1
Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp
The method of analyzing engineering systems and its direct numerical solution Bùi Trương Vĩ
Đại học kỹ thuật Đà Nẵng
TÓM TẮT
Nội dung bài báo trình bày phương pháp không
gian-trạng thái dùng trong kỹ thuật phân tích và
đánh giá chất lượng các hệ thống động lực cũng
như lời giải số trực tiếp có thể dễ dàng thực hiện
trên các máy tính số. Các ví dụ ứng dụng bao gồm
khảo sát và giải cho2 hệ thống .1.Hệ thống cơ học :
Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của chiều dài vít
me hộp chạy dao máy CNC đến độ chính xác gia
công trên máy 2.Hệ thống cơ-điện tử :Khảo sát đặc
tính động lực của động cơ điện 1 chiều điều khiển
tốc độ bằng dòng điện phần ứng cho cả 2 trường
hợp : trục cứng vững tuyệt đối và trục có tính đến
độ đàn hồi.
ABSTRACT
This article develops the state-space
representation using in analyzing and examining
the performance of engineering systems, also
includes the solution using direct numerical
method. One of the most advantages of this

phương trình chuyển động của hệ thống qua các
biến trạng thái :
• Số biến trạng thái bằng số điều kiện
đầu để giải được phương trình chuyển
động.
• Các biến trạng thái chính là các biến
mà điều kiện đầu đòi hỏi.
+ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG
TRÌNH KHÔNG GIAN-TRẠNG THÁI :




+=
+=
DuCxy
BuAxx
&

với :
A,B,C,D là các ma trận không gian-
trạng thái ; x,u là các véctơ
Ma trận A có kích thước n × n , là ma
trận hệ thống
Ma trận B có kích thước n × m , là ma
trận biến vào
Ma trận C có kích thước p × n , là ma
trận biến ra
Ma trận D có kích thước p × m , là ma
trận truyền

hay : x(t + ∆t) = x(t) +
tx∆
&

Đây có thể được coi là biểu thức xấp xỉ kế tiếp để
tính giá trị của x ở thời điểm (t
)
t
∆+
khi biết giá
trị của x và
x
&
ở thời điểm t .
Thay
x
&
ở phương trình biến trạng thái vào biểu
thức xấp xỉ kế tiếp , ta có:

x(
][
tuB)t(Ax)t(x)tt ∆+
+
=
∆
+

Chú ý rằng các hệ thống động lực dùng làm hệ
chấp hành máy công cụ được mô tả ở trên với giả

trí thực tế của bàn máy.
Yêu cầu của bài toán nhằm tìm ra các ảnh hưởng
do tính đàn hồi của vít me tác dụng đến sự làm việc
của cơ cấu chấp hành (bàn máy) cũng như biện
pháp khắc phục để bàn máy mang chi tiết gia công
đến vị trí mong muốn với độ chính xác cao. Yêu
cầu nầy là đặc biệt có ý nghĩa khi bàn máy mang
chi tiết gia công đang thực hiện chuyển động cắt
gọt , bởi vì dụng cụ cắt có thể cắt lẹm vào bề mặt
gia công
LỜI GIẢI
4
4
3
3
4
M
1
1
θ
J
1
J
3
3
θ
4
θ
J
4

θ
H1b) :Môhình hệ thống
4
2
θ
J
2
I
II

Hình 1trình bày sơ đồ hệ thống truyền động chạy
dao theo 1trục toạ độ của máy công cụ ĐKS(CNC)
Các giả thiết ban đầu :
Trục I : trục động cơ, giả sử cứng vững tuyệt đối ,
khi đó rô to động cơ cùng với trục I và bánh răng 2
quay cùng tốc độ, hay nói một cách khác
θ
1
= θ
2
= θ
m
;
Trục II : trục vít me,có độ cứng
k
vm
4
l32
dGπ
=

θ
&
-M
2
= J
1
m
θ
&&
(1.1)
k
44424
m
Jb
N
θ=θ−






θ−
θ
&&&
(1.2)
Ngoài ra, do trục I truyền chuyển động đến trục
vít me qua cặp bánh răng trung gian được giả thiết
bỏ qua mô men quán tính, nên ta có thể viết :
NM

&
; x
4
=
4
θ
&

Khi đó có thể viết :
21
xx
=
& ;
43
xx
=
&
;
m2
x θ=
&&
&
;
44
x θ=
&&
&

Từ các phương trình (1),(2),(3), ta có:


2
1
1
J
M
x
NJ
k
x
NJ
k
x
J
b
++−−=

và
4
4
2
4
4
m
4
4
J
b
J
k
NJ
















4
3
2
1
x
x
x
x








−










−
4
2
J
b
1
0
0




















0
0
J
1
0
1
M
1

Thay các số liệu thành phần của A và B, trong đó
cho trước :
J
1
= 0,0001Nms
2
/rad ;
J
4
= 0,001Nms
2
/rad ;
b

Thời gian t ( s )
H1.d)Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ học
Thuật toán
• Xác định gia số thời gian và các giá trị
đầu
dt = 0,01 N=1000
x
1
(0) = 0 x
2
(0) = 0; u (0) = M
1
(0)= 1/100
• Thời điểm bắt đầu : t
1
= 0
• Thực hiện các phép tính với i=1












−−


biểu thị sự biến đổi tốc độ góc của trục I và trục II
theo thời gian , qua đó ta có thể thấy rằng có thể coi
đáp ứng đạt giá trị xác lập sau khoảng 1s, đây là
khoảng thời gian khá dài khi gia công với tốc độ
cao. Mặt khác, bản chất dao động của đáp ứng có
thể sản sinh ra các mấp mô trên bề mặt gia công.
Biện pháp khắc phục : Cần thiết lập hệ thống điều
khiển có phản hồi cho hệ thống khảo sát.
Σ
-
Hệ thống
chấphành
x
H1.e:Mô hình hệ thống có phản hồi
dạng không gian-trạng thái
Σ
+
+
B
A
y
x
&
ru
G
+
C
Trong trường hợp tổng quát , đối với hệ thống có
phản hồi mô tả ở dạng không gian - trạng thái (H

Kết quả là phù hợp.
Đáp ứng nấc hệ thống có phản hồi nhận được như

4
(H 1.f)
Đường x3 mô tả đặc tính chuyển vị góc tại vị trí
mang tải trên trục II của hệ thống chấp hành theo
yêu cầu thiết kế ξ = 1 ( đáp ứng không dao động
nhanh nhất ); tương ứng với sự biến đổi tốc độ góc
trên các trục I và II sau thời gian xác lập sẽ bằng 0
(các đường x2 và x4 ở H1. c,d ).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Thời gian t(s)
x3
H1.f): Đáp ứng nấc của hệ thống có phản hồi
Kết quả của phương pháp trên là rõ ràng , tuy vậy
có 1 số nhược điểm , ví dụ việc đặt cực tuỳ ý có thể
vượt quá khả năng thực tế của hệ điều khiển hệ
thống truyền động, cũng như tất cả các biến trạng
thái phải được phản hồi (trường hợp đang khảo sát,
cần 2 chuyển vị kế và 2 tốc kế ), dẫn đến hệ phức
tạp, tăng giá thành .

ΣV
điện áp rơi
= 0
V
Ra
+ V
La
+E
b
- V
i
= 0
trong đó : E
b
là sức phản điện sinh ra trong động cơ
khi cuộn dây rô to bắt đầu quay.
E
b
= K
e
ω =K
e
θ
&

với K
e
: hệ số phản điện, là hằng số. K
e



+
-
V
i
R
a
L
a
+
-
k
i
a
J
r
J
đ
4
θ=ωθ
&
,
M
t
H2 a) Hệ thống động lực với động cơđiện 1 chiều
điều khiển tốc độ bằng dòng điện phần ứng.
H2 b) Sơđồ phân tích
Hệ có 1biến vào V
i
và 2biến ra, i







A
Nm

Viết lại :
J
θ+θ
&&&
b
- k
m
i
a
= M
t
(2.2)

Cuối cùng , phương trình mô tả hê thống :





=θ++
=−θ+θ



θ
a
i
&&
&&
+



e
k
b



a
L
0






θ
a
i
&



i
t
V
M

Do hệ phương trình không chứa số hạng độ cứng ,
nên có thể thay
ω
=
θ
&
.
Khi đó các phương trình hệ trở thành :





=ω++
=−ω+ω
ieaa
a
a
tam
VkiR
dt
di
L

+



e
k
b



−
a
m
R
k






ω
a
i
=






.
b = 2Nms .
k
m
= 1Nm/A .
M
t
= 0 .
Thay các giá trị bằng số, ta có:



0
1




1
0






ω
a
i
&

0

H2.c) là lời giải nhận được đối với hệ thống cơ -
điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm
dòng nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu
cho trước như trên.
Giá trị xác lập của dòng và tốc độ đạt được là
0,67A và 0,33 rad/s tương ứng , được tìm thấy qua
đồ thị.
Lời giải số trực tiếp
Kết quả :H2.c
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
012345678910
Thời gian t(s)
)t(ω
i(t)
H2.c) :Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ-điện tử
Nếu giả thiết trục có độ cứng hữu hạn k , hệ
thống điện ở (H2a) không thay đổi, nhưng sơ đồ
phân tích hệ thống cơ học ở (H2b) được thay đổi
như sau:
Mô tả hệ thống cơ học (H2b) theo mô hình hệ

khi trục có độ cứng hữu hạn
Phương trình vi phân mô tả hệ thống điện :
L
a
+R
a
i
a
+k
e
=V
i
(3.1)
dt
di
a
1
θ
&
Đối với hệ thống cơ học,các phương trình momen :
)2.3(ikM)(k)(bJ
am121211r
==θ−θ+θ−θ+θ
&&&&
)3.3(M)(k)(bJ
t21122t
=θ−θ−θ−θ+θ
&&&&
Viết lại ở dạng phương trình biến traṇg thái với
các biến traṇg thái được chọn :

=θ
;
x
5
= i
a
;
x
6
=
5a
xi
&
&
=
.
Khi đó đối với toàn hệ thống điện và cơ :

























−
0
0
J
k
0
J
k
0
t
r

0
L
k
J
b
0
J

−

0
L
R
0
0
J
k
0
a
a
r
m
−












0
0
0

4
3
2
1
x
x
x
x
x
x

+
i
a
V
0
L/1
0
0
0
0






















Áp dụng lời giải số trực tiếp cho hệ thống cơ-điện
tử trình bày ở H2 với phương trình vi phân mô tả ở
dạng ma trận như trên
Các số liệu ban đầu cho trước
:
Điều kiện đầu :
i
a
(0) = 0 ;
)0(i
a
&
=0 ;
1
θ
(0 ) = 0;
0)0(
1

1,2
0246810
Thời gian t(s)
x2
x4
x5
Điện áp đặt vào là hàm nấc đơn vị :
V
i
(t) =1;
M
t
= 0
L
a
= 1H
R
a
= 1Ω;
k = 1Nm/rad;
b = 2Nms ;
k
e
=1Vs
k
m
=1Nm/A ;
J
r
= 0,1kgm

5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
=










−
0


0
1
0
0
10
0
−











0
0
0
0
0
0






i
V
0
1
0
0
0
0




















+
t

điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm
nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu cho
trước như trên.
Trên đồ thị ,các đường đặc tính x
2
và x
4
biểu thị sự
biến đổi tốc độ góc tại vị trí rô to và tại vị trí đĩa
mang tải theo thời gian .Rõ ràng là do ảnh hưởng
bởi độ đàn hồi của trục gây ra 1 lượng chuyển vị
vượt quá trong giai đoạn quá độ của hệ thống chấp
hành .Lượng vượt quá nầy lên đến hơn 10% theo đồ
thị sau thời gian 4,71 s

KẾT LUẬN
Trên đây là phương pháp mô tả không gian -trạng
thái trong phân tích thiết kế các hệ thống kỹ thuật
và cách dùng lởi giải số trực tiếp để nhận được kết
quả tính toán
Độ chính xác kết quả nhận được ngoài việc phụ
thuộc vào mô hình thiết lập còn phụ thuộc vào thuật
toán tìm lời giải.
Đối với thuật toán của lời giải số trực tiếp, độ
chính xác kết quả nhận được chỉ phụ thuộc vào số
phép lặp, và độ dài thời gian thực hiện, và tùy theo
tính chất hệ thống khảo sát cũng như tùy thuộc vào
chỉ tiêu cụ thể khi phân tích , đánh giá chất lượng
hệ thống để lựa chọn số phép lặp N và gia số thời
gian ∆t thích hợp.

trình bằng Turbo Pascal (Tài liệu dùng cho cán bộ
và sinh viên các ngành kỹ thuật),Nhà xuất bản
Khoa học-Kỹ thuật,Hà Nội 1998

[7]Elliot B.Koffman : Turbo Pascal, Problem
Solving and Program Design, Addison-Wesley
Publishing Company, Inc,1991.
[8] MatLab 6p5 ,The MathWorks Inc,2002

7