Bài 09: Sự tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Cho
2
3
( ) :
1
x
C y
x
+
=
+
. Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua
2
(2; )
5
A
sao cho (d) cắt
(C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N nhận A làm trung ñiểm.
Giải:
Vì ñường thẳng x=2 ñi qua A nhưng chỉ cắt (C) tại 1 ñiểm.
Vậy phương trình ñường thẳng ñi qua A và cắt (C) tại M, N có dạng (d):
2
( 2)
5
y k x


2
2
1 2
(5 2) 20( 1)(10 13) 0
225 40 256 0
5 2
5 2 20 20
4 2
5 5
4 4 145 4 4 145
;
18 2
45 45
( ) : ( 2) ( ) : 6 5 10 0
15 5
18
( / )
15
A M N
k k k
k k
b k
k k
x x x x x
a k
k k
d y x hay d x y
k t m
∆


CMR: ðường thẳng (d):
( 1) 2
y m x
= + +
luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh.
Giải:
Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

( )
3
3 3
3 2 0
3 ( 1) 2 3 2 ( 1) 0 1
1 0
x x
x x m x x x m x x
x

− − =
− = + + ⇔ − − + + = ⇔ ⇔ = −

+ =


Vậy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh có tung ñộ là:
( 1;2)
A
−


Ta thấy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm cố ñịnh A(-1;2) nên ñể cắt tại 3 ñiểm phân biệt thì:

9
1 4( 2) 0
(*)
4
( 1) 0
0
g
m
m
g m
m
∆

= + + >

> −

⇔
 
− = − ≠


≠


HSG tiếp tuyến tại B và C lần lượt là:

( )

   
= − + + + = + − +
   

Áp dụng ðL Viet ta lại có:
1 2
2 2
1 2
1
( 1) 1 1 ( 1) 0 1
( 2)
x x
m m m
x x m
+ =

⇒ − − = − ⇔ − = ⇔ =

= − +


Bài 4: Cho
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
− + +

( )
2
2 2
1 4( 1) 2 5 ( 1) 4 4 0
(1) 1 0
g
m m m m m
g
∆

= − + + = + + = + + ≥ >


= − ≠



Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, nên (C) luôn cắt y=m tại A, B phân biệt.
Gọi
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ; ); ( ; ) ( ) ( ) 4
A x m B x m AB x x x x x x
⇒ = − = + −

Áp dụng ðL Viet vào ta có:

1 2
2 2 2 2 2
1 2

x
−
=
−
tại 2 ñiểm phân biệt thuộc 2 nhánh của
ñồ thị.
Giải:
Hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của PT:

2
2
2 3
2 ( ) 2( 1) (3 5 ) 2 0(*)
2
x x
mx m g x m x m x m
x
−
= − ⇔ = − + − + =
−

ðể giao ñiểm nằm về 2 phía ñồ thị tức là 2 phía của TCð x-2=0 ta có:
1 2
2
x x
< <( 1) (2) ( 1)( 2) 0 1
m g m m

m
C
và Ox là nghiệm của PT:

3 2 3 2
2 0 2
x x m m x x
− + + = ⇔ = −

Lúc này ta thấy số giao ñiểm của
(
)
m
C
và Ox chính là số giao ñiểm của
(C):
3 2
( ) 2
g x x x
= −
và ñường thẳng y=m.
Ta thấy
2
0
'( ) 6 2 2 (3 1) 0
1
3
x
g x x x x x
x

x x x
a
c
x x x x x x
a

+ + = − =




+ + = =



Mà
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
1
2
4
S x x x x x x x x x x x x
= + + = + + − + + =

Bài 09: Sự tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 4 of 6
Bài 7: Cho
2 2

= − + = + +
+ +

Hoành ñộ giao ñiểm của
1 2
( ),( )
C C
là nghiệm của PT:

1 3 1 3
1 1 (*)
2 1 2 1
x x m m
x x x x
− + = + + ⇔ + = −
+ + + +

ðặt
1
1m
k
+ =
. Ta có:
2
(*) ( ) (2 3) 5 2 0
g x x k x k
⇔ = + + + + =

Giả sử
1 2


Yêu cầu bài toán

1 2
1 2
1 4 1 4
1 3 1 ( : 3 0)
3 3 3
g
y y
k m m Chó ý k
x x k
∆
−
⇒
= − =
⇒
= − ⇔ + = − ⇔ = − = −
⇒
>
−

Bài 8: Cho hàm số (C):
3 2
3
y x mx mx
= − −
và ñường thẳng d: y = x + 2.
Tìm m ñể hàm số (C) cắt ñường thẳng d tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
Giải:

' 3 6 1 0
g x x mx m
= − − + =
có
2
' 9 3 3 0
m m
∆ = + + >

nên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Hàm
(
)
y g x
=
có ñiểm uốn là

(
)
3 2
; 2 2 Ox
U m m m m− − − − ∈
khi và chỉ khi:

(
)
(
)
3 2 2
2 2 0 1 2 2 0 1
m m m m m m m

1 2 3
g x x x x x x x
= − − −

Suy ra:
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
3
1
2
x x x m
x x x x x x m
x x x
+ + =


+ + = − −


=


Vì
2 3
3
1 3 2 2 2
2 2
x x x x x
= ⇒ = ⇒ =

y
x
− +
=
+
(C). Tìm m ñể (C) cắt ñường thẳng
(
)
: 2 1
m
d y mx m
= + −

tại 2 ñiểm phân biệt A, B thỏa mãn ñiều kiện
4 . 5
OA OB
=
 
.
Giải:
Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

( ) ( )
2
1
2 1 5 1 2 2 0
2 1
x
mx m f x mx m x m
x

2
0
0
17 2 9 0
6
1 1 3
0
2 4 2
m
m
m m
m
f m


≠

≠


⇔ ∆ = − + > ⇔
 
≠ −


 

− = − − ≠
 


+ = −



−

=


;
5
4 . 5 . 0
4
OA OB OA OB
= ⇔ − =
   

Bài 09: Sự tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 6 of 6

( )( )
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
2
2
1 2 1 2

ð
áp s
ố
:
1 3
;
2 4
m
−
 
=
 
 
………………….Hết……………… Nguồn:
Hocmai.vn