
1n

dd
ddd
c
abc
bb
⎛⎞ ⎛⎞
+<⇔ >+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
a
.Vì c > b nên 1cb≥+
Áp dụng BĐT Bernoulli ta có
11
1111
ddd
cb da a
bb b bbb
+
⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎛
≥=+≥+>+>+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜
⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝
d
⎞
⎟
⎠

(vì
01
d

⎝⎠ ⎝ ⎠

Bài 6:Cho n là số nguyên dương .CMR :
1
11
11
1
nn
nn
+
⎛⎞⎛ ⎞
+<+
⎜⎟⎜ ⎟
+
⎝⎠⎝ ⎠

Giải : Ta có
111
11 12 12
11
11
nnnnnn
nn n nn
nn nn nn
+++
++ + +
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
+<+ ⇔ < ⇔ <
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
++ +

nnn
++
⎡⎤⎛ ⎞
+
=− >− =
⎜⎟
⎢⎥
+++
⎣⎦⎝ ⎠
1n+
1

Bài 7:Cho .CMR:
0,ab<<
1
ba
ab+>
Giải: Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
11 1 (1)
11
bb
b
b
a b a abab a
a
a a a a a abab
−−+−
⎛⎞ ⎛ ⎞
==+ <+ = ⇒>
⎜⎟ ⎜ ⎟

−
+≥ +
α

Giải: Ta có
1
22
2( ) 2
xy
xy xy
xy xy
αα
αα α α
−
⎛⎞⎛⎞
+≥ + ⇔ + ≥
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠

Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có :
22 22
.1; .1
xx yy
xy xy xy xy
αα
α
αα
⎛⎞ ⎛⎞
≥+− ≥+

333
(1) 3
np np np
abc
abc abc abc
+++
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
≥
Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có :
33
(). 1()
np
aa
np np
abc abc
+
⎛⎞
≥+ +−+
⎜⎟
++ ++
⎝⎠
,…
Bài 10:Cho a, b,c > 0.CMR:
222
2
3


Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/
2
22 2
3
sin A+sin sin 3
2
BC
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠
(3)
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

17
b/
22 22 22
12
tan tan tan 3
222
ABC
−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

HD: a/

+≤

b/ Áp dụng:
tan tan tan 3
222
ABC
++≥

Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep)
III.1.BĐT CHEBYSHEV
1/Cho hai dãy n số và đều tăng hoặc đều giảm tức là :
12
, , ,
n
aa a
12
, , ,
n
bb b
12
12n
n
aa a
bb b
≤≤≤
⎧
⎨

aa a
=
==
hoặc
12

n
bb b
=
==

2/Cho hai dãy n số và có một dãy tăng hoặvà một dãy giảm
tức là :
12
, , ,
n
aa a
12
, , ,
n
bb b
12
12n
n
aa a
bb b
≤≤≤

Dấu bằng xảy ra khi
12

n
aa a
=
==
hoặc
12

n
bb b
=
==

Chứng minh:Ta CM cho trường hợp:
12
12n
n
aa a
bb b
≤
≤≤
⎧
⎨
≤
≤≤

khi đó ta có
11

kk
bbbb
+ n
b
≤
≤≤≤ ≤≤
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
()()
ii
aabb0
−
−≥
với mọi i=1,2,…,n hay
0
ii i i
a b ab ba ab
−
−+≥
với
mọi i. Cộng n BĐT lại ta được :
0
ii i i
ab a b b a nab
−
−+
∑∑∑

bb b
=
==

III.2.Bài tập áp dụng :
Bài 1:Cho tùy ý .CMR:
12
, , ,
n
aa a
2
22 2
12 12

nn
aa a aa a
nn
+++ +++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠

HD: Giả sử .Xét dãy b
12

n
aa a≤≤≤
k
=a


HD:Giả sử thì ab≥
nn
ab≥
Bài 5:Cho n số không âm .CMR với mọi số nguyên dương m ta có :
12
, , ,
n
aa a
12 12

m
mm m
nn
aa a aa a
nn
+++ +++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠

HD: Giả sử thì
12
0
n
aa a≤≤≤≤
12
0
mm

12kk
n
ll l
n
aa a
aa a
⎧
k
≤
≤≤
⎪
⎨
≤≤≤
⎪
⎩

Bài 7:Cho tam giác ABC.CMR:
3
aA bB cC
abc
π
+
+
≥
++

Bài 8:Cho a,b không âm có tổng bằng 2.CMR:

mmnn mnmn
abab a b
++
++≤+)
Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR:
a/
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
≤
++

b/
sin sin sin sin sin sin
sin sin sin
AABBBBCCCCAA
A
BC
AB BC CA
+++
++≥+
+++
+
Bài 12: a/ Cho a,b,c > 0 và .CMR:
222
1abc++≥
333
1

22
n
i
i
i
a
n
pan
=
≥
−
−
∑

Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG
IV.1.Chứng minh BĐT Côsi bằng phương pháp đạo hàm:
a/ Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f(x) = e
x
- x-1 trên R ta chứng minh được
BĐT: (1) với mọi 1
x
ex≥+
x
R∈ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0
b/
BĐT Côsi :Cho các số dương .Ta có
12
, , ,
n
aa a

∑
a .Áp dụng (1) ta có :
1
, 1,2, ,
k
a
k
T
a
ek
T
−
≥=n

Nhân n BĐT trên lại ta được
1
k
n
a
k
n
n
T
n
kk
n
a
eTaT
T
−

12
12

11 2 2
12
12
n
n
pp p
p
pp
nn
n
n
xp xp xp
xx x
pp p
+
++
⎛⎞
+++
≤
⎜
+++
⎝⎠
⎟
.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

=
∑
∑
. Áp dụng (1) ta có :
1(
.
kk
k
kk
xx
p
pp
k
TT
k
x
exTe
T
−−
≤⇒≤
1)

Nhân n BĐT trên lại ta được :
1
11
11
.
n
k
nn

+
+
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠

Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:

2
2
ba
ab ab
ab ab ab a b
ab ab
ab ab ab
++
+
≤+= ≤≤
+++

⇒
2
ab
ba
ab
ab
+
+
⎛⎞

x
x
xxx x
+
+
⎛⎞
++
⎜⎟
+
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
+≤ = =+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
++ +
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎜⎟
⎝⎠
1
1
x
1.Vì
+
≠ nên dấu bằng không
xảy ra.
Chú ý :Có thể chứng minh cách khác bằng cách áp dụng định lí Lagrange như sau:
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

22
Xét hàm số

Bài 3:Cho
2
4
(0;2) . : 1
29
x
x
xCMR
⎛⎞
∈−
⎜⎟
⎝⎠
<

Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:
2
2
22
2
21
(1 ) 2(1 )
91
22
1.1.1
2
24 2 2
2
x
xx
x

11
22
x
−≠+
nên dấu bằng không xảy ra.
Bài 4:Cho các số dương
123
,,
x
xx
và các số thỏa hệ :
123
,,yyy
1111122133
221122223
331132233
3
3
y
ax ax ax
y
ax ax ax
y
ax ax ax
=++
⎧
⎪
=++
⎨
⎪

123 i11 i22 i33
i1 i2 i3

aaa
a
aa
i
ax ax ax
xxx ax ax ax y
aaa
++
⎛⎞
++
≤=+
⎜⎟
++
⎝⎠
+=
23
y
với i =1,2,3
Nhân 3 BĐT trên lại ta được:
11 21 31 11 21 31 13 23 33
123 1

aaa aaa aa a
xxx yy
++ ++ ++
≤
⇒

k
kk
k
a
aab
a
=
==
∑
thì
1
1
n
k
k
b
=
=
∑
.Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:
12
12 12
12 12
12 12
11
. ( )
n
b
bb
nn

aa a
a
aa
n
n
a
aa
aa
n
aa a
xx x
xx x
aa a a
a
⇒≤⇒≤Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
12
12
1
;
1

i
i
i
n
n
x

a
aa
n
a
aa a
a
khi
;
i
i
a
xi
a
=
∀

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

24

Bài 6: Cho p , q dương và
11
1
pq
+
=
.CMR với mọi x , y dương ta có :
pq
x


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
p
q
xy
=

Tổng quát : Với và
12
, , , 0
n
pp p>
1
1
1
n
k
k
p
=
=
∑
thì
()()
()
12
12
12
1
11

pp
n
x
xx===

Bài 7:Cho p , q > 0 và p+q =1.CMR với mọi
(0; )
2
x
π
∈
ta có
11
tan cot 1
pq
pxqx+≥

Hướng dẫn: Áp dụng bài 6
Bài 8 : (BĐT Holder )
Cho ; p > 0 , q > 0 và
0; 0 ( 1,2, , )
ii
xy i>>= n
11
1
pq
+
=
.Ta có :
www.VNMATH.com

qq
n
xx
yy
==

Chứng minh:Đặt
() ()
11
A;B
pq
pq
ii
x
y
==
∑∑

Áp dụng bài 6 ta có :
11 111
. . .
pq
pq
ii
ii i i ii
pq
xy
xy x y xy
AB p A q B AB p A q B p q
⎛⎞ ⎛⎞

Chú ý :Nếu p = q =2 ta được BĐT Bunhiacopxki
Bài 9: (BĐT Mincopxki)
Cho các số không âm và p > 1 ta có BĐT:
12 12
, , , ; , , ,
n
aa a bb b
()()
11
1
()
pp
pp
p
ii i i
ab a b
⎡⎤
+≤ +
⎣⎦
∑∑
p
∑

Chứng minh:
Đặt
1
1
p
q
p