BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Vũ Thị Tuyết Mai MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC P.I NỬA
NGUYÊN TỐ VÀ ĐIỀU KIỆN CỦA ORE VÀ
GOLDIE VỀ SỰ TỒN TẠI VÀNH
CÁC THƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin gởi lời tri ân PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn tôi trong
suốt quá trình thực hiện luận văn.Tôi xin trân trọng cám ơn tất cả các quý thầy cô trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM và
trường Đại học Khoa Tự Nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường Đại
Học Sư Phạm TP.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá

thương của một miền nguyên, với cách làm này ta thu được vành các thương cổ điển bên trái
(hoặc phải) của vành
R
không giao hoán. Đối với cách xây dựng này các nhà toán học nhận
thấy không phải tất cả các vành không giao hoán đều xây dựng được vành các thương. Do đó
hai nhà toán học Ore và Goldie đã tìm ra một cách mới, hiện đại hơn để làm điều này, ta tạm
gọi là xây dựng vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie.
Chúng ta đã biết, đối với các P.I vành nguyên tố thì luôn luôn xây dựng được các thương
theo nghĩa cổ điển và do đó các P.I vành nguyên tố cũng có thể xây dựng đượ
c theo nghĩa của
Ore và Goldie. Vấn đề tương tự được đặt ra cho các P.I nửa nguyên tố. Liệu các P.I vành nửa
nguyên tố có thể luôn luôn xây dựng được vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie ?
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là chúng tôi muốn giải quyết một bộ phận các câu hỏi đó. Luận
văn mong muốn làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và các điều kiện c
ủa Ore
và Goldie về sự tồn tại vành các thương.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lớp các vành không giao hoán.
Phạm vi nghiên cứu là các vành đặc biệt.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích và so sánh.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba chương.
Chương 1. Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán.
Trong chương này luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết vành
không giao hoán có liên quan đến các chương sau. Luận văn chỉ phát biểu lại các định lý, các bổ
đề, các hệ quả và không đi sâu vào chứng minh chúng.
Các kết quả nhắc lại được dùng làm lý thuyết phục vụ đề tài.
Chương 2. Các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán.

-modul nếu tồn tại ánh xạ :
f
MR M





,mr mr
thỏa:




 
)
)
)
ima b ma mb
ii m n a ma na
iii ma b m ab
 


với
,;,,1mn M ab R


*
M








.0AM r RMr 
là ideal hai phía của
R
và
M
là

R
A
M
-modul trung thành.
M
là
R
-mođun trung thành 


(0)AM


Định nghĩa 1.1.5

M

:,aRxax xR

    .

được gọi là ideal phải chính quy. Ngược lại, nếu

là ideal phải
chính quy thì
R

là
R
-modul bất khả quy.
Định nghĩa 1.1.7 (Định nghĩa tâm tập)
Cho
M
là
R
-modul, ta gọi tâm tập của
M
trên
R
là tập hợp:






:,

M . Do đó


CM là một vành. Ta cần chứng
minh


CM

 và 0

 đều là phần tử khả nghịch trong


CM . Thật vậy, do 0


nên
0
M


và
M

cũng là mođun con của
M
.
Theo giả thiết
M

là đẳng cấu.
Suy ra tồn tại đẳng cấu ngược


1
E
M


 .
Khi đó ta có:



,
rr
CM T T r R




11
,
rr
TTrR
  



1

điều kiện giảm.
1.2. Radical của vành và của một đại số
Định nghĩa 1.2.1
Radical của vành
R
, ký hiệu là


JR, là tập các phần tử của
R
mà linh hóa tất cả các
modul bất khả quy của
R
. Khi đó




JR AM

 với
M
là
R
- modul bất khả quy.


JR
được gọi là ideal hai phía của
R





:= RxRRx


.
Bổ đề 1.2.4
Nếu

là ideal phải chính quy của
R
thì


:
R

là ideal hai phía lớn nhất của
R
nằm
trong

.
Nếu

là ideal phải tối đại chính quy của
R
thì

là ideal phải chính quy của



R
R


thì

nằm trong một ideal phải chính quy
tối đại nào đó.
Định lý 1.2.7



JR

 với

là ideal phải tối đại chính quy của
R
.
Định nghĩa 1.2.8
* aR được gọi là tựa chính quy phải nếu ' : ' ' 0aRaaaa


* 'a được gọi là tựa nghịch đảo phải của a .
* Tương tự ta có tựa chính quy trái, tựa nghịch đảo trái.
* Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải.

được gọi là ideal lũy linh phải (trái) nếu :mN


12
0
mi
aa a a

, tức là :0
m
mN

 .
Nhận xét
* Nếu

là ideal lũy linh thì

là nil-ideal.
* Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy.
*


JR chứa mọi nil-ideal một phía.
* Nếu
R
có ideal lũy linh khác 0 thì
R
có ideal hai phía lũy linh khác 0.
Định nghĩa 1.2.11


.
Mệnh đề 1.2.12
Nếu
A
là đại số trên trường F thì radical của đại số
A
trùng với radical của vành
A
.
Định nghĩa 1.2.13
Miền nguyên
A
(trong vành không giao hoán) là một vành không có ước của không.
Định nghĩa 1.2.14
Đại số
A
được gọi là đại số chia nếu
A
là một vành không giao hoán mà mọi phần tử
khác không đều khả nghịch.
1.3. Một số vành đặc biệt
1.3.1. Vành nửa đơn
Định nghĩa 1.3.1.1
Vành
R
được gọi là nửa đơn











nn
JM R M JR . Với


n
M
R là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong
vành không giao hoán
R
nào đó.
1.3.2. Vành Artin
Định nghĩa 1.3.2.1
Vành
R
được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của
R
đều có
phần tử tối tiểu.
(Vành
R
được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của
R
đều có

* Mọi vành chỉ có hữu hạn các ideal phải (trái) là vành Artin.
* Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay thể là vành Artin.
* Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin.
Định lý 1.3.2.2
Nếu
R
là vành Artin thì


JR là một ideal lũy linh.
Hệ quả 1.3.2.3
Trong vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh.
Nhận xét:
Giả sử
R
là vành tùy ý, nếu
R
có ideal phải, lũy linh, khác


0 thì
R
sẽ có ideal phải hai
phía, lũy linh, khác

0.
Định nghĩa 1.3.2.4
Phần tử , 0eRe được gọi là lũy đẳng nếu
2
ee


0, tối tiểu
đều là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng.
Bổ đề 1.3.2.6
Cho
R
là vành tùy ý, aR sao cho
2
aa

lũy linh. Khi đó, hoặc chính a lũy linh hoặc
tồn tại đa thức


qx với hệ số nguyên sao cho


.eaqa

là phần tử lũy đẳng khác 0.
Định lý 1.3.2.7
Nếu
R
là vành Artin và


0

 là ideal phải (trái) không lũy linh của
R

R
là vành không có ideal lũy linh khác


0 và e là phần tử lũy đẳng trong
R
thì eR
là ideal phải tối tiểu của
R
 Re là ideal trái tối tiểu của
R
.
Định lý 1.3.2.11
Giả sử
R
là vành Artin, nửa đơn và


0


là ideal phải bất kỳ của
R
thì
eR


với e
là phần tử lũy đẳng.
1.3.3. Vành nguyên thủy

mmr



M
trung thành

 đơn cấu.

R
 nhúng đẳng cấu vào trong


E
M





ker 0AM


ii) Nếu
R
là vành nguyên thủy thì



A
M là ideal hai phía của
R
và

R
A
M
là vành nguyên thủy.

iv) Nếu
M
là
R
-modul bất khả quy,

là ideal phải, tối đại, chính quy của
R
và nếu
R
M

 thì
 
:
A
MR

 là ideal hai phía lớn nhất nằm trong

Vành
R
được gọi là vành đơn nếu


2
0R  và trong
R
không có ideal thực sự nào ngoài

0 và
R
.
Mối liên hệ giữa vành đơn – vành nửa đơn – vành Artin – vành nguyên thủy
i) Nếu
R
là vành đơn có đơn vị thì
R
là vành nửa đơn.
Thật vậy, do
R
là vành đơn và có đơn vị nên


JR không thể bằng
R
.


0JR

0JR .
Giả sử
 
0JR , mà


JR là ideal của
R
nên


JR R

(vì
R
đơn).




2
2
JR R R.
Thực hiện liên tiếp các bước ta được




0
n










  
:00
0
AM r R Mr
JR AM

 R
 là vành nửa đơn.

iv) Nếu
R
là vành vừa đơn vừa nửa đơn thì
R
là vành nguyên thủy.
Thật vậy, để chứng minh
R
là vành nguyên thủy ta chứng minh rằng trong
R

 hoặc


:
R
R



Nếu


:
R
R

 thì


:
R
R

 (vô lý vì
R
là vành nửa đơn).









0
n
JR  .
Mặt khác, do
R
đơn nên

2
0R  .
Mà
2
R
là ideal hai phía của
R
nên


2
0RR (do
R
đơn).



0
n


Vành
R
được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi ,ab R

thì

0
0
0
a
aRb
b






.

Bổ đề 1.3.5.2
Vành
R
là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa một trong các điều kiện sau:
i) Linh hóa tử bên phải (trái) của một ideal phải (trái) khác


0 của
R

Định nghĩa 1.3.5.4
Tổng các ideal lũy linh không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng này là


0N , ta định
nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau:
* Nếu

là một bản số nào đó mà không là bản số giới hạn, 1


, ta định nghĩa


N

là ideal của
A
sao cho



N
N


là tổng tất cả các ideal lũy linh của

A
N




1NN


. Ta gọi


N

là ideal lũy linh dưới của
A
, ký hiệu là ln
A
.
Định nghĩa 1.3.5.5
* Đại số
A
được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra
một đại số con lũy linh.
* Một ideal
I
của
A
được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu
A
I
là đại số lũy linh địa
phương.

A
Un A
không chứa nil-ideal khác 0. Suy ra


0
A
Un
Un A




.
*

A
L
A
không chứa ideal lũy linh khác 0.
*


0
A
L
LA





0JA


Mệnh đề 1.4.1.2
Nếu
A
là đại số thì

A
JA
là đại số nửa nguyên thủy.
Mệnh đề 1.4.1.3
Nếu
A
không có ideal lũy linh khác 0 thì


A

là nguyên thủy.
Mệnh đề 1.4.1.4
Nếu
B
là ideal hai phía của đại số
A
thì




M là một ideal hai
phía của
A
và

A
A
M
là một đại số nguyên thủy.
Mệnh đề 1.4.2.3

A
là nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy

của
A
sao cho

:0A

 . Khi đó
A
là nửa nguyên thủy và nếu
A
giao hoán có đơn vị thì
A
là một trường.
Nhận xét: Mọi đại số nguyên thủy đều nửa nguyên thủy.
Định nghĩa 1.4.2.4
Giả sử



R
CM EndM  .
1.4.3. Đại số đơn
Định nghĩa 1.4.3.1
Đại số
A
được gọi là đại số đơn nếu


0A

và
A
không có ideal nào ngoài


0 và
A
.
Mệnh đề 1.4.3.2
Đại số
A
là đại số đơn có đơn vị thì
A
là đại số nguyên thủy.
1.4.4. Đại số nguyên tố
Định nghĩa 1.4.4.1
* Một ideal P của đại số

là đại số nguyên tố.
ii)

0
0 ,
0
b
bAc b c A
c


 




iii) Linh tử hóa bên trái của một ideal trái khác 0 bất kì là bằng 0.
iv) Linh tử hóa bên phải của một ideal phải khác 0 bất kì là bằng 0.
1.4.5. Đại số nửa nguyên tố
Định nghĩa 1.4.5.1 (Tích trực tiếp con)
* Tích trực tiếp của họ các
K
- đại số


I
A













fg f g



* Đặt phép chiếu
:
I
A
A







.
Đại số
A
được gọi là tích trực tiếp con các đại số


  sao cho


0B
A
A
B



 






Định nghĩa 1.4.5.2
* Một đại số
A
được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có ideal lũy linh khác 0.
* Một ideal
B
của đại số
A
được gọi là ideal nửa nguyên tố nếu là nửa nguyên tố.
Nhận xét:
A
là đại số nguyên tố thì
A

N


là tổng tất cả các ideal lũy linh của

A
N

.
* Nếu là bản số giới hạn, nghĩa là không có bản số đứng ngay trước nó, ta đặt




NN






. Khi đó ta có




'NN


 nếu '

của
A
được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu
A
I
là đại số lũy linh địa
phương.
Nhận xét:
* Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương.
* Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil-ideal.

Mệnh đề 1.4.5.6
* Tồn tại duy nhất một nil-ideal tối đại của đại số
A
chứa mọi nil-ideal của
A
, nil-ideal
đó được gọi là upper nil-radical của
A
, ký hiệu là


Un A .
* Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số
A
chứa mọi ideal lũy
linh một phía của
A
, ideal lũy linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil-radical của
A


0
A
L
LA





*








ln A L A Un A rad A 
*


P
ln A P

với
P
là ideal nguyên tố của
A



21 12
:0sSssx sx

. Đây là quan hệ tương đương.
Ta ký hiệu tập thương là
S
M
và lớp tương đương của


,
s
x là
1
s
x

. Ta định nghĩa phép
cộng và nhân như sau:







1
11

.
Định nghĩa 2.2.1.2
* Vành

QR chứa
R
được gọi là vành thương trái của
R
nếu:
1. Mọi phần tử chính quy trong
R
đều khả nghịch trong


QR.
2. Mọi
x
thuộc


QR đều có dạng
1
x
ab


, với ,ab R

, a chính qui trong
R



QR đều có dạng
1
x
ba


với
,ab R

, a chính qui trong
R
.
Nếu


QR là một vành thương phải của
R
ta nói
R
là một thứ tự bên phải (right order)
trong


QR.
Định lý 2.2.1.3 (Định lý Ore)
Điều kiện cần và đủ để
R
có vành thương trái là: cho ,ab R

1
ab Q R



11
11 11
,ab b a a b R

 ,
1
b chính quy.

11
ba ab
Vậy điều kiện Ore đúng trong
R
.
Giả sử điều kiện Ore đúng trong
R
.
Lấy




, , , chính quyMababRb .
Trong
M
ta định nghĩa quan hệ

22 22
edb ebd

22 11
edb ebd

22 11
edb edb
là chính quyb và
22 11
ed ed
Từ
11
da bc ta được:
22 11
eda eda

22 11
eda ebc

22 22
eda ebc

22
da bc (do
2
e
chớnh quy)
Quan h


* Phộp cng :







11
1
da bc
ac
bd
bd

vi
11
db b d , v
11
,bd chớnh quy trong
R
.
* Phộp nhõn:








0,lS x Rxs s S


c gi
l linh t húa trỏi ca S . Mt ideal trỏi

ca
R
l mt linh t húa trỏi nu


lS


vi S
thớch hp trong
R
.
Chỳng ta cng nh ngha tng t cho linh t húa phi


rS ca S v phỏt biu cho
ideal phi nh mt linh t húa phi.
nh ngha 2.2.2.2
Mt vnh
R
c gi l vnh Goldie trỏi nu:
1.
R
tha món chui iu kin tng trờn linh t húa trỏi.

và




rA rB

thì tồn tại một phần tử

0
:
0
Aa
aR
Aa B







Chứng minh

R
thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trong linh tử hóa trái.

R
 thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm trong linh tử hóa phải.
Do đó



0Aua B
Nếu không có phần tử :0
x
Axua thì
x
Aua B

 .
Thật vậy, lấy




,
x
Ar x r A, xét


rx U

. Do giao của hai linh tử hóa phải là linh
tử hóa phải nên







0xU (trái giả thiết 0
x
ua

)
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.2.2.5 có hai hệ quả quan trọng sau
Hệ quả 2.2.2.6
Cho
R
là một vành nửa nguyên tố thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trong linh tử hóa trái,
nếu
R
x và
R
y là các ideal trái thiết yếu thì
R
xy là ideal trái thiết yếu.
Chứng minh
Giả sử

0A  là một ideal trái của
R
và


A
rRryA 

R



0TA

 mà




0Tly.
Giả sử


TrRrxT .
Do bản chất của
R
x ta được


0Tx Rx T

0Txy
Do trong
A
ta có





1
:
nn
n Nla la

 
Lấy



11
0
n
n
nnn
xya
xRa la
x
aya yla la




 

  



R
thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm trong linh tử hóa trái.
Chứng minh
Giả sử
12

n
LL L là một dây chuyền giảm thực sự của những linh tử hóa trái.





1ii
rL rL


Từ bổ đề 2.2.2.5 ta suy ra tồn tại một ideal trái
n
C
của
R
,
0
nn
CL
sao cho


1

thỏa


0ARc


Do




0lc nên
n
A
c tạo thành một tổng trực tiếp.
Nếu
01
0
n
n
aac ac  với
i
aA

thì


0
0aARc
