Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Cho
2
3
( ) :
1
x
C y
x
+
=
+
. Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua
2
(2; )
5
A
sao cho (d) cắt
(C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N nhận A làm trung ñiểm.
Giải:
Vì ñường thẳng x=2 ñi qua A nhưng chỉ cắt (C) tại 1 ñiểm.
Vậy phương trình ñường thẳng ñi qua A và cắt (C) tại M, N có dạng (d):
2
( 2)
5
y k x


2
2
1 2
(5 2) 20( 1)(10 13) 0
225 40 256 0
5 2
5 2 20 20
4 2
5 5
4 4 145 4 4 145
;
18 2
45 45
( ) : ( 2) ( ) : 6 5 10 0
15 5
18
( / )
15
A M N
k k k
k k
b k
k k
x x x x x
a k
k k
d y x hay d x y
k t m
∆


CMR: ðường thẳng (d):
( 1) 2
y m x
= + +
luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh.
Giải:
Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

( )
3
3 3
3 2 0
3 ( 1) 2 3 2 ( 1) 0 1
1 0
x x
x x m x x x m x x
x

− − =
− = + + ⇔ − − + + = ⇔ ⇔ = −

+ =


Vậy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh có tung ñộ là:
( 1;2)
A
−


Ta thấy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm cố ñịnh A(-1;2) nên ñể cắt tại 3 ñiểm phân biệt thì:

9
1 4( 2) 0
(*)
4
( 1) 0
0
g
m
m
g m
m
∆

= + + >

> −

⇔
 
− = − ≠


≠


HSG tiếp tuyến tại B và C lần lượt là:

( )

   
= − + + + = + − +
   

Áp dụng ðL Viet ta lại có:
1 2
2 2
1 2
1
( 1) 1 1 ( 1) 0 1
( 2)
x x
m m m
x x m
+ =

⇒ − − = − ⇔ − = ⇔ =

= − +


Bài 4: Cho
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
− + +

( )
2
2 2
1 4( 1) 2 5 ( 1) 4 4 0
(1) 1 0
g
m m m m m
g
∆

= − + + = + + = + + ≥ >


= − ≠



Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, nên (C) luôn cắt y=m tại A, B phân biệt.
Gọi
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ; ); ( ; ) ( ) ( ) 4
A x m B x m AB x x x x x x
⇒ = − = + −

Áp dụng ðL Viet vào ta có:
Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 6

1 2

−
=
−
tại 2 ñiểm phân biệt thuộc 2 nhánh của
ñồ thị.
Giải:
Hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của PT:

2
2
2 3
2 ( ) 2( 1) (3 5 ) 2 0(*)
2
x x
mx m g x m x m x m
x
−
= − ⇔ = − + − + =
−

ðể giao ñiểm nằm về 2 phía ñồ thị tức là 2 phía của TCð x-2=0 ta có:
1 2
2
x x
< <( 1) (2) ( 1)( 2) 0 1
m g m m
⇔ − = − − < ⇔ >

i
ể
m phân bi
ệ
t A, B:
a. Thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C)
b. Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B vuông góc v
ớ
i nhau
c. Th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki

+
v
ớ
i
1
2
x
≠ −(
)
C
c
ắ
t
(
)
m
d
t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B
(

≠


⇔ ∆ = − + > ⇔
 
≠ −


 

− = − − ≠
 

 

(*)
a)

Hai
ñ
i
ể
m A, B thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a
ñồ
th
ị

ệ
t Page 4 of 6

0
1 1 3
0
6
2 4 2
m
mf m m
m
>

   
⇔ − = − − < ⇔
   

< −
   


a.
H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế

2 1 2 1
A B
A B
k k
x x
⇒ = >
+ +
nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông
góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.
b. Gọi
1 2
;
x x
là 2 nghiệm của f(x). Giả sử
(
)
(
)
1 1 2 2
; 2 1 ; ; 2 1
A x mx m B x mx m
+ − + −

Theo viet ta có:
1 2
1 2
5 1
2 2
m
x x

( )
1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
2
2
2
3 2
5
2 1 2 1 0
4
5
1 2 1 2 1 0
4
5
1 2 2 2 1 5 1 2 1 0
4
3 3 1 3
4 2 0 2 1 0
4 4 2 4
x x mx m mx m
m x x m m x x m
m m m m m m m
m m m m m m m
⇔ + + − + − − =
⇔ + + − + + − − =
⇔ + − − − − + − − =
−
 

)
3 2 3 2
3 2 3 1 2 0
x mx mx x g x x mx m x
− − = + ⇔ = − − + − =

Hàm số (C) cắt ñường thẳng d tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 6

(
)
' 0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt và ñiểm uốn của ñồ thị hàm số
(
)
y g x
=
nằm trên
trục hoành Ox.
- Phương trình
(
)
(
)
2
' 3 6 1 0
g x x mx m

Vậy
1
m
= −

b. ðk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ
1 2 3
; ;
x x x
lần lượt lập thành
cấp số nhân. Khi ñó ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
g x x x x x x x
= − − −

Suy ra:
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
3
1
2

3
5
3 2 1
m
= −
+
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
5
3 2 1
m
= −
+

Bài 8: Cho hàm số
(
)
4 2
2 1 2 1
y x m x m
= − + + +

a. Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt lập thành cấp số cộng;
b. Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ hơn 3.
Lời giải:
Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:
(
)
4 2

2 1 0
m
m
S m
m
P m

∆ = >

> −


⇔ = + > ⇔
 
 
≠

= + >

(*)
Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 6 of 6
Với (*), gọi
1 2
t t
<
là 2 nghiệm của f(t), khi ñó hoành ñộ giao ñiểm của hàm số với Ox
lần lượt là:
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;


− = +
= −



V
ậ
y
4
4;
9
m
 
= −
 
 
……………………Hết………………… Nguồn:
Hocmai.vn