1
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

F  G

Nguyễn Thanh Hà
BÀI TOÁN CAUCHY CẤP HAI TRONG
THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005


phương trình vi phân được khảo sát, mỗi lớp phương trình lại có phương
pháp nghiên cứu riêng.
Bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach có nhiều ứng
dụng khi nghiên cứu các bài toán chứa kỳ dò.
Ovsjannikov, Treves, Nirenberg, Nishida, Deimling và một số tác giả
khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy cấp
một trong thang các không gian Banach và tìm ra nhiều ứng dụng khác cho
Phương trình Vi phân, Vật lý và Cơ khí. Sau đó, Barkova và Zabreik đã tìm
ra một kết quả tương tự cho bài toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện
Lipschitz.
Ở luận văn này chúng tôi đặc biệt quan tâm các đến bài toán Cauchy
cấp hai trong thang các không gian Banach dạng
01
(, )
(0) , (0)
′′
=
′
==
uftu
uuu u

và cùng với các kết quả đó là một vài ứng dụng đơn giản.
Trong suốt luận văn, hàm
(, )
f
tu được xét các dạng khác nhau ứng với
các điều kiện khác nhau, và ta giả thiết
(
)

∈
uE
.
Trong chương hai, chúng tôi trình bày bài toán Cauchy cấp hai với
(, )
f
tu được thay thế bởi ,,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
du
ftu
dt
thoảđiều kiện Lipschitz. Đây là một
kết quả tương tự với bài toán Cauchy cấp một.
Khi
(, )
f
tu lần lượt được thay bởi hàm () ()+
A
tu ft rồi
hàm
(
)
(),
A
Bu t u , các giả thiết cũng được thay đổi theo nhằm đủ cho việc
nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán đó. Kết quả này
được trình bày ở chương ba.
Ở chương bốn, điều kiện nhiễu compact được xét đến thay cho điều

tác dụng
liên tục từ
[]
0,
λ
λ
××TEE vào
'
λ
E
với mỗi cặp '
λ
λ
<
và thoả điều kiện
11 2 2 1 2 1 2
'
(, , ) (, , ) ( , ') ( , ')
λ
λλ
λ
λλλ
−≤−+−
f
tu v f tu v a u u b v v
; (2.1)
trong đó các hàm
(, '),(, ')ab
λ
λλλ

[]
()
0
( , ') ( ) ( , ')( ) ( , ') ( ) '
t
cwta tb wd
λ
λλλτλλττλλ
=−+ <
∫
(2.4)
()
01 1 0 1
1
( , , , ) ( ) ( , ) ( );
−
=
=>>>
∏
n
nii n
i
cwtcwt
λ
λλ λλ λλ λ
(2.5)

6
(trong (2.5) ,
∏

tập hợp
[] []
{
}
(, ') 0, :lim (, ')1() 1, 0,
→∞
′′
=∈ <∀∈
n
n
n
TTTcttT
λλ λλ

trong đó
(
)
11≡t
.
Đònh lý.
Nếu số
(, ')
λ
λ
′
∈TT
và hàm
01 0
0
() ( , ,0)

λ
λλ λ
′′
=→=FCCTE CCTE
đònh bởi
10
00
()() , (),()
t
F
vt u f u v d v d
τ
τ
ξξ τ τ
⎡⎤
=+ +
⎢⎥
⎣⎦
∫∫

Ta nhận thấy rằng, nếu
v
là điểm bất động của
F
thì hàm
0
0
() ( )
t
ut u v d

t
ut u v d
τ
τ
=+
∫

, ta có:
0
'( ) ( ), (0)
=
=

ut vt u u
.

7
Nên
()
1
0
'( ) , ( ), ( )
t
ut u f u v d
τ
τττ
=+
∫



λ
λ
λ
λλ
−≤ − ∈
F
vt Fvt c vt vt vv C
(2.7)
Từ đònh nghóa ánh xạ
F
và điều kiện (2.1) ta có
(
)
(
)
12
'
01 1 02 2
00 0
'
12 12
00
() ()
, (),() , (),()
( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( )
t
t
Fv t Fv t
f
uvdv fuvdv d

t
t
t
t
avvdd
avvdavvd
atvvd
τ
λ
τ
λλ
λ
λλ ξ ξ ξ τ
τ
λλ ξ ξ ξ τ λλ τ τ τ
λλ ττ ττ
−
⎡⎤
′
=−−−
⎢⎥
⎣⎦
=−−
∫∫
∫∫
∫

Suy ra,
12
'

11
12 1 1 2
'
1210112
() () ( , ) () ()
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
λλ
λ
λλ
λλ λλ λλ
−
−−
−
−−−
−≤ − ≤
≤−
n
nn n n
nn
nn n n
Fvt Fv t c F vt F v t
cc cvtvt

Suy ra, với mọi
12
,
λ
∈
vv C
:

C
cvvtatb vvd
vv a t b d
λ
λλ
λ
λλλτλλττ
λλ τ λλ τ
−−−
−−
−= −+ −
≤− −+
∫
∫

tức là ta có

112 12 1
( , ) ( )( ) ( , )1( ), 1,2, , .
λ
λ
λ
λλλ
−−
−≤− ∀=
ii ii
C
cvvtvvctin
Nên
(

Nếu ta xây dựng dãy lặp
01
() 0, () (),( 0,1, )
+
=
==
nn
vt v t Fvt n
thì do
(2.8) sẽ có đánh giá
'
'
110 10
(, ')1().
λ
λ
λ
λλ
+
−=− ≤ −
nn
nn n
CC
C
vv FvFv c tvv
(2.9)
Do
10 1 0 0
0
() () ( , ,0) ()

9
2.2. Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với các hàm
(, '), (, ')ab
λ
λλλ
trong trường hợp đặc biệt .
Sử dụng đònh lý tổng quát trên ta sẽ chỉ ra cách đánh giá các tập
(
)
,'
λ
λ
T trong một trường hợp riêng quan trọng.
Với
0
() ( )
t
Jw t w d
τ
τ
=
∫
, ta có:
(
)
2
000
() ( ) ( )
tt
J


Kết hợp (2.4), ta được
2
( , ') ( , ') ( , ')
λ
λλλ λλ
=+caJbJ
, với
0
() ( )
t
Jw t w d
τ
τ
=
∫

Gọi
{
}
1,2, ,⊆
D
n , ta thực hiện phép nhân phân phối vế với vế n đẳng
thức
2
01 01 01
2
12 12 12
2
111

Ta thấy số phần tử của D là l=k-n

10
Gọi
k
M
là tập các tập con
{
}
1,2, ,⊂
D
n
thì do đònh nghóa ( 2.5), ta cóù
2
01 01
( , , , ) ( , , , )
λλ λ λλ λ
=
=
∑
n
k
nk n
kn
cdJ

trong đó
01 1 1
( , , , ) ( , ) ( , )
λ

λλ λ λλ λ
=
=
∑
k
n
nkn
kn
t
ctd
k
(2.10)
Giả sử các hàm
(, '), (, ')
λ
λλλ
ab thõa mãn điều kiện sau
Điều kiện

λ
()
.
Tồn tại các hàm
( , '), ( , '), ( 1,2 )
λ
λλλ
=
nn
ab n
sao cho với mỗi cặp

n
C .
Nên với điều kiện
()
λ
như vậy, ta có
()
2
01
, , , (, ') (, '),
kn kn nk
knnnn
dCab
λ
λ λ λλ λλ
−− −
=
(2.11)
Ta xét trường hợp
21
( , ') .( ') , ( , ') .( ')aa bb
λ
λλλ λλλλ
−
−
=− =−
(
0, 0>>ab

là các hằng số),

và với cách chọn
j
λ
là các điểm chia
[
]
',
λ
λ
làm
n
phần bằng nhau.
Trong trường hợp này từ ( 2.10) – (2.11), ta có
2
01 01
2
2
( , ')1( ) inf ( , , , )1( ) ( , , , )
!
()
(, ') (, ')
!
k
n
nnkn
kn
k
n
kn kn nk
n

Cab n
k
λλ
−− − −
=
′
=−
∑
[
]
0, 'tT
∀
∈

Ta có
!
( 1)( 2) ; ( , 1, ,2 )
!
≤+ + ⇒ ≤ = +
k
k
n
nk
nn n k knn n
nn
hay
!!
≤
kn
nn

∑[]
2( ) 2
2
2
'
,0,'
!''
kn nk
n
n
kn kn nk
n
kn
nT T
Ca b t T
n
λλ λλ
−−
−− −
=
′
⎡⎤ ⎡⎤
≤∀∈
⎢⎥ ⎢⎥
−−
⎣⎦ ⎣⎦
∑


12
2
lim ( , ')1( )
''
n
n
n
TT
ctea b
λλ
λ
λλλ
→∞
⎡
⎤
′
′
⎛⎞
≤+
⎢
⎥
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦


)
2
22
''
4/ 4/
22
''
λλ λλ
λλ λλ
⎡⎤
−−
⎛⎞⎛⎞
−+ + −+ +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
≤+
⎜⎟⎜⎟
−−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
bb ae bb ae
aa
Bea b(

Theo đònh nghóa của tập
(
)
,'
λ
λ
T , ta có:
(
)
','TT
λ
λ
∈
.
Do đó, ta có

2
4
0,( ') 2 ( , ')
a
bb aT
e
λ
λλλ
⎛⎞
⎡⎤
−−++ ⊂
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟

λ
λ
λ
λλ λλ
−≤−+−
−−13
và hàm
0
()ht
bò chặn trong
λ
E
thì bài toán (2.2) với điều kiện (2.3) có
nghiệm
[
]
'
:0,
′
→uT E
λ
nếu T
′
thoã điều kiện

2
4
14
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN COMPACT

Khó khăn chủ yếu trong việc nghiên cứu các bài toán Cauchy là ở chỗ
các toán tử được xét đi từ một không gian
λ
E
nào đó không vào chính nó,
mà vào không gian rộng hơn
()
β
β
λ
<
E trong họ các không gian Banach.
Để khắc phục khó khăn này, ta áp dụng phương pháp lặp thông thường và
lập luận của Ovsjannikov, Nirenberg, Nishida và Barkova, Zabreiko.
Trước hết, ta nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán
Cauchy tuyến tính sau đây:
() ()
′′
=+
uAtuft
(3.1)
01
(0) , (0) .
′

, sao cho:
2
()
()
λ
β
βλ
≤
−
M
Atu u
, với mọi
β
∈
uE
.
2)

01
,;(,)∈∈
bb
uu E f CIE
.
Khi đó, với mỗi
(,)
λ
∈
ab , tồn tại một số
min ,
λ

−≤
−−
Kt b
ut ut
btMe
, (3.3)
()
1
2
42()()
'( ) ( )
λ
λ
λ
λ
⎛⎞
−
⎜⎟
−≤ + +
⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠
Mc Ktb
ut u Tgt
Me b t Me
btMe
(3.4)
với

(3.5)
Chứng minh.
Cố đònh (,)
λ
∈ ab . Ta thay bài toán (3.1)-(3.2) bởi phương trình tích
phân tương đương sau
()
00
() () ()() () : ()
ts
u t u t ds A r u r f r dr Fu t=+ + =
∫∫
. (3.6)
Xét các phép xấp xỉ liên tiếp
01
() (), () ()
−
=
=
nn
ut ut ut Fu t.
Vì
,(,)∈
b
uf CIE
, nên ta có (, )
β
∈
n
uCIE với mọi n và mọi

<
⇒≤
b
bfr fr), ta có
(
)
10 0
00
() () () () () () ()
ts
ut ut Fut ut ds Arur fr dr
β β
ββ
−= −≤ +
∫∫2
0
() ()
()
ts
bb
o
M
ds u r f r dr
b
β
⎛⎞
≤+

()( )
()
2() ()
ts
bb
o
M
ds u r f r dr
b
M
ctMcegtbt
gt
bb
Mce g t b t
b
g t b t Me Met
cKt
Me b b
β
β
ββ
λ
β
λ
ββ
⎛⎞
+
⎜⎟
−
⎝⎠

00
() () () () () ()
() ()
ts
nn n n
ts
nn
u t u t ds A r u r A r u r dr
M
ds u r u r dr
ββ
βε
ε
+−
−
+
−≤ −
≤−
∫∫
∫∫
2
22
00
2
22
00
()

0
21
22
0
()
()
(2 1)( )
()
()
(2 1)( )
nn
t
n
nn
t
n
MMes
Ks ds
nb
MMes
Kt ds
nb
εβε
εβε
+
+
=
+−−
≤
+−−

() ()
( ) (2 1)(2 2)
β
εβε
+
+
−≤
−− + +
n
nn
n
Kt Met
utut
bnne
(3.8)
Chọn
21
β
ε
−
=
+
b
n
, ta được

22 2
22
22
2( ) ( ) 2

nên
22
22
()
()
(2 1)(2 2)
n
n
b
b
nne
β
εβε
+
−
−− ≥
++
(3.9)
Kết hợp (3.8) và (3.9) ta được (3.7) đúng cho trường hợp n+1.
Xét một số
[
)
0,
λ
λ
∈→tTE
và chọn
β
λ
>

−
=
ta thấy rằng hàm thu được
[
)
:0,
λ
λ
→uT E
thoã mãn (3.6) và
do đó nó chính là nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2).
Tiếp theo, ta kiểm tra đánh giá (3.3), (3.4). Để đơn giản cho việc ký
hiệu, ta đặt
=dMe
. Từ (3.7) ta có
2
1
() () ()
λ
λ
=
⎛⎞
−≤
⎜⎟
−
⎝⎠
∑
i
n
n

18
Ta biết, nếu 0 <<ab thì
1
2
<
+
a
ab
, nên
2
()() ()()
()()2()
λ
λ
λλ λ
−−
≤
−− −+ −−
Kt b Kt b
btdbtdbtd

Do đó, (3.3) được thoã mãn.
Từ ký hiệu (3.5) và (3.6), ta có
()
()
1
2
()
00
() ()() () () ()

)
()
(
)
()
()
() () () ()
()
2() 2
λ
λ
λλ
λλλ
−
−+ −
≤+ =+ ≤+
− − −− −−
s
Ks b s Ks b sd Ks b
us c c c
b s sd b sd b sd
,
với
0
λ
−
≤<
b
s
d

λ
λ
λ
λλ
⎡⎤
−
′
−≤ + +
⎢⎥
−−
−−
⎣⎦
⎡
⎤
≤+ + −
⎢
⎥
−− −−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫∫()
2
4()()
()

2
42()()
() ()
λ
λ
λ
λ
⎡
⎤
−
′
−≤ + +
⎢
⎥
−−
−−
⎢
⎥
⎣
⎦
Mc Ktb
ut u Tgt
db td
btd
với
[
)
0,
λ
∈tT.

(0) (0) 0.
′′
==
′
==
wAtwft
ww

thoã đánh giá (3.3) ( để ý rằng bài toán này được xét với
0'tT≤<
và
() 0=wt ). Vì vậy, () ()
=
ut vt với
'
0min',
λ
λ
−
⎧
⎫
≤<
⎨
⎬
⎩⎭
tT
d
, và do đó, bằng
phương pháp lặp thông thường ta suy ra
() ()

()

2)
Toán tử B là hoàn toàn liên tục từ
[
]
(
)
1
0, ,
a
CTE
vào
[]
(
)
0, ,
b
CTE

được trang bò bằng các chuẩn thông thường .
Hơn nữa ,

[
]
[
]
(
)
{

⎪⎪
⎩⎭
−
=
b
TT
M
Le
sao
cho bài toán Cauchy
(
)
(),
′′
=uAButu
(3.11)
01
(0) ; (0)
′
==uuu u
(3.12)
có một nghiệm
[
]
:0,
λ
λ
→uT E.
Chứng minh.
Đặt

λλ
′
⇒≤+=
∈
a
CIE CIE
Ix xt xt x
tI

Kết hợp giả thiết 2) ta có toán tử B cũng hoàn toàn liên tục từ
1
(, )
λ
CIE vào
(, )
b
CIE
,với bất kỳ
[
]
,
λ
∈
ab.
Cố đònh với
(),
λ
∈ ab
, mỗi
1

Bu t v A Bu s v Bu t Bu s v
β
γ
βγ
−≤ −
−
21
()
() () ()
222
() . () .
(), .
b
MBut v MBut v
ML
A
Bu t v v
γβ β
β
γ
βγ βγ βγ
≤≤≤
−−−

Do đó, toán tử
(
)

⎡
=→
⎣
vFu T E

()
() () ,
2( )
β
β
β
−
−≤
−−
cb
Fu t u t
bdt
(3.15)
1
2
42()
() )
()
β
β
ββ
⎛⎞
−
′
−≤ +


Rõ ràng ,
ω
thoả
(
)
(
)
1122
(), () (); (),
′′
=−−w A Bu t w A Bu t Bu t Fu t
(3.17)
(0) (0) 0
′
==ww
(3.18)
Xét bài toán Cauchy (3.17)-(3.18) trong thang
(
)
[]
,. , ,
β
β
β
λλ ε
∈+E

với
0

−
⎛⎞
′′
≤+
⎜⎟
−
⎝⎠
s,t
s,t
w( t ) sup f ( s ) .
d( dt)
ML
w(t) T .sup f(s)
d( dt)
(3.19)

22
với
0
ε
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
≤<tminT,
d
, trong đó
(
)
122
() () (), ()

Fu t c
bdt
,
với
{
}
0min,( )/
λ
εδ
≤< − −−tTb d
.
Bằng cách chọn
()/3,()/6
ε
λδ λ
=
−=−bb
, ta được
2
()
()
2( 2 )
λεδ
λ
λ
++
−
≤+
−−
cb

b
tT
d
(3.21)
Cuối cùng, với
0min,
4
λ
λ
−
⎧
⎫
≤< =
⎨
⎬
⎩⎭
b
tT T
d
, từ (3.19)-(3.21) ta có

[]
()
[]
12 1 2
2
0,
2
12 1 2
3

2176
() () , ( )()
39()
λ
′
−≤ −≤
−
c
Fu t u t c Fu t u
db
(3.23)
Bây giờ, ta kết thúc bằng việc chứng minh toán tử F có một điểm bất
động. Ta giả sử
[
]
(
)
1
0, ,
λ
λ
=XC TE
được trang bò bởi chuẩn

23
[
]
{
}
sup ( ) , 0,

Xét
M
là tập bò chặn, ta sẽ chứng minh
()FM
là tập compact tương đối.
Cho trước 0
ε
> , do
B
là ánh xạ hoàn toàn liên tục, nên
()BM
là tập
compact tương đối và do đó hoàn toàn bò chặn.
Suy ra, tồn tại sao cho
1
() (),
n
ii
i
BM B Bu
K
ε
=
⎛⎞
⊂
⎜⎟
⎝⎠
∪
.
Khi đó, với mọi

⊂
.
Như vậy
()FM
hoàn toàn bò chặn nên là tập compact tương đối.
Do đó, theo đònh lý Schauder, F có một điểm bất đôïng trong X. Đònh lý
được chứng minh. 24
CHƯƠNG 4
PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI NHIỄU COMPACT

Để thấy được tính tương tự với bài toán Cauchy cấp một, ta cần nhắc
lại một kết quả sau.
4.1. Đònh lý.
Giả sử
1)
nh xạ
(
)
:,
λβ
→
A
ILEE
liên tục với mỗi cặp

gurIB E
λ
×
→ liên tục đều và thoả:
i)

(, ) ,≤
b
gtu c

ii)

[
]
(, ) . ( )
b
gtB m B
λ
α
α
≤
với mọi
0
,(,)tIBBur
λ
∈
⊂
;
trong đó
λ

uuE

có nghiệm đòa phương với giá trò trong
λ
E với mỗi (,)
λ
∈
ab.
Việc chủ yếu của chương này là chúng tôi muốn thay đổi một ít giả
thiết, chẳng hạn điều kiện độ đo phi compact được thay bởi điều kiện

25
compact tương đối, để phù hợp với phương trình cấp hai. Với ý đònh thay
đổi đó, chúng tôi thu được một kết quả như sau.
4.2. Mệnh đề.
Giả sử
1)
nh xạ
(
)
:,
β
λ
→
A
ILEE
liên tục với mỗi cặp
λ
β
<

i)

0
(, ) ,( )
b
htu c t I≤∈

ii)

{
}
(, ): (, ): ,( )=∈∈htA htu u A t I là compact tương đối trong
b
E
,
với mọi tập
λ
⊂
A
E
bò chặn.
3)
01
,.∈
b
uu E

Khi đó, với mỗi
)
,

⎨
⎬
⎩⎭
b
TT
M
e
.
Chứng minh.
Mỗi
λ
cho trước thuộc
)
,
⎡
⎣
ab
, cố đònh
(
)
,
λ
∈
uCIE, ta có ánh xạ
(
)
,()thtut
từ I vào
b
E