Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

Nguyªn hµm - tÝch ph©n vµ c¸c øng dơng

a.tÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa
Ph−¬ng ph¸p:

1. §Ĩ x¸c ®Þnh nguyªn hµm cđa hµm sè f(x), Chóng ta cÇn chØ ra ®−ỵc hµm sè F(x)
sao cho:
F’(x) = f(x).
• ¸p dơng b¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n, c¸c hµm sè s¬ cÊp .
• Nếu gặp dạng căn thức đưa về dạng số mũ phân theo công thức:
,( 0)
n
mn
m
xxm=≠

• Nếu gặp dạng
()
n
Px
x
thực hiện phép chia theo công thức:
1
,( ); ,( )
mm
mn
nnnm
xx

1
du
a

()
()
1
!
1
()
1(1)
ax b
u
ax b dx u du C C
aa a
α
α
αα
αα
+
+
+
+= = += +
++
∫∫

2. Dạng : đặt
()
1
,( 0, 1)

++
−
+⇒ = ⇒ =
+
+==+=
++
∫∫
)
+

3.
Dạng:
). cos sin ( 1) axdx
α
α
≠
−
∫
( Đặt
1
1
cos sin ) cos sin cos
(1)
u x du xdx x xdx u du x C
αα α
α
+
−
=⇒=− ⇒ =− = +
+

ax b a
=++≠
+
∫

Nếu gặp :
()Px
ax b
+
với bậc : làm bài toán chia.
() 1Px≥
GV: Ngun Thanh S¬n
1
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

5. Dạng:
2
cos ( )
dx
x
abtgx+
∫
Đặt
22
111
;l
cos cos ( )
2
dx

gx g xdx
∫
Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du
(())'() ()
f
gx g xdx fudu=
∫∫

4.
Công thức :
2
2
2
1
). ln .( 0)
2
). lndu u a
aCa
ua aua
du
buukC
uk
α
−
=+≠
−+
=+++

+Tuỳ vào mỗi dạng áp dụng các công thức tính tích phân chỉ trong bảng sau:
Tử số bậc nhất Tử số hằng số
Mẫu số không căn
ln
du
uC
u
=
+
∫

22
1
ln
2
−
=
+
−+
∫
du u a
C
ua auaMẫu số có căn
2

+=+ −
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
+= + −
⎢
⎥
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦

GV: Ngun Thanh S¬n
2
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

4. TÝch ph©n cđa c¸c ph©n thøc h÷u tØ:
32
ax b A B C
cx dx ex x x m x n
+
=+ +
++ − −


x
x
x
x
x
xx
+
⎧
=
⎪
⎪
−
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩

 n lẽ:
Viết:
21 2 2
cos cos cos (1 sin ) cos
pp p
x
dx x xdx x dx
+
==−



Nếu m, n lẻ: làm như trên cho số mũ nào bé
3.
Dạng: hay
n
tg xdx
∫
cot
n
gxdx
∫

Chú ý:
22
2
() (1 ) (1 )
cos
2
dx

co s
dx
d tgx tg x dx tg x dx tgx C
x
x
==+ ⇒ =+ =+
∫∫

 Tương tự:

tg xdx
∫
Phương pháp:
Làm lượng
2
(1)tg x
+
xuất hiện bằng cách viết:
GV: Ngun Thanh S¬n
3
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

2222 242 12
* ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
nn n n
tg x tg x tg x tg tg x tg x
−− −
=+−++++−++
n
−
21 23 2 25 2 2 2 1
* ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
nn n n n
tg x tg x tg x tg tg x tgx tg x tgx
−− − − −
= +− ++++− ++−

4.
Dạng: hay

∫
∫

Chú ý:
22
2
1
1(1
cos
2n
dx
,
co s
n
tg x tg x dx
)
x
x
=+ = +
∫∫

5. Dạng:
cos
m
n
cotg x
, or
sin x
m
n

(1 )
m
2
n
tg x
du=(1+tg x)dx
cos x
n
m
u tgx dx u u du
−
=⇒ ⇒ = +
∫∫

 Nếu m lẻ và n lẻ :
1
1
.
cos cos cos
m
n
tgx tg x tgx
x
xx
−
−
= Đặt
1
cos
tgx

6.
Dạng:
sin cos ; sinmxsinnxdx ; cosmxcosnxdxmx nxdx
∫∫∫
p dụng các công thức biến đổi:
[]
[]
[]
sin( ) sin( )
cos( ) s( )
cos( ) cos( )
1
sinmxcosnx=
2
1
sinmxsinnx=
2
1
cosmxcosnx=
2
mnx mnx
mnxcomnx
mnx mnx
•++
•−−
•−+
−
+
+





3/
4
3
2( x )dx
x


4/
3
4
1
(3 x 4 x )dx
x
+


5/
x
x
3
2
e
e(2 )dx
3x




Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
1/ 2/
10
x(x 1) dx

2
12
()
x1(x1)

++

dx

3/
2
xx 9dx+

4/
22
4
8x
dx
(x 1)+


5/
3. x
e
dx

:
() () () ()
b
a
b
a
f
xdx Fx Fb Fa==


.
1. Các phơng pháp tính tích phân.
áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp .
Tính tích phân bằng phơng pháp phân tích.
Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng I.
Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng II.
Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng III.
Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần.
Tính tích phân bằng phơng pháp sử dụng nguyên hàm phụ.
Một số thủ thuật đổi biến khác, tích phân chứa biểu thức giá trị tuyệt đối

2. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
GV: Nguyễn Thanh Sơn
5
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

Để chứng minh bất đẳng thức tích phân , ta thờng sử dụng chủ yếu 4 tính chất
sau: với các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a;b] ta có:
1. Nếu

ab

3. Nếu
[
]
() , ;mfx Mxab
thì
() () ()
b
a
mb a f xdx M b a





4.
() () .
bb
aa
f
xdx f x dxBài 1: Tính các tích phân xác định sau:
1/ 2/
2

0
2
1
xx5
dx
x3




6/
5
2
dx
x1 x2

+


7/
1
2x
x
0
e4
dx
e2

+


11/
2
0
cos2x
dx
sinx cosx



12/
4
2
0
sin ( x)dx
4




Bài 2: Tính các tích phân có chứa trị tuyệt đối sau:
1/
2
2
x1dx




5/
3
3
(3 x)dx

+

6/
0
2
2
xx1dx

+


7/
0
cosx dx


8/
3
4
4
cos2x 1dx


+


x
dx
+



3/
2
2
0
dx
12
x1

+

4/
2
2
4
5
3sinxdx
24




+



2
sin x
2
0
edxe
2





8/
22
x1 2x
11
edx edx
+




9/
22
32
00
sin xdx sin xdx



10/

R
ax b ax b dx

++




ẹaởt
1
mn mn-1
mn
mn
t=(ax+b) ax+b=t dx= t dt
a


3. Daùng
:
dx
R(lnx)
x

ủaởt
ln
dx
du =
x
ux=


2
(, )
R
xax bxcdx++
∫

Đưa tam thức
2
ax bx c
+
+
về dạng: hay.
222
u+m,u-m
2
22
m-u
Đổi tích phân thành 1 trong các dạng sau:
.
22
22
22
1). R(u, m -u )du
2). R(u, m +u )du.
3). R(u, m -u )du.
∫
∫
∫

Nếu dưới dấu tích phân có chứa

dx
mx n ax bx c++
∫
+
Gặp tích phân này đặt:
1
t=
mx+n Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph−¬ng ph¸p ®ỉi biÕn lo¹i I
1/
1
2
0
2x
dx
1x+
∫
2/
4
2
0
x x 9dx+
∫

3/

∫
8/
2
2
3
3
0
3x
dx
1x+
∫

9/
2
x
1
dx
1e
−
−
∫
10/
4
x
1
dx
x.e
∫

11/

x
+

14/
6
0
1 4si nx.cosxdx

+


15/
4
2
6
1
cotgx(1 )dx
sin x


+

16/
2
2
0
cos x.sin2xdx




20/
/3
3
0
cosx.sin x.dx

Bài 2 : Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến loại II:

1/
0
2
1
1
x
dx



2/
3
2
23
0
1
dx
(1 x )


3
2
x4
dx
x



7/
1
2
2
dx
xx 1




8/
6
2
23
dx
xx 9



9/
6
2

x2
dx
x1
+



13/
1
22
0
dx
(x 1)(x 2)++

14/
3
2
0
dx
x3
+

Bài 3 : Tính tích phân các hàm số hửu tỉ:

1/
2
1

GV: Nguyễn Thanh Sơn
9
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

5/
4
2
3
x1
dx
x3x2
+
−+
∫
6/
1
2
0
xdx
(x 1)+
∫

7/
6
22
0
sin2xdx
2sin x cos x
π


11/
1/2
2
0
dx
4x 4x 3−−
∫
12/
4
32
4
2
(x x x 1)dx
x1
+−+
−
∫

13/
2
0
dx
(x 1)(x 2)++
∫
14/
2001
2 2001
xdx
(x 1)+

∫∫• Công thức cho phép thay một tích phân
udv
∫
phức tạp bằng 1
tích phân
đơn giản hơn.
vdu
∫
• Công thức dùng khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng:
− Dạng tích số:
− Hàm số logaric.
− Hàm số lượng giác.
* Dạng
với f(x) là hàm
n
xf(x) ,ln,sin,cos.
x
exxx
• Khi tính chọn:
− Hàm số phức tạp đặt bằng u.
− Hàm số cos tích phân được cho trong bảng tích phân thường
dùng làm

dv

Bµi 1: Dïng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn h·y tÝnh:


4
2
0
x(2 cos x 1)dx



6/
3
2
4
xdx
sin x




7/
e
2
1/ e
ln x
dx
(x 1)+

8/
4
x
1
edx


13/
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+

14/
4
0
x.sinx.cosx.dx


Bài 2: Tính các tích phân sau:

1/
e
2
1
ln x
dx
x

2/

2
x
0
e(x sinx)dx

+


7/
8/
x2
0
esin(x)dx



x
0
x
esin dx
2



9/
x
(1 sin x)e
dx
1cosx
+


Bài 3: Cho hàm số y =
2
3x 5x 5
x1

+

(C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; tiệm
cận của nó và x = 2 ; x= 3.

Bài 4: Cho hàm số y =
()
(
)
2
x1x2+
(C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và
đờng thẳng : x - y + 1 = 0.

Bài 5: Cho hàm số y =
4
2
x3
x
22

(C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục
hoành.


x2
3
+
+
+
(C) . Gọi (H) là phần hình phẳng giới hạn bởi (C)
trục Ox và hai đờng thẳng x = -1 , x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H)
quay một vòng xung quanh Ox.
Bài 12: Cho hàm số y =
2
xx
x1
1
+
+
+
(C) . Gọi (H) là phần hình phẳng giới hạn bởi (C) trục
Ox và hai đờng thẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay
một vòng xung quanh Ox.

Bài 13: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi :
y =
x
, y = 2 - x và y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy.

Bài 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi :
GV: Nguyễn Thanh Sơn
12
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

+

3/
2
x
y4
4
=
và
2
x
y
42
=

4/
ln x
y;y0;x1
2x
===
xe và
=
.
5/
2
yxx 1;Ox=+ và x1
=
.

E. Dạng thờng gặp trong các kì thi ĐH-CĐ

x
1)
x
ex

++

dx 4/
2
6
35
0
1 cos .sin .cos .
x
xxd



x

5/
23
2
5
4
dx
xx+

6/
1



9/
ln5
ln 2
(1).
1
xx
x
ee
dx
e
+


10/ +

2
22
0
(3x 1) x 3x 4 dx Bài 2: Cho hàm số: f(x) =
3
.
(1)
x
a
bx e

3
0
.
x
x
edx
∫

3/
2
1
1
ln .
e
x
x
dx
x
+
∫
4/
3
1
(cos )
1
x
dx
xx
+
+−

∫
dx
8/
2
5
0
cos .
x
dx
π
∫

9/
+
+
∫
3
53
2
0
x2x
dx
x1
10/
1
23
0
(1 x ) dx−
∫


xdx
∫
4/
3
1
ln
e
x
dx
x
∫

5/
2
0
4cos 3sin 1
4sin 3cos 5
xx
dx
xx
π
−+
++
∫
6/
9
3
1
1
x

∫
4
6
0
1tgx
dx
cos2x
10/
−
−
+++
∫
3
1
x3
dx
3x 1 x 3
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/
2
0
22
xdx
x
x++ −
∫

x
π
+
∫

5
0
.sin
x
xdx
π
∫
6/
2
23
0
sin .cos .
x
xdx
π
∫

GV: NguyÔn Thanh S¬n
14
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

7/
1
13ln.ln

3
7
84
2
x
dx
1x 2x Bµi 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/
3
53
2
0
2
1
xx
dx
x
+
+
∫
2/
3
3
0
1
ln .

5/
2
2
1
1
2
x
dx
x
−
−
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
6
2
0
sin
1cos
xx
dx
x
π
+
∫

7/
1

4
0
x
1tgxtg sinxdx
2 Bµi 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/
5
3
(2 2)
x
xd
−
+−−
∫
x
2/
2
2
2
0
.
(2)
x
xe
dx
x +

∫
6/
1
2
0
25
dx
xx2
+
+
∫

7/
2
0
sin 2
cos 1
x
dx
x
π
+
∫
8/
1
2
0
(1)
x
dx


1/
2004
2
2004 2004
0
sin
sin cos
x
dx
x
x
π
+
∫
2/
3
2
0
4sin
1cos
x
dx
x
π
+
∫

3/
2

exx
π
+ dx
∫
6/
3
2
6
cos
sin 5sin 6
x
dx
xx
π
π
−+
∫

7/
2
2
1
x
dx
xx+−
∫
8/
2
0
co x


Bµi 8: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau.

1/
1
2004
1
sin .
x
xdx
−
∫
2/
2
0
.sin .cos .
x
xx
∫

dx
π
3/
2
3
0
.cos .
x
xdx
π

0
.
x
tg xdx
∫

7/ CM:
0
2
0
2
sin sin
x
x
dx dx
xx
π
π
>
∫
8/ CM:
∫
44
0
2
sin cos
dx
xx
π
π

GV: NguyÔn Thanh S¬n
16